72離散型隨機(jī)變量及其分布列（分層作業(yè)）-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選修第三冊(cè)）

7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022春·山西呂梁·高二校聯(lián)考期中）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分布列的知識(shí)列方程來(lái)求得.【詳解】依題意，，解得（大于，舍去）或.故選：C2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出的所有可能的情況，即得.【詳解】因?yàn)榧住⒁覂扇讼孪笃?，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則下列不能作為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)是（

）A．，B．0.1，0.2，0.3，0.4C．p，D．，，…，【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可知，所有的概率和等于1，且，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)可知，所有的概率之和等于1，且，．對(duì)于A，因?yàn)?，滿足，所以A選項(xiàng)能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)；對(duì)于B，因?yàn)?，且滿足，所以B選項(xiàng)能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)；對(duì)于C，因?yàn)?，且滿足，所以C選項(xiàng)能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)；對(duì)于D，因?yàn)?，所以D選項(xiàng)不能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)．故選：D．4．（2022春·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）下表是離散型隨機(jī)變量X的概率分布，則常數(shù)的值是（

）X3456PA． B． C． D．【答案】C【分析】由隨機(jī)變量分布列中概率之和為1列出方程即可求出a.【詳解】由，解得.故選：C.5．（2022秋·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布列的概率求解方式即可得出答案.【詳解】解：由題意得：．故選:A6．（2022春·江西撫州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)運(yùn)算可得，再分析理解得，結(jié)合對(duì)立事件求概率．【詳解】由題意：所以，得所以故選：C．二、多選題7．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谀┮阎S機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為（

）ξ123PA．－ B． C． D．【答案】BC【分析】由題可知，即得.【詳解】由題可得，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故選：BC.8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是（

）．A．某機(jī)場(chǎng)明年5月1日運(yùn)送乘客的數(shù)量B．某辦公室一天中接到電話的次數(shù)C．某地警方明年5月1日到10月1日期間查處酒駕司機(jī)的人數(shù)D．一瓶?jī)艉繛榈墓娜萘俊敬鸢浮緼BC【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概念依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：某機(jī)場(chǎng)明年5月1日運(yùn)送乘客的數(shù)量可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，而且可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故A正確；某辦公室一天中接到電話的次數(shù)可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，而且可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故B正確；某地警方明年5月1日到10月1日期間查處酒駕司機(jī)的人數(shù)可能為0，1，2，3，…，是隨機(jī)變化的，而且可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故C正確；果汁的容量在498mL～502mL之間波動(dòng)，雖然是隨機(jī)變量，但不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題9．（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下：則的值為_(kāi)_________．【答案】##【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由隨機(jī)變量的分布列可知，所以，故答案為：10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知下列四個(gè)變量：①某高鐵候車室中一天的旅客數(shù)量；②某次學(xué)術(shù)講座中學(xué)員向主講教授提問(wèn)的次數(shù)；③某一天中長(zhǎng)江的水位；④某次大型車展中銷售汽車的數(shù)量．其中，所有離散型隨機(jī)變量的序號(hào)為_(kāi)_____．【答案】①②④【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義即可解答.【詳解】①②④中的隨機(jī)變量可能的取值可以按照一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機(jī)變量；③中的可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法按一定次序一一列出，故其不是離散型隨機(jī)變量.故答案為：①②④.11．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，其分布列為：X－101P則實(shí)數(shù)q的值為_(kāi)_____.【答案】##【分析】根據(jù)概率和為1，結(jié)合概率的范圍列式求解即可.【詳解】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，知，故，因?yàn)椋獾?故答案為：12．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則表示______.【答案】所選3人中至多有1名女生【分析】根據(jù)包含或，結(jié)合題意分析即可.【詳解】包含兩種情況：或.故表示所選3人中至多有1名女生.故答案為：所選3人中至多有1名女生.13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，，其中是常數(shù)，則______．【答案】##0.875【分析】根據(jù)所給的概率分布規(guī)律，寫出6個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，由分布列的性質(zhì)和為1求出實(shí)數(shù)，在求出滿足條件的概率即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，故答案為?四、雙空題14．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則________；若，則________.【答案】

