高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義模塊二專題四立體幾何第二講　點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

專題四立體幾何第二講點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理對(duì)命題真假進(jìn)行判斷．2．以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體考查線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系.1．(2016·山東卷)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)．則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A.[答案]A2．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n[解析]對(duì)于A，m與l可能平行或異面，故A錯(cuò)；對(duì)于B、D，m與n可能平行、相交或異面，故B、D錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)閚⊥β，l?β，所以n⊥l，故C正確．故選C.[答案]C3．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是________．(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào))[解析]過(guò)點(diǎn)C作直線a1∥a，b1∥b，則直線AC、a1、b1兩兩垂直．不妨分別以a1、b1、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，取n1＝(1,0,0)為a1的方向向量，n2＝(0,1,0)為b1的方向向量，令A(yù)(0,0,1)．可設(shè)B(cosθ，sinθ，0)，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝(cosθ，sinθ，－1)．當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos〈n1，\o(AB,\s\up16(→))〉))＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cosθ))＝eq\f(\r(2),2)，|sinθ|＝eq\f(\r(2),2)，∴|cos〈n2，eq\o(AB,\s\up16(→))〉|＝eq\f(1,2)，即AB與b所成角也是60°.∵|cos〈n1，eq\o(AB,\s\up16(→))〉|＝eq\f(|cosθ|,\r(1)×\r(2))＝eq\f(|cosθ|,\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，∴直線AB與a所成角的最小值為45°.綜上，②和③是正確的，①和④是錯(cuò)誤的．故填②③.[答案]②③4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn)．(1)證明：直線CE∥平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M－AB－D的余弦值．[解](1)取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝eq\f(1,2)AD，所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF，又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up16(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o(AB,\s\up16(→))|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，eq\r(3))，eq\o(PC,\s\up16(→))＝(1,0，－eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(1,0,0)．設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，則eq\o(BM,\s\up16(→))＝(x－1，y，z)，eq\o(PM,\s\up16(→))＝(x，y－1，z－eq\r(3))．因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos〈eq\o(BM,\s\up16(→))，n〉|＝sin45°，eq\f(|z|,\r(x－12＋y2＋z2))＝eq\f(\r(2),2)，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上，設(shè)eq\o(PM,\s\up16(→))＝λeq\o(PC,\s\up16(→))，則x＝λ，y＝1，z＝eq\r(3)－eq\r(3)λ.②由①，②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(2),2)，,y＝1，,z＝－\f(\r(6),2)))(舍去)，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)，,y＝1，,z＝\f(\r(6),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，1，\f(\r(6),2)))，從而eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，1，\f(\r(6),2))).設(shè)m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AM,\s\up16(→))＝0，,m·\o(AB,\s\up16(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)x0＋2y0＋\r(6)z0＝0，,x0＝0，))所以可取m＝(0，－eq\r(6)，2)．于是cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\r(10),5).易知所求二面角為銳角．因此二面角M－AB－D的余弦值為eq\f(\r(10),5).考點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判斷1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b，?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b，?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，?a∥b.2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α，?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α，?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，?a⊥β.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2017·中原名校聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m?αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，α⊥β且m?α，可得m∥β或m與β相交或m?β，故A不成立；對(duì)于選項(xiàng)B，α⊥β且m∥α，可得m?β或m∥β或m與β相交，故B不成立；對(duì)于選項(xiàng)C，m∥n且n⊥β，則m⊥β，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或m?β，故D不成立．故選C.[答案]C2．(2017·山東濰坊3月模擬)已知兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，以下四個(gè)命題：①若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥n；③若m∥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．4B．3C．2D．1[解析]若m∥α，n∥β，且α∥β，則m，n可能平行，相交或異面，①錯(cuò)誤；若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n∥β，則m⊥n，②正確；若n⊥β，α⊥β，則n∥α或n?α，又m∥α，則m，n可能平行、相交或異面，③錯(cuò)誤；若n⊥β，α⊥β，則n∥α或n?