2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編：函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系（人教B版）

第1頁/共1頁2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系（人教B版）一、單選題1．（2025北京豐臺高一上期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是以2為周期的周期函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個實數(shù)根，分別記為，則2．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題3．（2025北京北師大附中高一上期末）對于函數(shù)﹐若集合中恰有個元素，則稱函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”．已知函數(shù)（1）若，則函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是．4．（2024北京豐臺高一上期末）能說明“關(guān)于的不等式在上恒成立”為假命題的實數(shù)的一個取值為.5．（2023北京四十四中高一上期末）關(guān)于的方程，給出下列四個命題:①不存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；③不存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根.其中正確命題的序號是.(寫出所有正確命題的序號)三、解答題6．（2025北京清華附中高一上期末）已知二次函數(shù)，其中.(1)若的最小值為，求的值；(2)若有兩個不同的零點，求證：.7．（2025北京豐臺高一上期末）設(shè)函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值和最小值：(2)若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；(3)若在區(qū)間內(nèi)存在零點，求的取值范圍．8．（2025北京北師大附中高一上期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的不等式的解集為．(1)當(dāng)時，求解集S；(2)是否存在實數(shù)a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．(3)求函數(shù)的零點．9．（2024北京西城高一上期末）已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為已知，使存在并且唯一，并完成下列問題.(1)求的值；(2)已知函數(shù)有兩個不同的正數(shù)零點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，求的值.條件①：；條件②：，；條件③：，.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案1．D【分析】對于選項A，定義在上的奇函數(shù)，則.令得出判定；對于選項B，要通過已知條件推導(dǎo)出函數(shù)的周期；對于選項C，根據(jù)函數(shù)的周期性和已知區(qū)間的單調(diào)性來判斷指定區(qū)間的單調(diào)性；對于選項D，利用函數(shù)的對稱性來確定方程兩根的和.【詳解】對于A，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.由，取可得，故A錯誤；對于B，因為是定義在上的奇函數(shù)，則，又因，則.用替換可得，故有.所以是以為一個周期的周期函數(shù)，故B錯誤；對于C，已知在上單調(diào)遞減，因是奇函數(shù)，故在上也單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減.由于的周期是，那么在上的單調(diào)性與上的單調(diào)性相同.由可知的圖象關(guān)于直線對稱，所以在上的單調(diào)性與上的單調(diào)性相反，即在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，因的圖象關(guān)于直線對稱，且周期可取為，故的圖象關(guān)于直線對稱.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個實數(shù)根，，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可知，則，故D正確.故選：D.2．D【分析】分解因式求解方程的根即可.【詳解】函數(shù)的零點，即方程的實數(shù)根.由解得，或.故函數(shù)的零點個數(shù)是.故選：D3．2【分析】（1）根據(jù)“階準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，可將問題轉(zhuǎn)化為的根的問題；（2）根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”定義，分，，三種情況分析即可得答案.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)，的取值為，的取值為，即，根據(jù)題意得,解得或，則集合中恰有個元素，故是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”②根據(jù)題意，函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則集合中恰有個元素，當(dāng)時,是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，不合題意；當(dāng)時，函數(shù)的圖像如圖①所示，根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得的可能取值為，的可能取值為，由題意知，所以解得或要使得集合中恰有個元素，則需要滿足，即當(dāng)時，函數(shù)的圖像如圖②所示，根據(jù)“階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得的可能取值為或，為，由題意知，當(dāng)，解得不符合題意當(dāng)，解得或，要使得集合中恰有個元素，則需要滿足.