天津市弘毅中學2024−2025學年高二下學期第一次過程性診斷數(shù)學試卷（含解析）

天津市弘毅中學2024?2025學年高二下學期第一次過程性診斷數(shù)學試卷一、單選題（本大題共12小題）1．下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A．(a為常數(shù)) B．C． D．2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A． B． C． D．3．函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極大值點（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．144種 B．120種 C．108種 D．96種6．已知函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．生命在于運動，小蘭給自己制定了周一到周六的運動計劃，這六天每天安排一項運動，其中有兩天練習瑜伽，另外四天的運動項目互不相同，且運動項目為跑步?爬山?打羽毛球和跳繩，下列說法錯誤的是（

）A．若瑜伽被安排在周一和周六，則共有48種不同的安排方法B．若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽，則共有216種不同的安排方法C．若周一不練習瑜伽，周三爬山，則共有36種不同的安排方法D．若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則共有240種不同的安排方法8．若函數(shù)恰有1個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．若函數(shù)在處有極值10，則（

）．A． B．或15 C． D．1510．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為A． B． C． D．11．中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（

）A．450種 B．72種 C．90種 D．360種12．若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）13．若，則.14．已知函數(shù)滿足，則.15．用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）16．過原點作曲線的切線，則切點的坐標為，切線的斜率為．17．已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是18．丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）是19世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是．三、解答題（本大題共3小題）19．已知函數(shù)，當時取得極小值，當時取得極大值.（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若對于任意，總存在，使得，求的取值范圍.21．已知函數(shù)，（1）若，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對內(nèi)任意一個，都有成立，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】A：因為a為常數(shù)，所以，故A錯誤；B：，故B正確；C：，故C錯誤；D：，故D錯誤.故選B2．【答案】B【詳解】函數(shù)的定義域是（0，+∞），y′=1﹣+=，令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函數(shù)在（0，1）遞減，故選B．3．【答案】A【詳解】依題意，記函數(shù)的圖象與軸的交點橫坐標依次為當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以為極小值點，為極大值點，為極小值點故極大值點有1個故選:A4．【答案】C【詳解】因為，則，所以，，所以，.故選C.5．【答案】A【詳解】先涂區(qū)域1和區(qū)域2，有種涂色方法，再涂區(qū)域3，這時有兩類：若區(qū)域1和區(qū)域3同色，則涂區(qū)域4和區(qū)域5有種涂色方法，若區(qū)域1和區(qū)域3不同色，則涂區(qū)域3，區(qū)域4和區(qū)域5有種涂色方法，所以不同的涂色種數(shù)有種涂色方法.故選A.6．【答案】B【詳解】由題得在R上恒成立，解不等式即得解.【詳解】由題意知，，因為在R上是單調(diào)函數(shù)，且的圖象開口向下，所以在R上恒成立，故，即．故選B7．【答案】A【詳解】對于A，若瑜伽被安排在同一和周六，則共有種不同的安排方法，故A不正確；對于B，若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽，則由間接法可得，不同的安排方法種數(shù)為，故B正確對于C，若周一不練習瑜伽，周三爬山，則共有種不同的安排方法，故C正確；對于D，若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項運動，共有種不同的安排方法，再從5個空位里插入2個安排練習瑜伽，故共有種不同的安排方法，故D正確.故選A.8．【答案】C【詳解】解：因為，所以，所以當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，所以當時取得極小值，當時取得極大值，要使函數(shù)恰有1個零點，則或，即或，解得或即故選C9．【答案】D【詳解】，由題意得，解得或，當時，，，故在R上單調(diào)遞增，無極值，舍去，當時，，，當或時，，當時，，所以在處取得極小值，滿足要求，此時.故選D10．【答案】A【詳解】分析：先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解：令，因為，所以因此解集為，選A.點睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等11．【答案】A【詳解】當按照1，2，3的人數(shù)安排時，有種安排方法；當按照2，2，2的人數(shù)安排時，有種安排方法；故共有種安排方法.故選A12．【答案】D【詳解】設(shè)，不等式，變形為，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，由，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以.故選D13．【答案】7【詳解】由，，則，解得.14．【答案】【詳解】由，則，則，即，則，則.15．【答案】1080【詳解】【名師點睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理（加法）和分步計數(shù)原理（乘法），組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，利用加法原理計數(shù).16．【答案】（1,）e【詳解】試題分析：設(shè)切點為，因為y=ex，所以，所以切線方程為：，因為切線方程過原點，把原點坐標代入，得，所以切點坐標為，切線的斜率為．考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；曲線切線方程的求法．點評：我們要注意“在某點處的切線方程”和“過某點的切線方程”的區(qū)別．屬于基礎(chǔ)題型．17．【答案】【詳解】因為，，，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在上有解，即在上有解，，又，，則的取值范圍是：.18．【答案】【詳解】∵函數(shù)在上是“凸函數(shù)”，∴在上恒成立即令，顯然在上單調(diào)遞增，∴∴t≥．故答案為19．【答案】（1）（2）最大值為2，最小值為【詳解】（1）由，則，因為函數(shù)在時取得極小值，時取得極大值，則，是方程的兩實根，則，解得，此時，則，令，得；令，得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在時取得極小值，在取得極大值，滿足題意，則.由，得，又，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以函數(shù)在上的最大值為2，最小值為.20．【答案】（1）答案見解析（2）【詳解】（1）由，定義域為，則，當時，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，令得，令得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時，若對于任意，總存在，使得，即在上的最大值小于等于在的最大值，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故.由，，則，由于，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，所以，即.令，，則，故在上單調(diào)遞減，又，所以當時，，故m的取值范圍為.21．【答案】（1）的極小值是，沒有極大值；（2）答案見解析；（3）.【詳解】試題分析：（1）的定義域為，且，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的極值可得的極小值是，沒有極大值；（2），則，分類討論可得：①當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）原問題等價于“函數(shù)在上的最小值大于零”結(jié)合（2）的結(jié)論分類討論：①；②；③；④四種情況可得的范圍是：.試題解析：（1）的定義域為，當時，，，3—0+極小所以的極小值是，沒有極大值；（2），，①當時，即時，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當，即時，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）“對內(nèi)任意一個，都有成立”等價于“函數(shù)在上的最小值大于零”由（2）可知①當時，在上單調(diào)遞增，所以，解得；②當，即時，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為可得，因為，所以；③當，即時，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由可得，所以；④當，即時，可得最小值為，因為，，所以，故，恒成立.綜上討論可得所求的范圍是：.點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具