α，又m⊥α，則m⊥n，④正確，綜上正確命題的個(gè)數(shù)是2，故選C.[答案]C3.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EFA．直線AA1B．直線A1B1C．直線A1D1D．直線B1C[解析]由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，直線AA1與直線EF異面；直線A1B1與直線EF異面；直線A1D1與直線EF異面；直線B1C1與直線EF均在平面BCC1B1[答案]D4．(2017·湖南十三校聯(lián)考)過(guò)三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A[解析]記AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面[答案]6空間線面位置關(guān)系判定的兩種方法(1)定理法：借助空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來(lái)解決問(wèn)題．(2)模型法：借助空間幾何模型，如在長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理作出選擇．考點(diǎn)二空間線位置關(guān)系的證明[證明](1)如圖所示，連接AB1交A1B于E，連接ED.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AB＝BB1∴側(cè)面ABB1A1∴E是AB1的中點(diǎn)，又已知D為AC的中點(diǎn)，∴在△AB1C中，ED∴B1C∥ED，又B1C?平面A1BD，ED?平面A1∴B1C∥平面A1BD(2)∵AC1⊥平面A1BD.∴AC1⊥A1B.∵側(cè)面ABB1A1是正方形，∴A1B⊥AB1又AC1∩AB1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C又∵ABC－A1B1C1∴BB1⊥B1C1，又BB1∩A1B＝B∴B1C1⊥平面ABB1A[探究追問(wèn)]在例1(2)的條件下，設(shè)AB＝1，求三棱錐B－A1C1D[解]∵AB＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1∴BD是三棱錐B－A1C1D由(2)知B1C1⊥平面ABB1A∵B1C1∥BC，∴BC⊥平面ABB1A∵AB?平面ABB1A1∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形，又∵AB＝BC＝1，∴BD＝eq\f(\r(2),2)，∴AC＝A1C1＝eq\r(2).∴三棱錐B－A1C1D的體積V＝eq\f(1,3)·BD·S△A1C1D＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)A1C1·AA1＝eq\f(\r(2),12)×eq\r(2)×1＝eq\f(1,6).(1)證明線線平行的4種常用方法①利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；②利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；③利用三角形的中位線定理證線線平行；④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換．(2)證明線線垂直的3種常用方法①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練](2017·西寧模擬)如圖，在幾何體ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點(diǎn)，MC∥AE，且AE＝MC＝eq\r(2).(1)求證：平面BCD⊥平面CDE；(2)若N為線段DE的中點(diǎn)，求證：平面AMN∥平面BEC.[證明](1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M為線段BD的中點(diǎn)，∴AM＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，AM⊥BD.∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD，∵AM?平面ABD.∴MC⊥AM，又MC∩BD＝M，∴AM⊥平面BCD.又AE＝MC＝eq\r(2)，∴四邊形AMCE為平行四邊形，∴EC∥AM，∴EC⊥平面BCD，∵EC?平面CDE，∴平面BCD⊥平面CDE.(2)∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，∴MN∥BE.∵M(jìn)N?平面BEC，BE?平面BEC.∴MN∥面BEC.由(1)知EC∥AM，∵EC?平面BEC，AM?平面BEC.∴AM∥面BEC，又∵AM∩MN＝M.AM?平面AMN，MN?平面AMN.∴平面AMN∥平面BEC.考點(diǎn)三空間角的求解1．求異面直線所成的角(1)定義法：平移兩條異面直線中的一條或兩條成相交直線，其所成角(或補(bǔ)角)即為所求．(2)向量法：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).2．向量法求線面所成的角求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝eq\f(|n·a|,|n||a|).3．向量法求二面角求出二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).角度1：求兩異面直線所成的角的大小[解](1)證明：四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，連接AC，如圖，則△ACD為等邊三角形，又M為CD中點(diǎn)，∴AM⊥CD，由CD∥AB得，AM⊥AB，∵AA1⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，∴AM⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴AM⊥平面AA1B1B.(2)∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，∴DM＝1，AM＝eq\r(3)，∴∠AMD＝∠BAM＝90°，又AA1⊥底面ABCD，∴以AB，AM，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，eq\r(3)，0)，D1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，2))，∴eq\o(DD1,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，2))，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(－3，eq\r(3)，0)，eq\o(A1B,\s\up16(→))＝(2,0，－2)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up16(→))＝0,n·\o(A1B,\s\up16(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋\r(3)y＝0,2x－2z＝0))?y＝eq\r(3)x＝eq\r(3)z，令x＝1，則n＝(1，eq\r(3)，1)，∴直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值．sinθ＝|cos〈n，eq\o(DD1,\s\up16(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(DD1,\s\up16(→)),|n|·|\o(DD1,\s\up16(→))|)))＝eq\f(1,5).[解](1)證明：由題設(shè)可得，△ABD≌△CBD，從而AD＝DC.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DO⊥AC，DO＝AO.又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC.所以∠DOB為二面角D－AC－B的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知，OA，OB，OD兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up16(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o(OA,\s\up16(→))|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積為eq\f(1,2)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq\f(1,2)，即E為DB的中點(diǎn)，得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2))).