0.7##

0.3##【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)榉膮?shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，所以，.當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：0.7，0.3五、解答題15．（2022春·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校?？计谥校┰O(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X?101P(1)求q的值；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分布列的性質(zhì)列方程求得.（2）結(jié)合（1）求得.【詳解】（1）依題意，得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）得，，所以，.16．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布，．(1)求常數(shù)的值；(2)求和的值．【答案】(1)(2)；【分析】（1）（2）由分布列的性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）解：由，得．（2）解：由題知：．．17．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第三十一中學(xué)校考階段練習(xí)）2022年冬奧會(huì)期間，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”備受人們的歡迎，某大型商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)獎(jiǎng)品為冰墩墩玩偶和現(xiàn)金.活動(dòng)規(guī)則：凡是前一天進(jìn)入商場(chǎng)購(gòu)物且一次性購(gòu)物滿300元的顧客，第二天上午8點(diǎn)前就可以從若干個(gè)抽獎(jiǎng)箱（每個(gè)箱子裝有8張卡片，3張印有“獎(jiǎng)”字，5張印有“謝謝參與”，其他完全相同）中選一個(gè)箱子并一次性抽出3張卡片，抽到印有“獎(jiǎng)”字的卡片才能中獎(jiǎng)，抽到1張印有“獎(jiǎng)”字的卡片為三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金10元，抽到2張印有“獎(jiǎng)”字的卡片為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)1個(gè)冰墩墩玩偶，抽到3張印有“獎(jiǎng)”字的卡片為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)2個(gè)冰墩墩玩偶.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，進(jìn)入商場(chǎng)購(gòu)物的顧客中一次性購(gòu)物滿300元的約占.(1)求每一個(gè)參與抽獎(jiǎng)的顧客中獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)每次參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)所得的冰墩墩玩偶個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析.【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一個(gè)參與抽獎(jiǎng)的顧客中獎(jiǎng)的概率.（2）由題意可能值為，分別求出對(duì)應(yīng)值的概率，即可得分布列.【詳解】（1）由題意，每一個(gè)參與抽獎(jiǎng)的顧客中獎(jiǎng)的概率.（2）由題設(shè)，可能值為，則，，，所以的分布列如下：01218．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1)一袋中裝有只同樣大小的白球，編號(hào)為、、、、.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出只球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)；(2)某單位的某部電話在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù).【分析】（1）最大號(hào)碼數(shù)可取、、，分析可得試驗(yàn)的結(jié)果；（2）呼叫次數(shù)可取、、、…、，即得答案.(1)最大號(hào)碼數(shù)可取、、，，表示取出的個(gè)球的編號(hào)為：、、，，表示取出的個(gè)球的編號(hào)為：、、或、、或、、，，表示取出的個(gè)球的編號(hào)為：、、或、、或、、或、、或、、或、、；(2)某部電話在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)可取、、、…、，，表示被呼叫次，其中、、、….19．（2022春·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）某校為緩解學(xué)生壓力，舉辦了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有一個(gè)項(xiàng)目為籃球定點(diǎn)投籃，比賽分為初賽和復(fù)賽．初賽規(guī)則為：每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．在處每投進(jìn)一球得3分，在處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定為通過(guò)初賽，立即停止投籃，否則應(yīng)繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．現(xiàn)甲先在處投一球，以后都在處投，已知甲同學(xué)在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為，求他初賽結(jié)束后所得總分的分布列．【答案】分布列見(jiàn)解析.【分析】判斷隨機(jī)變量的可能取值，根據(jù)題意求出分布列即可.