浙江省杭州市北斗聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江省杭州市北斗聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A．R B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B．3 C． D．23．已知直線，圓，則“”是“直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．北京有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色．現(xiàn)有一名游客每天分別從北京烤鴨、炸醬面、糖火燒、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚這6種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗（選擇的2種美食不分先后順序），若三天后他品嘗完這6種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數(shù)為（

）A．15 B．90 C．270 D．5405．已知，，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)在處的切線為，則（

）A． B． C． D．17．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為的左支上一點(diǎn)，與的一條漸近線平行.若，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．8．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線．例如曲線：，當(dāng)時，是我們熟知的圓；當(dāng)時，曲線是形狀如“四角星”的曲線，稱為星形線，常用于超輕材料的設(shè)計(jì)．則下列關(guān)于曲線說法錯誤的是（

）A．曲線關(guān)于軸對稱B．曲線上的點(diǎn)到軸，軸的距離之積不超過C．曲線與有8個交點(diǎn)D．曲線所圍成圖形的面積小于2二、多選題（本大題共3小題）9．已知展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則（

）A． B．展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和是1C．展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．展開式中常數(shù)項(xiàng)為24010．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增B．若，且，則函數(shù)的最小正周期為C．若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為3D．若在上恰有4個零點(diǎn)，則的取值范圍為11．在正四棱柱中，，，是棱上一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成角的余弦的最大值為B．C．若為棱的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積的最小值為D．若為棱上動點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是．13．斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8為邊的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為.14．已知函數(shù)在上存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足(1)求；(2)若，點(diǎn)在延長線上，且，求．16．公差不為0的等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若，P是線段上的動點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．已知拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交所得線段長為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)圓過，且圓心在拋物線上，是圓在軸上截得的弦.當(dāng)在拋物線上運(yùn)動時，弦的長是否有定值？說明理由；（3）過作互相垂直的兩條直線交拋物線于、、、，求四邊形的面積最小值.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若，求k的值；（3）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值.

參考答案1．【答案】B.【詳解】因?yàn)?,所以.故選B.2．【答案】D【詳解】由題意，則.故選D.3．【答案】B【詳解】由直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)，得直線與圓相交，即1，解得，即，因?yàn)椴灰欢艿玫?，而可推出，所以?”是“直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)”的必要不充分條件.故選B4．【答案】B【詳解】解法一：該游客第一天從6種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗，有種選法；第二天從剩余的4種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗，有種選法；第三天只能品嘗最后剩余的2種美食，有種選法．故該游客在這三天中選擇美食的不同選法種數(shù)為；解法二：先將6種美食平均分成3組，有種不同的分法，該游客每天選擇其中一組美食進(jìn)行品嘗，有種不同的選法，所以這三天他選擇美食的不同選法種數(shù)為．故選B.5．【答案】D【詳解】由已知條件可得，解得，因此，.故選D.6．【答案】A【詳解】由函數(shù)，可得，則且，因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線為，可得，且，所以，可得，所以.故選A.7．【答案】C【詳解】因?yàn)榕c的一條漸近線平行，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，又因?yàn)?，所以，注意到，所以，即，整理得，因?yàn)?，所以，解?故選C.8．【答案】C.【詳解】對于A，在方程中，以替代方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以和替代方程均不變，所以曲線關(guān)于軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，如圖，故A正確；對于B，曲線上點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故B正確；對于C，在第一象限內(nèi)，，所以曲線在直線的下方，所以兩者有4個交點(diǎn)，分別為，故C錯誤；對于D，如圖，圍成的正方形面積為，所以曲線圍成圖形的面積小于2，故D正確.故選C.9．【答案】BCD【詳解】A，由題設(shè)，二項(xiàng)式系數(shù)之和，A錯；B，所以時各項(xiàng)系數(shù)之和為，B對；C，由組合數(shù)的性質(zhì)知，，即時二項(xiàng)式系數(shù)最大，C對；D，對于，則，，令，則常數(shù)項(xiàng)為，D對.故選BCD10．【答案】AD【詳解】對于A，當(dāng)時，，則，由圖象可知在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，由可知一個為函數(shù)的最大值，一個為函數(shù)的最小值.又因?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)，，函數(shù)的最小正周期為，B錯誤；對于C，若的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)解析式為，其圖象關(guān)于軸對稱，則，所以，又因?yàn)?，則的最小值為，C錯誤；對于D，，，則，若在上恰有4個零點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)，得，D正確.故選AD.11．【答案】ACD【詳解】對于A，如圖，在正四棱柱中，因?yàn)?，所以與所成角即與所成角，則即為所求角，在中，，因?yàn)?，所以，即與所成角即與所成角的余弦的最大值為，故A正確；對于B，如圖，在正四棱柱中，易得平面，則，若，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，則，可得側(cè)面為正方形，這與矛盾，故假設(shè)錯誤，故B錯誤；對于C，如圖，分別取的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，易得，又，則是等腰直角三角形，則是外接圓圓心，而平面平面，所以由球的截面性質(zhì)可得球心在線段上，設(shè)，則，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，，又，所以，即，解得，則，故三棱錐的外接球的表面積.故C正確；對于D，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，又點(diǎn)在棱上，平面，所以點(diǎn)到平面的距離為1，即三棱錐的高為1，所以，故三棱錐的體積為定值，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，那么．13．【答案】/【詳解】由斐波那契數(shù)可知，從第3項(xiàng)起，每一個數(shù)都是前面兩個數(shù)的和，所以接下來的一段圓弧所在圓的半徑是，對應(yīng)的弧長是，設(shè)圓錐的底面半徑是，，解得：.14．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時，，無極值點(diǎn)；當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，由余弦定理，得，所以．因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以．（2）在中，由正弦定理，得，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以．所以．在中，由余弦定理，得，所以，所以．所以．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，,因?yàn)?，所以可解得，?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)楫?dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，．綜上所述：.17．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【詳解】（1），，所以又，，又，，，.（2）在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.，，，設(shè)為平面的一個法向量，令，得，.設(shè)平面的一個法向量，則，取.，又平面與平面不重合，平面平面.（3）當(dāng)時，為平面的一個法向量，，則，設(shè)，，，設(shè)直線與平面所成角為，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18．【答案】（1）（2）有，理由見解析（3）【詳解】（1）解：由已知，拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交線段的一個端點(diǎn)坐標(biāo)是，把代入橢圓方程化簡得，解得.所以拋物線的方程為.（2）解：假設(shè)在拋物線上運(yùn)動時弦的長為定值，理由如下：

設(shè)在拋物線上，可知到軸距離為，根據(jù)圓的弦長公式可知：，由已知，，所以，則在拋物線上運(yùn)動時弦的長的定值為.（3）解：若過點(diǎn)且相互垂直的兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中與軸重合的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)過的的兩條直線的方程分別為、，其中，設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，由得，，由韋達(dá)定理可得，則，同理可得，

所以，四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即四邊形的面積的最小值為.19．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以，