故eq\o(AD,\s\up16(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－2,0,0)，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)，\f(1,2))).設(shè)n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD,\s\up16(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up16(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－x＋\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0.))可取n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)，1)).設(shè)m是平面AEC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AC,\s\up16(→))＝0，,m·\o(AE,\s\up16(→))＝0.))同理可取m＝(0，－1，eq\r(3))．則cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(\r(7),7).易知二面角D－AE－C為銳二面角，所以二面角D－AE－C的余弦值為eq\f(\r(7),7).向量法求線面角、二面角需破4“關(guān)”(1)“建系關(guān)”：構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)“坐標(biāo)關(guān)”：準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)“向量法”：準(zhǔn)確求出直線的方向向量和平面的法向量；(4)“公式法”：準(zhǔn)確利用公式進(jìn)行求解及轉(zhuǎn)化．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2017·山東泰安模擬)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，P是A1B1的中點(diǎn)，則直線PQ與AMA.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)[解析]以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝AB＝AC＝2，則eq\o(AM,\s\up16(→))＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，eq\o(QP,\s\up16(→))＝(0，－1,2)，所以eq\o(QP,\s\up16(→))·eq\o(AM,\s\up16(→))＝0，所以PQ與AM所成角為eq\f(π,2).[答案]D2．(2017·鄭州模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，O為AB邊上一點(diǎn)，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC,2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.(1)求證：平面PBD⊥平面COD；(2)求直線PD與平面BDC所成角的正弦值．[解](1)證明：∵OB＝OC，又∵∠ABC＝eq\f(π,4)，∴∠OCB＝eq\f(π,4)，∴∠BOC＝eq\f(π,2).∴CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴PO⊥OC.又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O，∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB.又CO?平面COD，∴平面PDB⊥平面COD.(2)以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)OA＝1，則PO＝OB＝OC＝2，DA＝1.則C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0，－1,1)，∴eq\o(PD,\s\up16(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(2，－2,0)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(0，－3,1)．設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up16(→))＝0，,n·\o(BD,\s\up16(→))＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2y＝0，,－3y＋z＝0，))令y＝1，則x＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．設(shè)PD與平面BDC所成的角為θ，則sinθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PD,\s\up16(→))·n,|\o(PD,\s\up16(→))||n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1×0＋1×－1＋3×－1,\r(02＋－12＋－12)×\r(12＋12＋32))))＝eq\f(2\r(22),11).即直線PD與平面BDC所成角的正弦值為eq\f(2\r(22),11).3．(2017·西安八校聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AB＝2BC＝4，BF＝CF＝AE＝DE，EF＝2，EF∥AB，AF⊥CF.(1)若G為FC的中點(diǎn)，證明：AF∥平面BDG；(2)求平面ABF與平面BCF夾角的余弦值．[解](1)證明；如圖，連接AC交BD于O點(diǎn)，則O為AC的中點(diǎn)，連接OG，∵點(diǎn)G為FC的中點(diǎn)，∴OG∥AF.∵AF?平面BDG，OG?平面BDG，∴AF∥平面BDG.(2)取AD的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)Q，連接MQ，則MQ∥AB∥EF，∴M，Q，F(xiàn)，E共面．作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，則EN∥FP且EN＝FP.連接EM，F(xiàn)Q，∵AE＝DE＝BF＝CF，AD＝BC，∴△ADE和△BCF全等，∴EM＝FQ，∴△ENM和△FPQ全等，∴MN＝PQ＝1，∵BF＝CF，Q為BC中點(diǎn)，∴BC⊥FQ，又BC⊥MQ，F(xiàn)Q∩MQ＝Q，∴BC⊥平面MQFE，∴PF⊥BC，又∵BC∩MQ＝Q，∴PF⊥平面ABCD.以P為原點(diǎn)，PM為x軸，PF為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(3,1,0)，B(－1,1,0)，C(－1，－1,0)，設(shè)F(0,0，h)，則eq\o(AF,\s\up16(→))＝(－3，－1，h)，eq\o(CF,\s\up16(→))＝(1,1，h)．∵AF⊥CF，∴eq\o(AF,\s\up16(→))·eq\o(CF,\s\up16(→))＝0，解得h＝2.設(shè)平面ABF的法向量n1＝(x1，y1，z1)，eq\o(AF,\s\up16(→))＝(－3，－1,2)，eq\o(BF,\s\up16(→))＝(1，－1,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AF,\s\up16(→))＝0，,n1·\o(BF,\s\up16(→))＝0))得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x1－y1＋2z1＝0，,x1－y1＋2z1＝0，))令z1＝1，得x1＝0，y1＝2，同理得平面BCF的一個(gè)法向量為n2＝(－2,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(1,\r(5)×\r(5))＝eq\f(1,5)，∴平面ABF與平面BCF夾角的余弦值為eq\f(1,5).

熱點(diǎn)課題15立體幾何中的“翻折”問(wèn)題[感悟體驗(yàn)](2017·大連二模)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體．(1)求證：AB⊥平面ADC；(2)若AD＝1，二面角C－AB－D的平面角的正切值為eq\r(6)，求二面角B－AD－E的余弦值．[解](1)