四川2024~2025學年高一數(shù)學第一學期1月選拔測試期末試題含答案

/四川2024~2025學年高一數(shù)學第一學期1月選拔測試期末試題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的取值情況，分析判斷集合中元素的特征得不等式，求解即得.【詳解】因，則，故.故選：D.2.設(shè)，則對任意實數(shù)，“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，再分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)易知：在上單調(diào)遞增，且故在上單調(diào)遞增當時，，充分性；當時，即，必要性；故選：【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，充分必要條件，意在考查學生的綜合應(yīng)用能力.3.已知函數(shù)，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除CD，利用可排除B，由此得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標原點對稱，可排除C，D；當時，，排除B.故選：A.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.4.設(shè)集合，且，函數(shù)（且），則（）A.為增函數(shù) B.為減函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性檢驗各選項即可.【詳解】當時，，時，在上不是增函數(shù)，故A不正確；當時，，時，在上為增函數(shù)，B不正確；當時，，，為偶函數(shù)，故C不正確；當時，，，為偶函數(shù)，故D正確；故選：D.5.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間有且僅有3個根，由三角函數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】函數(shù)的零點，即方程的根，當時，，方程在區(qū)間有且僅有3個根，則，解得.故選：D.6.若關(guān)于的函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義域為實數(shù)集，轉(zhuǎn)化為且恒成立，結(jié)合二次不等式恒成立求解即可.【詳解】由題意，，且對任意，，①且，②對于①，，結(jié)合，得.若，由②知對任意，矛盾；若，由②知對任意，即，則，得，綜上，當時，對任意，①②同時成立.故選：C7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式能證明，由此能證明，再構(gòu)造函數(shù)，，由，可得