【詳解】設(shè)甲同學(xué)在處投中的事件為，投不中的事件為，在處投中為事件，投不中為事件，由已知得，，則，，的可能取值為：，，，.所以，，，，所以的分布列為：【能力提升】一、單選題1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿足，，其中.令隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意,列表求得隨機(jī)變量及的分布列,可知均為兩點(diǎn)分布.由兩點(diǎn)分布的均值及方差表示出和,根據(jù)比較大小即可得解.【詳解】隨機(jī)變量滿足,,其中.則隨機(jī)變量的分布列為:所以隨機(jī)變量,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示(當(dāng)時(shí),只有一個(gè)情況,概率為1):則當(dāng)即,解得.所以A、B錯(cuò)誤.恒成立.所以C錯(cuò)誤,D正確故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列,兩點(diǎn)分布的特征及均值和方差求法,屬于中檔題.2．（2022春·廣東廣州·高二廣州市第七中學(xué)?？计谥校┤綦S機(jī)變量的分布列為且，則隨機(jī)變量的方差等于A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：先根據(jù)已知求出a,b的值，再利用方差公式求隨機(jī)變量的方差.詳解：由題得所以故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)和方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，那么＝＋＋…＋,稱為隨機(jī)變量的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的是隨機(jī)變量的期望．二、多選題3．（2022春·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)校考期中）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】首先寫出兩點(diǎn)分布，再根據(jù)期望和方差公式求，，再根據(jù)，，計(jì)算期望和方差.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，所以，，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)分布的期望和方差，以及期望和方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.4．（2022春·全國(guó)·高二期末）設(shè)隨機(jī)變量X表示從1到n這n個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，隨機(jī)變量Y表示從1到X這X個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，記表示，同時(shí)發(fā)生的概率，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)（且）時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，Y的均值為【答案】BCD【分析】此題考查條件概率、概率的乘法公式以及隨機(jī)變量的分布列與均值，本題要注意兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y的取值范圍.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，，則，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，，可得，或，，所以，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)（且）時(shí)，，，則，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，Y的可能取值為1，2，則，，則Y的均值為，選項(xiàng)D正確．故選：BCD三、解答題5．（2022春·山東德州·高二?？计谀┠称髽I(yè)生產(chǎn)流水線檢測(cè)員每天隨機(jī)從流水線上抽取100件新生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)．若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1200元，每件一級(jí)品可賣1700元，每件二級(jí)品可賣1000元，三級(jí)品禁止出廠且銷毀．某日檢測(cè)抽取的100件產(chǎn)品的柱狀圖如圖所示．(1)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．若從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)取出2件，求至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率；(2)已知該生產(chǎn)線原先的年產(chǎn)量為80萬(wàn)件，為提高企業(yè)利潤(rùn)，計(jì)劃明年對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)，預(yù)計(jì)升級(jí)需一次性投入2000萬(wàn)元，升級(jí)后該生產(chǎn)線年產(chǎn)量降為70萬(wàn)件，但產(chǎn)品質(zhì)量顯著提升，不會(huì)再有三級(jí)品，且一級(jí)品與二級(jí)品的產(chǎn)量比會(huì)提高到8∶2，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若以該生產(chǎn)線今年利潤(rùn)與明年預(yù)計(jì)利潤(rùn)為決策依據(jù)，請(qǐng)判斷該次升級(jí)是否合理．【答案】(1)(2)該次升級(jí)方案合理【分析】（1）通過(guò)頻率得出概率，然后計(jì)算兩次都不是一級(jí)品的概率，然后用1減即可（2）列出今年和明年的分布列，分別計(jì)算期望，然后計(jì)算利潤(rùn)，比較大小即可判斷【詳解】（1）抽取的100件產(chǎn)品是一級(jí)品的頻率是，

