考點10函數(shù)與數(shù)學(xué)模型（4種題型與基礎(chǔ)易錯專練）（原卷版）

考點10函數(shù)與數(shù)學(xué)模型（4種題型與基礎(chǔ)、易錯專練）一一、2022真題搶先刷，考向提前知一．填空題（共2小題）1．（2022?上海）若函數(shù)f（x）＝，為奇函數(shù)，求參數(shù)a的值為．2．（2022?浙江）已知函數(shù)f（x）＝則f（f（））＝；若當(dāng)x∈[a，b]時，1≤f（x）≤3，則b﹣a的最大值是．二二、考點清單一．函數(shù)最值的應(yīng)用函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值．在日常生活中我們常常會遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的問題，這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．另外，最值可分為最大值和最小值．這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的問題，具體的說是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，這里面需要同學(xué)們要具有轉(zhuǎn)化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．這里我們以具體的例題來講解．例：城關(guān)中學(xué)要建造一個長方形游泳池，其容積為4800立方米，深為3米，如果建造池底的單價是建造池壁單價的1.5倍，怎樣設(shè)計水池才能使總造價最低？設(shè)池壁造價為每平方米m元，則最低造價為多少？解：設(shè)水池底面的長為x米，寬為4800÷3x米，總造價為y，則＝2400m+6（）m…（6分）求導(dǎo)可得令，可得x＝40…（11分）∴函數(shù)在（0，40）上單調(diào)遞增，在（40，+∞）上單調(diào)遞減∴當(dāng)池底長為40米，寬為40米時，總造價最低為2880m元．這是工程上一個很常見的成本最低的問題，也很有代表性，在這個立體當(dāng)中，我們要做的第一步是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，把求成本最低的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，這個題在構(gòu)建模型的時候最關(guān)鍵的是要找到造價與底面長的關(guān)系，從而又把造價問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于底面長的一個函數(shù)，這也是我們常用的方法．第二步構(gòu)建函數(shù)，然后運用數(shù)學(xué)方法求解，這個是重點，求解的一般方法為基本不等式和求導(dǎo)判定單調(diào)性．【高考預(yù)測】應(yīng)用題緊貼實際，很能體現(xiàn)學(xué)以致用，是出題老師很喜歡的一種題型，解答這種題需要考生先苦練基本功，會求一般函數(shù)的最值；然后也具備基本的建模能力，在文字當(dāng)中找到它們的內(nèi)在邏輯關(guān)系，最后以函數(shù)的形式表達(dá)出來．二．分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當(dāng)中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【具體應(yīng)用】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當(dāng)?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預(yù)計年銷售量將減少p萬件．（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，政府對該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬元）故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當(dāng)稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數(shù)∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當(dāng)稅率為2%時，廠家銷售金額最大．這個典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關(guān)．我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達(dá)式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【考查預(yù)測】修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．三．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【典型例題分析】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%＝x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當(dāng)x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當(dāng)x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故滿足公司要求；D中，函數(shù)y＝x2，易知滿足①，當(dāng)x＝400時，y＞5不滿足公司要求；故選C點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計，解題的關(guān)鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用+生產(chǎn)費用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x＝，且當(dāng)t＝0時，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因為當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝7時取等號，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．四．帶絕對值的函數(shù)1．