2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題10 復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.設(shè)復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a,b$是實數(shù)），則$z$是純虛數(shù)的條件是：A.$a=0$且$b\neq0$B.$a\neq0$且$b=0$C.$a=b$D.$a^2+b^2=0$2.若復(fù)數(shù)$z_1=2+3i$，$z_2=45i$，則$z_1\cdotz_2$的值為：A.$23+14i$B.$14+23i$C.$14+23i$D.$2314i$3.設(shè)$z=3+4i$，則$|z|$的值是：A.3B.4C.5D.74.若$z=1\sqrt{3}i$，則$z$的共軛復(fù)數(shù)$\bar{z}$為：A.$1+\sqrt{3}i$B.$1+\sqrt{3}i$C.$1\sqrt{3}i$D.$1\sqrt{3}i$5.復(fù)數(shù)$z=2i$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于：A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限二、判斷題（每題1分，共5分）6.任何實數(shù)都可以看作是復(fù)數(shù)，其中虛部為0。7.復(fù)數(shù)$z=a+bi$的模$|z|$等于$\sqrt{a^2b^2}$。8.兩個復(fù)數(shù)相乘，其結(jié)果的模等于這兩個復(fù)數(shù)模的乘積。9.復(fù)數(shù)$z=a+bi$的共軛復(fù)數(shù)$\bar{z}$是$abi$。10.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)$z=a+bi$對應(yīng)點的坐標(biāo)為$(b,a)$。三、填空題（每題1分，共5分）11.復(fù)數(shù)$z=3+4i$的模$|z|$=_______。12.若$z=2+3i$，則$z^2$=_______。13.復(fù)數(shù)$z=45i$的共軛復(fù)數(shù)$\bar{z}$=_______。14.若$z=1+i$，則$\frac{1}{z}$=_______。15.復(fù)數(shù)$z=3i$在復(fù)平面上對應(yīng)的點坐標(biāo)為_______。四、簡答題（每題2分，共10分）16.簡述復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。17.解釋什么是復(fù)數(shù)的共軛，以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。18.描述復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示方法。19.什么是復(fù)數(shù)的模，如何計算？20.簡述復(fù)數(shù)除法的計算過程。五、應(yīng)用題（每題2分，共10分）21.設(shè)$z_1=2+3i$，$z_2=12i$，求$z_1+z_2$和$z_1\cdotz_2$。22.已知$z=3+4i$，求$z$的共軛復(fù)數(shù)$\bar{z}$和$|z|$。23.若$z=1+\sqrt{3}i$，求$z^2$和$\frac{1}{z}$。24.設(shè)$z_1=2i$，$z_2=34i$，求$z_1\cdotz_2$和$\frac{z_1}{z_2}$。25.在復(fù)平面上，畫出復(fù)數(shù)$z=2+3i$和$w=12i$對應(yīng)的點，并求出它們之間的距離。六、分析題（每題5分，共10分）26.已知復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a,b$是實數(shù)），證明$z$的模$|z|$等于$\sqrt{a^2+b^2}$。27.設(shè)$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$是兩個非零復(fù)數(shù)，證明$z_1\cdot\bar{z_1}=|z_1|^2$和$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bcad}{c^2+d^2}i$。七、實踐操作題（每題5分，共10分）28.使用圖形計算器或繪圖軟件，在復(fù)平面上繪制復(fù)數(shù)$z=2+3i$，$w=34i$，以及$z+w$對應(yīng)的點，并觀察它們之間的關(guān)系。29.編寫一個簡單的程序，輸入兩個復(fù)數(shù)$z_1$和$八、專業(yè)設(shè)計題（每題2分，共10分）1.設(shè)計一個電路，使用復(fù)數(shù)計算兩個交流電壓信號的疊加。2.利用復(fù)數(shù)原理，設(shè)計一個算法來計算多個復(fù)數(shù)的和。3.設(shè)計一個實驗，驗證復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。4.創(chuàng)建一個程序，使用復(fù)數(shù)解決二次方程。5.設(shè)計一個系統(tǒng)，利用復(fù)數(shù)分析信號處理中的頻率成分。九、概念解釋題（每題2分，共10分）6.解釋什么是復(fù)數(shù)的共軛，并說明其在電路分析中的應(yīng)用。7.簡述復(fù)數(shù)在流體力學(xué)中的意義。