則從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取1件，是一級(jí)品的概率是，

設(shè)從生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)選2件，至少有一件是一級(jí)品的事件為，則，所以至少有一件產(chǎn)品是一級(jí)品的概率是．（2）依題意，設(shè)今年每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為X，所以X的分布列為：X500－200－12000.70.20.1所以每件產(chǎn)品的期望為所以今年的利潤(rùn)為：（萬(wàn)元）

設(shè)明年每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為Y，所以Y的分布列為：Y500－2000.80.2所以每件產(chǎn)品的期望為

所以明年預(yù)計(jì)的利潤(rùn)為：（萬(wàn)元）顯然有，所以該次升級(jí)方案合理6．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀┮粋€(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共個(gè)，這些球除顏色外完全相同.已知從袋中任意摸出個(gè)球，得到黑球的概率是.現(xiàn)從袋中任意摸出個(gè)球.(1)用含的代數(shù)式表示摸出的球都是黑球的概率，并寫出概率最小時(shí)的值.（直接寫出的值）(2)若，且摸出的個(gè)球中至少有個(gè)白球的概率是，設(shè)表示摸出的個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；時(shí)，取得最小值.(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由題知袋中共有黑球，進(jìn)而根據(jù)超幾何模型求解概率，并結(jié)合單調(diào)性求得取得最小值時(shí)的值；（2）由題知，袋子中有黑球個(gè)，設(shè)袋中有白球個(gè)，，，進(jìn)而根據(jù)題意得，故袋子中有紅球個(gè)，再根據(jù)超幾何分布求分布列，期望.(1)解：因?yàn)閺拇腥我饷鰝€(gè)球，得到黑球的概率是.所以，袋中共有黑球.記“摸出的球都是黑球”為事件，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.(2)解：當(dāng)時(shí)，袋子中有黑球個(gè)，設(shè)袋中有白球個(gè)，，，記“從袋中摸出的個(gè)球中至少有個(gè)白球”為事件，因?yàn)槊龅膫€(gè)球中至少有個(gè)白球的概率是所以，，整理得，解得或（舍）所以，袋子中有紅球個(gè)，有白球個(gè)，黑球個(gè).所以，隨機(jī)變量的取值為，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列為：所以，7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某高校對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了一次“身體素質(zhì)測(cè)試”，包括鉛球、50米跑、立定跳遠(yuǎn)三項(xiàng)．現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x，y，z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示優(yōu)良，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定身體素質(zhì)等級(jí)，若測(cè)為一級(jí)；若，則為二級(jí)，若，則為三級(jí)．為了了解該校學(xué)生身體素質(zhì)的情況，隨機(jī)抽取了10人的測(cè)試成績(jī)，得到如下表所示結(jié)果：編號(hào)編號(hào)(1)在這10人中任取2人，求抽取的2人指標(biāo)z相同的概率；(2)從等級(jí)是一級(jí)的人中任取1人，其綜合指標(biāo)記為m，從等級(jí)不是一級(jí)的人中任取1人，其綜合指標(biāo)記為n，記隨機(jī)變量，求X的均值和方差．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用組合知識(shí)得到抽取的2人指標(biāo)z相同的情況種數(shù)，及這10人中任取2人，所有的情況種數(shù)，利用古典概型求概率公式求解；（2）求出X的所有可能情況及相應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出均值與方差.(1)由表可知，指標(biāo)z為0的有A1，指標(biāo)z為1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，指標(biāo)z為2的有A4，A6，A7．在這10人中任取2人，所有的情況種數(shù)為，抽取的2人指標(biāo)z相同包含的情況種數(shù)為，所以抽取的2人指標(biāo)z相同的概率．(2)由題意得10人的綜合指標(biāo)如下表：編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10綜合指標(biāo)1446245353其中等級(jí)是一級(jí)的有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6個(gè)，等級(jí)不是一級(jí)的有A1，A5，A8，A10，共4個(gè)．隨機(jī)變量X的取值范圍為，，，，，，所以X的分布列為X12345P則．．8．（2022春·全國(guó)·高二專題練習(xí)）為進(jìn)一步加強(qiáng)未成年人心理健康教育，如皋市教育局決定在全市深入開(kāi)展“東皋大講堂”進(jìn)校園心理健康教育宣講活動(dòng)，為了緩解高三學(xué)生壓力，高三年級(jí)某班級(jí)學(xué)生在開(kāi)展“東皋大講堂”過(guò)程中，同座兩個(gè)學(xué)生之間進(jìn)行了一個(gè)游戲，甲盒子中裝有2個(gè)黑球1個(gè)白球，乙盒子中裝有3個(gè)白球，現(xiàn)同座的兩個(gè)學(xué)生相互配合，從甲、乙兩個(gè)盒子中各取一個(gè)球，交換后放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作，記甲盒子中黑球的個(gè)數(shù)為，恰好有2個(gè)黑球的概率為，恰好有1個(gè)黑球的概率為.