當(dāng)函數(shù)體中包含絕對值，就需要對絕對值內(nèi)的部分的正負(fù)情況進行討論，因此含絕對值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，往往需要先去絕對值再結(jié)合函數(shù)圖象進行研究．2．①形如y＝|f（x）|的函數(shù)，由于|f（x）|＝，因此研究此類函數(shù)往往結(jié)合函數(shù)圖象，可以看成由的圖象在x軸上方部分不變，下方部分關(guān)于x軸對稱得到，例如y＝|x2﹣1|的圖象如下圖：②f（x）＝a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的圖象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））為折點的折線．當(dāng)a+b＞0時，兩端向上無限延伸，故存在最小值，最小值為min{f（m），f（n）}；當(dāng)a+b＜0時，兩端向下無限延伸，故存在最大值，最大值為Max{f（m），f（n）}；當(dāng)a+b＝0時，兩端無限延伸且平行x軸，故既有最大值又有最小值，最大值為Max{f（m），f（n）}；最小值為min{f（m），f（n）}；例如：y＝2|x﹣1|+3|x﹣2|和y＝2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的圖象分別為三三、題型方法一．函數(shù)最值的應(yīng)用（共6小題）1．（2022?和平區(qū)三模）設(shè)a，b＞0，a+b＝5，則+的最大值為．2．（2022?興慶區(qū)校級一模）若函數(shù)f（x）＝?cosx+3在[﹣，]上的最大值與最小值之和為（）A．6 B．3 C．4 D．83．（2022?商洛一模）聲音大小（單位：dB）取決于聲波通過介質(zhì)時所產(chǎn)生的壓力（簡稱聲壓，單位：N/m2）變化．已知聲壓x與聲音大小y的關(guān)系式為．根據(jù)我國《工業(yè)企業(yè)噪聲衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，新建企業(yè)工作地點噪音容許標(biāo)準(zhǔn)為85dB．若某新建企業(yè)運行時測得的聲音大小為60dB，符合《工業(yè)企業(yè)噪聲衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，則此時聲壓為（）A．2N/m2 B．20N/m2 C．0.2N/m2 D．0.02N/m24．（2022?合肥二模）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣asinx﹣1，a∈R．（1）設(shè)函數(shù)g（x）＝f′（x），若y＝g（x）是區(qū)間上的增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a＝2時，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有一個零點．（多選）5．（2022?福建模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0．對于任意的，函數(shù)f（x）在區(qū)間上至少能取到兩次最大值，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期小于 B．函數(shù)f（x）在內(nèi)不一定取到最大值 C． D．函數(shù)f（x）在內(nèi)一定會取到最小值6．（2022?上海模擬）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益（單位：元）滿足R（x）＝其中x（單位：臺）是儀器的月產(chǎn)量．（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f（x）；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司利潤最大？最大為多少元？（總收益＝總成本+利潤）二．分段函數(shù)的應(yīng)用（共18小題）7．（2023?新疆模擬）已知函數(shù)f（x）＝，其中a＞0且a≠1，若函數(shù)f（x）圖象上存在關(guān)于原點對稱的點僅有兩對，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．8．（2023?呼和浩特模擬）若函數(shù)f（x）＝，則f（f（﹣2））＝（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023??？谀M）函數(shù)f（x）＝x2﹣4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2）和（0，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）和（2，+∞）10．（2023?青秀區(qū)校級一模）已知函數(shù)，那么f（f（﹣1））＝（）A．7 B．6 C．5 D．411．（2023?宜賓模擬）若函數(shù)的最小值是﹣2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥012．（2023?永州三模）若函數(shù)y＝f（x）和y＝f（﹣x）在區(qū)間[m，n]上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間[m，n]叫做y＝f（x）的“穩(wěn)定區(qū)間”．已知區(qū)間[1，2023]為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)a的可能取值是（）A． B． C． D．13．（2023?射洪市校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）14．（2023?大通縣二模）已知實數(shù)a≠1，函數(shù)若f（1﹣a）＝f（a﹣1），則a的值為（）A． B． C． D．15．（2023?九江模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝4x+|x﹣a|，其中a∈R．（1）當(dāng)a＝6時，求曲線y＝f（x）與直線4x﹣y+8＝0圍成的三角形的面積；（2）若a＜0，且不等式f（x）＜2的解集是（﹣∞，﹣3），求a的值．16．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，若方程f（x）＝1的實根在區(qū)間（k，k+1），k∈Z上，則k的最大值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．217．（2023?古冶區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．18．（2023?