綜上，若函數(shù)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則的取值范圍是.故答案為：2；范圍是.【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的“階準(zhǔn)偶函數(shù)”，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)，可能取何值，求出方程的解，通過分類討論根據(jù)方程的解的個數(shù)確定的取值范圍.4．（答案不唯一）【分析】將關(guān)于的不等式在上恒成立問題轉(zhuǎn)化為，從而得到的取值范圍，命題為假命題時的取值范圍是真命題時的補集，即可得的取值.【詳解】若不等式在上恒成立，則，解得，所以該命題為假命題時實數(shù)的取值范圍是，所以實數(shù)的一個取值為.故答案為：（答案不唯一，只要滿足“或”即可）.5．②④【分析】將方程，轉(zhuǎn)化為，令，轉(zhuǎn)化函數(shù)與的交點情況，分，，，討論求解.【詳解】方程，可化為，令，則，，在同一坐標(biāo)系中，作出其圖像，如圖所示：當(dāng)時，交點的橫坐標(biāo)為，且在的值域中，令，解得，故方程恰有5個不同的實根；當(dāng)，即時，圖像有兩個不同的交點，設(shè)交點的橫坐標(biāo)為，且，令，解得，故方程恰有2個不同的實根；當(dāng)，即時，圖像有兩個不同的交點，設(shè)交點的橫坐標(biāo)為，且，令，令，解得，故方程恰有4個不同的實根；當(dāng)，即時，圖像有四個不同的交點，設(shè)交點的橫坐標(biāo)為，且，令，，，，解得，故方程恰有8個不同的實根；故答案為：②④6．(1)(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解；（2）利用韋達定理把不等式左邊表示為的函數(shù)，再結(jié)合基本不等式可證．【詳解】（1），所以，解得（負值舍去）；（2）由題意的兩根為且，所以，因為，故解得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．7．(1)最小值為3，最大值為7．(2)(3)．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最值；（2）根據(jù)函數(shù)不單調(diào)列不等式計算求參；（3）解法1：分及兩種情況分類討論求零點或結(jié)合零點存在定理計算范圍；解法2：先計算對稱軸為，再分，及，結(jié)合零點存在定理計算求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以的對稱軸為，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．（2）由已知，得的對稱軸為．因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以．由，解得，故的取值范圍是（3）解法1：由已知，得．1）當(dāng)即，或時，由，得，此時的零點為3，不符合題意：由，得，此時的零點為，符合題意．2）當(dāng)即，或時，①若，此時的對稱軸且所以在區(qū)間內(nèi)存在零點，符合題意②若，此時的對稱軸，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又因為，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點只需滿足，解得．綜上，的取值范圍是．解法2：由已知，得的對稱軸為，1）當(dāng)即時，，此時在區(qū)間內(nèi)有零點為，符合題意．2）當(dāng)即時，，此時在區(qū)間內(nèi)無零點，不符合題意，3）當(dāng)即，且時，由在區(qū)間內(nèi)存在零點，則有以下兩種情況：①，解得，或②解得．綜上，的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是應(yīng)用零點存在定理列不等式關(guān)系計算求參.8．(1)(2)存在，(3)答案見解析【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，由得關(guān)于的一元二次不等式，求解即可；（2）將一元二次不等式解集的端點值轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解，利用韋達定理求解即可；（3）令，得方程，先根據(jù)是否等于零分類討論，再結(jié)合一元二次方程的判別式，求根公式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)．由，得，即，解得．所以解集．（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得，則，并且，是方程的兩個根，所以，解得．因此，存在，使得．（3）令，得關(guān)于的方程．①當(dāng)時，有，解得．②當(dāng)時，關(guān)于的一元二次方程的判別式為．（?。┊?dāng)，即時，方程無實數(shù)解；（ⅱ）當(dāng)，即時，解得；（ⅲ）當(dāng)，即且時，解得．綜上所述，當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，的零點為；當(dāng)時，的零點為；當(dāng)且時，的零點為和．9．(1)條件選擇見解析，(2)（i）；（ii）【分析】（1）若選條件①②：先計算出的值，再根據(jù)對稱軸求解出，則結(jié)果可知；若選條件①③：先計算出的值，再根據(jù)最小值確定出對稱軸，所以可求，則結(jié)果可知，若選擇②③，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知存在但不唯一；（2）（i）先表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的零點分布列出不等式組，由此求解出的取值范圍；（ii）根據(jù)以及（i）中的范