8.解釋復(fù)數(shù)在振動分析中的作用。9.闡述復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中的重要性。10.說明復(fù)數(shù)在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。十、思考題（每題2分，共10分）11.思考復(fù)數(shù)在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用，例如在股票市場分析中。12.探討復(fù)數(shù)在生物醫(yī)學(xué)成像技術(shù)中的應(yīng)用。13.思考復(fù)數(shù)在密碼學(xué)中的潛在應(yīng)用。14.分析復(fù)數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)算法中的應(yīng)用。15.探討復(fù)數(shù)在氣象學(xué)中的應(yīng)用，例如在天氣預(yù)報模型中。十一、社會擴(kuò)展題（每題3分，共15分）16.研究復(fù)數(shù)在無線通信系統(tǒng)中的優(yōu)化策略。17.探討復(fù)數(shù)在可再生能源系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。18.分析復(fù)數(shù)在智能電網(wǎng)穩(wěn)定性評估中的作用。19.研究復(fù)數(shù)在虛擬現(xiàn)實技術(shù)中的應(yīng)用。一、選擇題答案1.A2.B3.C4.D5.E二、判斷題答案6.錯誤7.正確8.錯誤9.正確10.錯誤三、填空題答案11.實部12.虛部13.模14.階段15.幅角四、簡答題答案16.復(fù)數(shù)是形如abi的數(shù)，其中a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，滿足i21。17.復(fù)數(shù)的模是復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的長度，計算公式為sqrt(a^2+b^2)。18.復(fù)數(shù)的共軛是將復(fù)數(shù)的虛部變號，即abi。19.復(fù)數(shù)的乘法可以通過將模相乘，幅角相加來進(jìn)行計算。20.復(fù)數(shù)的除法可以通過將除數(shù)的共軛乘以被除數(shù)，然后分別除以除數(shù)的模的平方來進(jìn)行計算。五、應(yīng)用題答案21.z1z2的模為sqrt(2^2+3^2)sqrt(4^2+(5)^2)=sqrt(13)sqrt(41)，幅角分別為arctan(3/2)和arctan(5/4)。22.z1z2的模為sqrt(2^2+3^2)sqrt(4^2+(5)^2)=sqrt(13)sqrt(41)，幅角分別為arctan(3/2)和arctan(5/4)。23.z1z2的模為sqrt(2^2+3^2)sqrt(4^2+(5)^2)=sqrt(13)sqrt(41)，幅角分別為arctan(3/2)和arctan(5/4)。24.z1z2的模為sqrt(2^2+3^2)sqrt(4^2+(5)^2)=sqrt(13)sqrt(41)，幅角分別為arctan(3/2)和arctan(5/4)。25.z1z2的模為sqrt(2^2+3^2)sqrt(4^2+(5)^2)=sqrt(13)sqrt(41)，幅角分別為arctan(3/2)和arctan(5/4)。六、分析題答案26.證明：設(shè)z1a1bi1，z2a2bi2，則z1z2a1a2b1b2a1b2+a2b1i。所以，z1z2的模為sqrt((a1a2b1b2)^2+(a1b2+a2b1)^2)=sqrt(a1^2+b1^2)sqrt(a2^2+b2^2)=z1的模z2的模。27.證明：設(shè)z1abi，z2cdi，則z1cdotbarz1z12a^2+b^2和fracz1z2fracabicdifracacbdc2d2fracbcadc2d2ifracacbdc2d2bc+adfracadbcfracc2d2i。所以，z1cdotbarz1z12和fracz1z2fracabicdifracacbdc2d2fracbcadc2d2i。七、實踐操作題答案28.略29.略1.復(fù)數(shù)的基本概念：包括復(fù)數(shù)的定義、實部和虛部、模和幅角、共軛等。2.復(fù)數(shù)的運算：包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法、除法等。3.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)可以在復(fù)平面上表示為一個點，復(fù)數(shù)的運算可以對應(yīng)到復(fù)平面上的幾何操作。4.復(fù)數(shù)的應(yīng)用：復(fù)數(shù)在電路分析、振動分析、信號處理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例：1.選擇題：考察學(xué)生對復(fù)數(shù)基本概念的理解，例如復(fù)數(shù)的定義、實部和虛部、模和幅角等。2.判斷題：考察學(xué)生對復(fù)數(shù)基本概念和運算的掌握，例如復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法、除法等。3.填空題：考察學(xué)生對復(fù)數(shù)基本概念和運算的記憶，例如復(fù)數(shù)的模、幅角、共軛等。4.簡