湖北模擬）已知函數(shù)圖象上存在關(guān)于y軸對稱的兩點，則正數(shù)a的取值范圍是（）A．（e，+∞） B． C． D．19．（2023?東城區(qū)二模）設(shè)函數(shù)，若f（x）為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，4] B．[2，4] C．[2，+∞） D．[4，+∞）20．（2023?嘉定區(qū)校級三模）已知函數(shù)，若滿足f（a）＝f（b）＝f（c）（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是（）A．（3，2023.5） B．（3，2024） C．[3，2024） D．[3，2025）21．（2023?嵊州市模擬）已知函數(shù)，若p≠q，且f（p）+f（q）＝2，則p+q的最小值是（）A．2﹣2ln2 B．3﹣2ln2 C．4﹣2ln3 D．222．（2023?南昌三模）函數(shù)若關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．23．（2023?丹東模擬）設(shè)函數(shù)y＝f（x）由關(guān)系式x|x|+y|y|＝1確定，函數(shù)，則（）A．g（x）為增函數(shù) B．g（x）為奇函數(shù) C．g（x）值域為[﹣1，+∞） D．函數(shù)y＝f（﹣x）﹣g（x）沒有正零點24．（2023?黃埔區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）當(dāng)m＝5時，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函數(shù)y＝x2+2x+3與函數(shù)y＝f（x）的圖象恒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍．三．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型（共18小題）25．（2023?全國二模）大氣壓強，它的單位是“帕斯卡”（Pa，1Pa＝1N/m2），已知大氣壓強p（Pa）隨高度h（m）的變化規(guī)律是，其中p0是海平面大氣壓強，k＝0.000126m﹣1．當(dāng)?shù)馗呱缴弦惶幋髿鈮簭娛呛Ｆ矫嫣幋髿鈮簭姷?，則高山上該處的海拔為米．（答案保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)ln3≈1.1）26．（2023?西城區(qū)校級三模）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升27．（2023?駐馬店三模）水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計算公式為和保護對象的水霧噴頭數(shù)量N計算公式為計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護對象的保護面積，W為保護對象的設(shè)計噴霧強度（單位：L/min?m2），水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量．當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護對象的保護面積S為14m2，保護對象的設(shè)計噴霧強度W為20L/min?m2時，保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個28．（2023?密云區(qū)三模）血藥濃度（PlasmaConcentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中：①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用；②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒；③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用；④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒．其中正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．429．（2023?廣西模擬）荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里：不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把（1+1%）365看作是每天的“進步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過（）天．（參考數(shù)據(jù)：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010）A．35 B．25 C．15 D．930．（2023?閔行區(qū)校級二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W＝f（t），用﹣的大小評價在[a，b]這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示．則下列正確的命題是（）A．在[t1，t2]這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱 B．在t2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱 C．在t3時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo) D．甲企業(yè)在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[t1，t2]的污水治理能力最強31．（2023?濰坊二模）如圖，菱形架ABCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用鉸鏈?zhǔn)孜策B接而成．已知A，C可在帶滑槽的直桿l上滑動；另一根帶滑槽的直桿DH長度為4，且一端記為H，另一端用鉸鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點P處有一栓子（可在帶滑槽的直桿上滑動）．若將H，B固定在桌面上，且兩點之間距離為2，轉(zhuǎn)動桿HD，則點P到點B距離的最大值為．32．（2023?哈爾濱二模）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容．例如，用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）．