(1)求第二次操作后，甲盒子中沒(méi)有黑球的概率；(2)求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析，【分析】（1）由題意得，然后分析第二次操作后，甲盒子中沒(méi)有黑球的情況，從而求解出對(duì)應(yīng)概率；（2）先計(jì)算，判斷的取值為，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公式求解.(1)由題意知，，兩次后甲盒子沒(méi)有黑球時(shí)，必須第一次甲盒子中取出一個(gè)黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一個(gè)黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一個(gè)白球，則(2)，，由題意，的取值為，則，，所以的分布列為所以【點(diǎn)睛】求解分布列的問(wèn)題時(shí)，一般需要先判斷變量的可能取值，然后分析題目中的情況計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而列出分布列，代入期望公式求解期望.9．（2022春·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集={(i，j)|i=0，1，2，…，n；j=0，1，2；n∈N*}．從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離．(1)當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；(2)對(duì)給定的正整數(shù)n(n≥3)，求概率(用n表示)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，求出X的所有可能值，并求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率即可作答.(2)在中任取兩點(diǎn)和，分別討論b，d的取值確定事件所含結(jié)果數(shù)，再借助對(duì)立事件概率公式計(jì)算即得.(1)當(dāng)n=1時(shí)，為1，，2，，當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)集中有6個(gè)點(diǎn)，任取兩點(diǎn)共有種方法，它們等可能，，，，，所以X的概率分布為：X12P(2)點(diǎn)集中有個(gè)點(diǎn)，設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)，共有種取法，它們等可能，的事件的對(duì)立事件是的事件，若b=d，則，當(dāng)且僅當(dāng)這兩點(diǎn)為或或取“=”，即有3種；若b=0，d=1，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，c=n或a=n，c=0時(shí)取“=”，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而，，即不存在，則的事件為，有2種；若b=0，d=2，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，c=n或a=n，c=0時(shí)取“=”，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而，，即不存在，則的事件為，有2種；若b=1，d=2，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，c=n或a=n，c=0時(shí)取“=”，同理，的事件為，有2種，當(dāng)時(shí)，X的所有值是或或，且，，，于是得，所以.10．（2022春·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù)．我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說(shuō)明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)闹谐槿?個(gè)，求恰好取到一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為的概率；（2）在2020年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲、乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上分別參加A、B兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單由個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成．假定甲、乙兩人在A、B兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，．①求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時(shí)正整數(shù)的值．【答案】（1）；（2）①分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望；②6．【分析】（1）根據(jù)分層抽樣可得二級(jí)、一級(jí)口罩個(gè)數(shù)，然后計(jì)算即可.（2）①寫出寫出的所有可得取值并計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得結(jié)果.②根據(jù)，使用換元法并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)一步可得取最大值的條件.【詳解】（1）按分層抽樣抽取8個(gè)口罩，則其中二級(jí)、一級(jí)口罩個(gè)數(shù)分別為6、2，所以恰好取到一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為2的概率．（2）①由題知，X的可能取值為0，1，2，；；．所以X的分布列為012．②因?yàn)?，所以．令，設(shè)，則，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；