，則，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：

，，

，，等號取不到，，

，

，，令，∵，∴單調(diào)遞減，且，，可得

于是

，，故選：A.8.存在函數(shù)滿足對于任意都有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】該題的意思是由四個選項中的等式哪一個能夠確定出一個函數(shù)，舉例說明A、B、C不正確；求出滿足的函數(shù)解析式說明D正確.【詳解】解：A.，一個對應(yīng)兩個，錯誤；B.，，一個對應(yīng)兩個，錯誤；C.，，一個對應(yīng)兩個，錯誤；D.，則，正確.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題.二、多選題（本題共3個小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分）9.下列說法正確的有（）A.的最小值為2 B.最大值為C.的最小值為 D.的最小值為2【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的應(yīng)用，結(jié)合選項依次求解即可.【詳解】A：當時，，當且僅當即時等號成立，故A錯誤；B：，當且僅當即時等號成立，故B正確；C：，當且僅當時等號成立，故C正確；D：當且僅當時等號成立，故D錯誤．故選：BC10.，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】先利用的單調(diào)性證明，然后直接得到，并通過證明，得出，即可驗證C，D正確；然后利用該范圍直接估計出的下界，即可得到A正確，B錯誤.【詳解】對于D，構(gòu)造，易得在上遞增，而，，所以有唯一的正根，且該根位于區(qū)間，因為，所以，則，故，.所以，故D正確；對于C，而，，故，而，所以有，故C正確；對于AB，由，知.從而，故A正確，B錯誤.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱，則下列說法一定正確的是（）A.若周期為2，則為奇函數(shù) B.為奇函數(shù)C.若周期為4，則為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性以及對稱性即可判斷A，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解D，舉反例即可求解BD.【詳解】由于的圖像關(guān)于中心對稱，所以，對于A,若周期為2，則，所以，故為奇函數(shù)，A正確，對于B，若，顯然的圖像關(guān)于中心對稱，但是，故不是奇函數(shù)，B錯誤，對于C,若，顯然的圖像關(guān)于中心對稱，且周期為4，當時，則故不為偶函數(shù)，C錯誤對于D，，所以，故為奇函數(shù)，D正確，故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卷中的橫線上.12.已知角的終邊過點，且，則角的弧度數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】首先判斷角為第二象限角，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式得到，即可得解.【詳解】因為角的終邊過點，又，所以，，所以角為第二象限角，因為，所以，所以，又，所以.故答案為：13.已知函數(shù)，若的圖象上存在不同的兩個點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的圖象上存在不同的兩個點關(guān)于原點對稱列方程，利用換元法來求得的取值范圍.【詳解】，由于的圖象上存在不同的兩個點關(guān)于原點對稱，所以有解，即，①，令，當且僅當時等號成立，則，則①可化為，依題意，此方程在上有解，當，解得，當時，，符合題意.當時，，不符合題意.當，即②時，設(shè)，的開口向上，對稱軸，要使在上有零點，則或，所以，結(jié)合②得.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點睛】易錯點睛：對稱點條件的正確使用：在列出關(guān)于原點對稱的條件時，容易因條件代入不準確而導致方程錯誤.在運用對稱點條件時，需確保每個代入步驟的符號處理正確.一元二次方程的解集判斷：在判斷一元二次方程的解的存在性時，特別是對參數(shù)的范圍進行分類討論時，容易遺漏某些特殊情況或邊界條件.因此，在討論每種情況時，要確保所有可能性都得到了充分考慮.14.若存在（互不相等），滿足，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，不妨設(shè)，再分和兩種情況討論，分別求出，進而可得出答案.【詳解】存在（互不相等），滿足，則，不妨設(shè)，且是相鄰最值點.當時，則，解得，由，解得，當時，，當時，，當時，，所以，當時，則，解得，由，解得，當時，，當時，，所以，綜上所述，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題意可得，不妨設(shè)，再分和求出是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的定義域為A，函數(shù)，則的值域是B，不等式的解集為C.（1）求；（2）若，則實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)根式的意義求集合A，根據(jù)求集合B，進而求并集；（2）分、和三種情況解不等式求集合C，再結(jié)合即可得結(jié)果.【小問1詳解】因為，解得或，即；又因為，當且僅當時，等號成立，則，可得，即；所以.【小問2詳解】對于不等式，令，可得或，當時，則，可知不成立，不合題意；當時，則，可知不成立，不合題意；當時，則，若，則；綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.16.已知（1）化簡；（2）若，求的值：（3）若為第三象限角，且，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式化簡，從而得解；（2）利用（1）中結(jié)論，直接代入，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式即可得解；（3）根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的誘導公式與基本關(guān)系式依次求得，從而得解.【小問1詳解】.【小問2詳解】因為，所以.【小問3詳解】因為，所以，又為第三象限角，所以，所以.17.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若，不等式對恒成立，求實數(shù)得取值范圍.【答案】（1）1；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)值；（2）根據(jù)已知可得，應(yīng)用單調(diào)性定義判斷單調(diào)性，再由單調(diào)性、不等式恒成立、一元二次不等式解法求參數(shù)范圍.【小問1詳解】因為為奇函數(shù)，所以，解得.【小問2詳解】由（1）知，又，所以.任取且，則，所以，，故，則為上的減函數(shù).所以恒成立等價于恒成立，令，則，因為，所以，所以，解得或，所以的取值范圍為或.18.已知函數(shù)，為常數(shù).（1）證明：的圖象關(guān)于直線對稱.（2）設(shè)上有兩個零點，.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：.【答案】（1）證明見解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）利用平方關(guān)系將函數(shù)變形為，再計算即可證明；（2）（?。┝顒t，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上有兩個不相等實數(shù)根，即可得到，從而求出參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）令，，根據(jù)韋達定理得到，將兩邊平方可得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】因為，因為，所以圖象關(guān)于直線對稱.【小問2詳解】（ⅰ）令，因為，所以，則，則，，因為在上單調(diào)遞減，所以關(guān)于的方程在上有兩個不相等實數(shù)根，所以，解得，即的取值范圍為.（ⅱ）令，，則，為關(guān)于的方程的兩根，所以，，所以，所以，即，因為，所以，所以，由于，，所以，則，即，又在上單調(diào)遞減，所以，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一問關(guān)鍵是推導出，第二問關(guān)鍵換元，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在給定區(qū)間上有兩解問題.19.已知函數(shù)，函數(shù)（1）證明函數(shù)的奇偶性，并求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用定義法證明；（3），使在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，0；（2）單調(diào)遞減，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩不等實根，利用換元法和分離參數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】由于函數(shù)的定義域為且，關(guān)于原點對稱；又，故為奇函數(shù)；則；【小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：當時，，設(shè)由于且，故，則，因此，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】因為，且在上單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以在上的值域為，，即整理得：