步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標(biāo)記為F；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好經(jīng)過點F；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和步驟3，就能得到越來越多的折痕．圓面上所有這些折痕圍成一條曲線，記為C．現(xiàn)有半徑為4的圓形紙片，定點F到圓心E的距離為2，按上述方法折紙，在C上任取一點M，O為線段EF的中點，則|OM|的最小值為．33．（2023?濟南一模）機器學(xué)習(xí)是人工智能和計算機科學(xué)的分支，專注于使用數(shù)據(jù)和算法來模仿人類學(xué)習(xí)的方式．在研究時需要估算不同樣本之間的相似性，通常采用的方法是計算樣本間的“距離”，閔氏距離是常見的一種距離形式．兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的閔氏距離為Dp（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p），其中p為非零常數(shù)．如果點M在曲線y＝ex上，點N在直線y＝x﹣1上，則D1（M，N）的最小值為．34．（2023?重慶模擬）王先生今年初向銀行申請個人住房貸款100萬元購買住房，月利率為0.3%，按復(fù)利計算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清．銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）．（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應(yīng)還15000元，最后一個還貸月應(yīng)還6500元，試計算王先生該筆貸款的總利息；（2）若王先生采取等額本息的還貸方式．銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批．（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.43735．（2023?郴州模擬）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念，對于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的．所謂“現(xiàn)值”是指在n期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時的值，而“終值”是指n期后的本利和．它們計算的基點分別是存期的起點和終點．例如，在復(fù)利計息的情況下，設(shè)本金為A，每期利率為r，期數(shù)為n，到期末的本利和為S，則S＝A（1+r）n其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現(xiàn)值，即n期后的S元現(xiàn)在的價值為．現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；（1）已知一年期存款的年利率為2.5%，試討論兩種方案哪一種更好？（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1）問中的存款年利率2.5%，預(yù)計第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值．（精確到百元）參考數(shù)據(jù)：（1+2.5%）10≈1.2836．（2023?豐城市模擬）某企業(yè)購買某種儀器，在儀器使用期間可能出現(xiàn)故障，需要請銷售儀器的企業(yè)派工程師進行維修，因為考慮到人力，成本等多方面的原因，銷售儀器的企業(yè)提供以購買儀器維修服務(wù)的條件：在購買儀器時，可以直接購買儀器維修服務(wù)，維修一次1000元在儀器使用期間，如果維修服務(wù)次數(shù)不夠再次購買，則需要每次1500元，現(xiàn)需決策在購買儀器的同時購買幾次儀器維修服務(wù)，為此搜集并整理了500臺這種機器在使用期內(nèi)需要維修的次數(shù)，得到如下表格：維修次數(shù)56789頻數(shù)（臺）50100150100100記x表示一臺儀器使用期內(nèi)維修的次數(shù)，y表示一臺儀器使用期內(nèi)維修所需要的費用，n表示購買儀器的同時購買的維修服務(wù)的次數(shù)．（1）若n＝6，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）以這500臺儀器使用期內(nèi)維修次數(shù)的頻率代替一臺儀器維修次數(shù)發(fā)生的概率，求6≤x≤8的概率；（3）假設(shè)購買這500臺儀器的同時每臺都購買7次維修服務(wù)，或每臺都購買8次維修服務(wù)，請分別計算這500臺儀器在購買維修服務(wù)所需要費用的平均數(shù)，以此為決策依據(jù)，判斷應(yīng)購買7次還是8次維修服務(wù)？37．（2023?海淀區(qū)校級三模）“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，L0表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度．已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）（）A．75 B．74 C．73 D．7238．（2023?蘇州三模）5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至12000，則C大約增加了（）（參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990）A．25% B．30% C．36% D．45%39．（2023?無錫三模）“青年興則國家興，青年強則國家強”，作為當(dāng)代青少年，我們要努力奮斗，不斷進步．假設(shè)我們每天進步1%，則一年后的水平是原來的1.01365≈37.8倍，這說明每天多百分之一的努力，一年后的水平將成倍增長．如果將我們每天的“進步”率從目前的10%提高到20%，那么大約經(jīng)過（）天后，我們的水平是原來應(yīng)達(dá)水平的1500倍．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg11≈1.041）A．82 B．84 C．86 D．8840．（2023?南昌二模）足球是大眾喜愛的運動，足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口．