2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編：函數(shù)的應(yīng)用（一）

第1頁/共1頁2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的應(yīng)用（一）一、單選題1．（2024北京房山高一上期末）血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當(dāng)血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間t（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知，給氧1小時后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.92．（2024北京五十七中高一上期末）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16二、解答題3．（2025北京西城高一上期末）兩地相距520km，貨車從A地勻速行駛到B地，全程限速100km/h．已知貨車每小時的運(yùn)輸成本（單位：元）由固定成本和可變成本組成：固定成本為400元，可變成本與車速的平方成正比，比例系數(shù)為．(1)把貨車的全程運(yùn)輸成本（單位：元）表示為車速（km/h）的函數(shù)；(2)為使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？4．（2023北京西城高一上期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱I為的一個“區(qū)間”．性質(zhì)1：對任意，有；性質(zhì)2：對任意，有．(1)分別判斷區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“區(qū)間”（直接寫出結(jié)論）；①；

②；(2)若是函數(shù)的“區(qū)間”，求m的取值范圍；(3)已知定義在上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)滿足：對任意，且，有．求證：存在“區(qū)間”，且存在，使得不屬于的所有“區(qū)間”．

參考答案1．B【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時間t的方程，解之即可求得給氧時間至少還需要的小時數(shù).【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時間至少還需要小時，由題意可得，，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，得，，則，則給氧時間至少還需要小時故選：B2．D【詳解】由題意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16從而c=15=60故答案為D3．(1)，；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出貨車每小時的運(yùn)輸成本及行駛時間即可得函數(shù)關(guān)系.（2）借助對勾函數(shù)單調(diào)性探討最小值，即可得解.【詳解】（1）依題意，貨車每小時的運(yùn)輸成本的可變成本為，固定成本為400元，行駛時間小時，所以，.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)，即時，，取得最小值；當(dāng)，即時，，取得最小值，所以當(dāng)時，貨車應(yīng)以km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最?。划?dāng)時，貨車應(yīng)以km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最小.4．(1)①是，②不是；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)新定義直接判斷即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)是函數(shù)的“區(qū)間”確定其滿足性質(zhì)1，據(jù)此分類討論求二次函數(shù)值域，檢驗(yàn)即可得解；（3）由所給函數(shù)性質(zhì)分析出滿足性質(zhì)2，轉(zhuǎn)化為不恒成立，存在“區(qū)間”，再構(gòu)造函數(shù)，證明有唯一零點(diǎn)，且.【詳解】（1）對①，當(dāng)，，滿足性質(zhì)1，是函數(shù)的“區(qū)間”，對②，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故不滿足性質(zhì)1,2，不是函數(shù)的“區(qū)間”.（2）記，，注意到，因此，若為函數(shù)的“區(qū)間”，則其不滿足性質(zhì)②，必滿足性質(zhì)①，即.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，所以不包含于，不合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，所以，不合題意.綜上，.（3）對于任意區(qū)間，記，依題意，在上單調(diào)遞減，則.因?yàn)?，所以，即S的長度大于的長度，故不滿足性質(zhì)①.因此，如果為的“Q區(qū)間”，只能滿足性質(zhì)②，即，即只需存在使得，或存在使得.因?yàn)椴缓愠闪?，所以上述條件滿足，所以一定存在“Q區(qū)間".記，先證明函數(shù)有唯一零點(diǎn)；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.若，則為的唯一零點(diǎn)；若，則，即，由零點(diǎn)存在定理，結(jié)合單調(diào)性，可知存在唯一，使得；若，則，即，由零點(diǎn)存在定理，結(jié)合單調(diào)性，可知存在唯一，使得；綜上，函數(shù)有