2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：空間幾何體（人教B版）

第1頁/共1頁2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編空間幾何體（人教B版）一、單選題1．（2025北京海淀高二上期末）正三棱柱的所有棱長都為，分別是的中點，則的長是（

）A． B．C． D．2．（2025北京懷柔高二上期末）金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，這是因為金剛石的碳原子在空間中的排列方式?jīng)Q定的.如圖1，組成金剛石的每一個碳原子，都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為4個碳原子分布在一個所有棱長都相等的正三棱錐的4個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示.即圖2中，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．3．（2024北京昌平高二上期末）《九章算術(shù)》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．4．（2023北京東城高二上期末）已知正四棱錐的高為4，棱的長為2，點為側(cè)棱上一動點，那么面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2025北京101中高二上期末）中國國家博物館中的清代仿官窯四方委角象耳瓶向我們展示了我國古代工匠的高超技藝：瓶唇口，直頸，頸兩側(cè)飾對稱象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一種工藝術(shù)語，指的是將方形器物的尖角抹平，向內(nèi)收縮，如同把角折起來．如圖，該瓶的瓶身相當(dāng)于是在長方體中抹去八個形狀與大小都相同的三棱錐．在長方體中，，，E為的中點，F(xiàn)與G分別是棱與棱上的點，且滿足.已知委角之后的瓶身體積是長方體體積的，則長方體的體對角線長度為．6．（2024北京西城高二上期末）兩個頂點朝下豎直放置的圓錐形容器盛有體積相同的同種液體（示意圖如圖所示），液體表面圓的半徑分別為3，6，則窄口容器與寬口容器的液體高度的比值等于.7．（2024北京海淀高二上期末）作為我國古代稱量糧食的量器，米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化韻味．右圖是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱臺，測量得其內(nèi)高為，兩個底面內(nèi)棱長分別為和，則估計該米斗的容積為．8．（2023北京順義高二上期末）現(xiàn)代幾何學(xué)用曲率概念描述幾何體的彎曲程度．約定：多面體在每個頂點處的曲率等于減去該點處所有面角之和（多面體每個側(cè)面的內(nèi)角叫做多面體的面角），一個多面體的總曲率等于該多面體各頂點處的曲率之和．例如：正方體在每個頂點處有3個面角，每個面角的大小是，所以正方體在各頂點處的曲率為．按照以上約定，四棱錐的總曲率為；若正十二面體（圖1）和正二十面體（圖2）的總曲率分別為和，則0（填“>”，“<”或者“=”）．

參考答案1．A【分析】取的中點為，連接，結(jié)合勾股定理即可求解；【詳解】取的中點為，連接，由正三棱柱的性質(zhì)易知：平面,又面，所以，又，所以，故選：A2．D【分析】將正三棱錐放入正方體中，利用余弦定理計算即可.【詳解】將正三棱錐放入正方體中，由題意為正方體中心，如圖，

設(shè)正方體棱長為，則，，在中，由余弦定理可得，故選：D3．B【分析】利用側(cè)面與下底面的夾角的正切值均為，求得正棱臺的高，進(jìn)而求得其斜高，結(jié)合側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)上底面為，下底面為，取的中點，的中點，連接，設(shè)上底面的中心為，下底面的中心為，連接，過點作于點，如圖所示，因為，所以即為側(cè)面與下底面夾角的平面角，即，又因為，所以，所以，所以，所以方亭的側(cè)面積為.故選：B.4．D【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)得到平面，，然后根據(jù)，，得到的范圍，最后根據(jù)三角形面積公式求面積的最小值即可.【詳解】取中點，連接、、，因為四棱錐為正四棱錐，所以平面，，因為為中點，所以，因為平面，所以，因為，，所以，，在直角三角形中，當(dāng)時，最小，為，當(dāng)點和點重合時，最大，最大為4，所以，，所以當(dāng)時，的面積最小，為.故選：D.5．4【分析】由題意結(jié)合柱體和錐體的體積公式建立關(guān)于x的方程，求出x即可計算求解長方體的體對角線長度.【詳解】由題長方體體積為，，所以抹去的八個形狀與大小都相同的三棱錐的體積之和為，所以，所以長方體的體對角線長度為.故答案為：4.6．4【分析】根據(jù)圓錐體積公式，利用半徑比以及體積相等即可得.【詳解】設(shè)窄口容器的液體高度為，寬口容器的液體高度為，由液體體積相同及液體表面圓的半徑分別為3，6可得，即可得，所以.故答案為：47．【分析】先畫出正四棱臺的直觀圖，再利用臺體的體積公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意，正四棱臺的直觀圖如下：由題意可知，高，下底面正方形的變長，其面積，上底面正方形的變長，其面積，由臺體的體積公式可得，該正四面體的體積:.故該米斗的容積為.故答案為：.8．【分析】根據(jù)曲率、總曲率的知識求得