甲、乙兩支球隊一場比賽的某一時刻，三位球員站位如圖所示，其中A，B點站的是甲隊隊員，C點站的是乙隊隊員，l1∥l2，這兩平行線間的距離為3m，CA⊥AB，|AC|＜|AB|，|BC|＝10m，點B在直線l上，且l⊥l2，這時，站位A點球員傳球給站位B點隊友（傳球球員能根據(jù)隊友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時準(zhǔn)確傳到接球點），記傳球方向與l1的夾角為α，已知站位B，C兩點隊員跑動速度都是8m/s，現(xiàn)要求接球點滿足下面兩個條件：①站位B點隊員能至少比站位C點隊員早1s跑到接球點；②接球點在直線l的左側(cè)（包括l）；則tanα的取值范圍是．41．（2023?平頂山模擬）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙．課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為12cm，寬為10cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊．若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是cm．42．（2023?奉賢區(qū)二模）某小區(qū)有塊綠地，綠地的平面圖大致如圖所示，并鋪設(shè)了部分人行通道．為了簡單起見，現(xiàn)作如下假設(shè)：假設(shè)1：綠地是由線段AB，BC，CD，DE和弧圍成的，其中是以O(shè)點為圓心，圓心角為的扇形的弧，見圖1；假設(shè)2：線段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圓弧暫時未修路；假設(shè)3：路的寬度在這里暫時不考慮；假設(shè)4：路用線段或圓弧表示，休息亭用點表示．圖1﹣圖3中的相關(guān)邊、角滿足以下條件：直線BA與DE的交點是O，AB∥CD，．DE＝EO＝OA＝AB＝200米．小區(qū)物業(yè)根據(jù)居民需求，決定在綠地修建一個休息亭．根據(jù)不同的設(shè)計方案解決相應(yīng)問題，結(jié)果精確到米．（1）假設(shè)休息亭建在弧的中點，記為Q，沿和線段QC修路，如圖2所示．求QC的長；（2）假設(shè)休息亭建在弧上的某個位置，記為P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿、線段PM和線段PN修路，如圖3所示．求修建的總路長的最小值；（3）請你對（1）和（2）涉及到的兩種設(shè)計方案做個簡明扼要的評價．四．帶絕對值的函數(shù)（共3小題）43．（2023?咸陽校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|﹣2（1）在下列坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象；（2）若f（x）?kx+2k，求實數(shù)k的取值范圍．44．（2023?射洪市校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（1）在直角坐標(biāo)系中畫出y＝f（x）和y＝g（x）的圖象；（2）若f（x）+a≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．45．（2023?船山區(qū)校級模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+2a（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣6≤x≤4}，求實數(shù)a的值；（Ⅱ）在（I）的條件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，求實數(shù)k的取值范圍．

四四、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共12小題）1．（2023?咸陽二模）某商場要將單價分別為36元/kg，48元/kg，72元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等．那么該商場對混合糖果比較合理的定價應(yīng)為（）A．52元/kg B．50元/kg C．48元/kg D．46元/kg2．（2023?溫州模擬）某公司計劃租地建倉庫，已知每月土地費用與倉庫到車站的距離成反比，每月貨物的運輸費用與倉庫到車站的距離成正比．經(jīng)測算，若在距離車站10km處建倉庫，則每月的土地費用與運輸費用分別為2萬元和8萬元．要使兩項費用之和最小，倉庫和車站的距離為（）A．4km B．5km C．6km D．7km3．（2023?德陽模擬）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句是“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x2+y2≤1，若將軍從點P（﹣1，﹣2）處出發(fā)，河岸線對應(yīng)的直線方程為x+y＝2，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”問題中的最短總路程為（）A．6 B．5 C．4 D．34．（2023?合肥模擬）Malthus模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型．某研究人員在研究一種細(xì)菌繁殖數(shù)量N（t）與時間t關(guān)系時，得到的Malthus模型是N（t）＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0時刻的細(xì)菌數(shù)量，e為自然對數(shù)的底數(shù)．若t時刻細(xì)菌數(shù)量是t0時刻細(xì)菌數(shù)量的6.3倍，則t約為（）（ln6.3≈1.84）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023?酒泉模擬）我們知道，人們對聲音有不同的感覺，這與聲音的強度有關(guān)系．聲音的強度常用I（單位：瓦/米2，即W/m2）表示，但在實際測量時，聲音的強度水平常用L（單位：分貝）表示，它們滿足換算公式：（L≥0，其中是人們平均能聽到的聲音的最小強度）．若某小區(qū)內(nèi)公共場所因施工聲音的強度水平升高了20分貝，則聲音的強度應(yīng)變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢．5倍 B．100倍 C．10倍 D．20倍6．（2023?4月份模擬）某購物網(wǎng)站在2022年11月開展“全部6折”促銷活動，在11日當(dāng)天購物還可以再享受“每張訂單金額（6折后）滿300元時可減免60元”．某人在11日當(dāng)天欲購入原價48元（單價）的商品共45件，為使花錢總數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為（）A．7 B．6 C．5 D．47．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達(dá)到閥值時，DNA的數(shù)量Xn與擴增次數(shù)n滿足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p為擴增效率，X0為DNA的初始數(shù)量．已知某被測標(biāo)本DNA擴增10次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴增效率p約為（）（參考數(shù)據(jù)：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4%8．（2023?湖北模擬）研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：m/s）可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)．則鮭魚以1m/s游動時的耗氧量是它靜止時的耗氧量的（）A．7倍 B．8倍 C．9倍 D．10倍9．（2023?重慶模擬）生物學(xué)家為了了解抗生素對生態(tài)環(huán)境的影響，常通過檢測水中生物體內(nèi)抗生素的殘留量來進行判斷．已知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量y（單位：mg）與時間t（單位：年）近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝λ（1﹣3﹣λt），λ≠0，其中λ為抗生素的殘留系數(shù)，當(dāng)t＝8時，y＝λ，則λ＝（）A． B． C． D．10．（2023?合肥三模）“學(xué)如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收”（明?《增廣賢文》）是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的．如果每天的“進步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1﹣1%）365＝0.99365.一年后“進步”的是“退步”的倍．如果每月的“進步”率和“退步”率都是20%，那么大約經(jīng)過（）月后“進步”的是“退步”的一萬倍．（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．20 B．21 C．22 D．2311．（2023?青秀區(qū)校級一模）已知某種食品保鮮時間與儲存溫度有關(guān)，滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx+b（y為保鮮時間，x為儲存溫度），若該食品在冰箱中0°C的保鮮時間是144小時，在常溫20°C的保鮮時間是48小時，則該食品在高溫40°C的保鮮時間是（）A．16小時 B．18小時 C．20小時 D．24小時12．（2023?大荔縣一模）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C＝Wlog2（1+）．它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至6000，則C的增長率為（）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．10% B．16% C．26% D．33%二．多選題（共2小題）（多選）13．（2023?韶關(guān)二模）已知f（x）是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤2時，．設(shè)F（x）＝f（x）+f（x﹣1），則（）A．函數(shù)y＝F（x）是奇函數(shù)也是周期函數(shù) B．函數(shù)y＝F（x）的最大值為1 C．函數(shù)y＝F（x）在區(qū)間（2022，2023）上單調(diào)遞減 D．函數(shù)y＝F（x）的圖像有對稱中心也有對稱軸（多選）14．（2023?張家口一模）已知函數(shù)f（x）＝|sinx|+cos|x|，則下列結(jié)論正確的有（）A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）的最小值為 C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．方程在區(qū)間[0，4π]內(nèi)的所有根的和為8π三．填空題（共3小題）15．（2023?陜西模擬）已知函數(shù)f（x）＝則f[f（x）]＜2的解集是．16．（2023?全國一模）人體的正常溫度大約是36℃，當(dāng)人體溫度超過正常溫度的時認(rèn)定為高燒，則高燒溫度t℃應(yīng)滿足的不等關(guān)系式是．17．（2023?重慶模擬）如果光線每通過一塊玻璃其強度要減少10%，至少需要塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強度為原來的強度的以下．（lg3＝0.477）四．解答題（共1小題）18．（2023?西山區(qū)校級模擬）春見柑橘的學(xué)名是春見，俗稱粑粑柑，2001年從中國柑橘研究所引進，廣泛種植于四川、重慶、江西等地．四川省某個春見柑橘種植基地隨機選取并記錄了8棵春見柑橘樹未使用新技術(shù)時的年產(chǎn)量（單位：千克）和使用了新技術(shù)后的年產(chǎn)量的數(shù)據(jù)的變化，得到如下表格：未使用新技術(shù)時的8棵春見柑橘樹的年產(chǎn)量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵年產(chǎn)量3032333034303433使用了新技術(shù)后的8棵春見柑橘樹的年產(chǎn)量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵年產(chǎn)量4039403742384242已知該基地共有40畝地，每畝地有55棵春見柑橘樹．（1）根據(jù)這8棵春見柑橘樹年產(chǎn)量的平均值，估計該基地使用了新技術(shù)后，春見柑橘年總產(chǎn)量比未使用新技術(shù)時增加的百分比；（2）已知使用新技術(shù)后春見柑橘的成本價為每千克5元，市場銷售價格為每千克10元．若該基地的所有春見柑橘有八成按照市場價售出，另外兩成只能按照市場價的八折售出，試估計該基地使用新技術(shù)后春見柑橘的年總利潤是多少萬元．五五.刷易錯一．選擇題（共7小題）1．（2023?南寧二模）某企業(yè)為了響應(yīng)落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量M（單位：mg/L）