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文檔簡介
天津市弘毅中學2024?2025學年高二下學期第一次過程性診斷數(shù)學試卷一、單選題(本大題共12小題)1.下列求導(dǎo)運算正確的是(
)A.(a為常數(shù)) B.C. D.2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.3.函數(shù)的定義域為開區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極大值點(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.已知函數(shù),則(
)A. B. C. D.5.如圖,用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色,要求每個區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色,則不同的涂色方法有(
)A.144種 B.120種 C.108種 D.96種6.已知函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(
)A. B.C. D.7.生命在于運動,小蘭給自己制定了周一到周六的運動計劃,這六天每天安排一項運動,其中有兩天練習瑜伽,另外四天的運動項目互不相同,且運動項目為跑步?爬山?打羽毛球和跳繩,下列說法錯誤的是(
)A.若瑜伽被安排在周一和周六,則共有48種不同的安排方法B.若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽,則共有216種不同的安排方法C.若周一不練習瑜伽,周三爬山,則共有36種不同的安排方法D.若瑜伽不被安排在相鄰的兩天,則共有240種不同的安排方法8.若函數(shù)恰有1個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.9.若函數(shù)在處有極值10,則(
).A. B.或15 C. D.1510.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且,則不等式的解集為A. B. C. D.11.中國空間站(ChinaSpaceStation)的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2023年,中國空間站將正式進入運營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗,三艙中每個艙至少一人至多三人,則不同的安排方法有(
)A.450種 B.72種 C.90種 D.360種12.若對任意的,不等式恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是(
)A. B. C. D.二、填空題(本大題共6小題)13.若,則.14.已知函數(shù)滿足,則.15.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)16.過原點作曲線的切線,則切點的坐標為,切線的斜率為.17.已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是18.丹麥數(shù)學家琴生(Jensen)是19世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的巨人,特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果,設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為,在上的導(dǎo)函數(shù)為,若在上恒成立,則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”,已知在上為“凸函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是.三、解答題(本大題共3小題)19.已知函數(shù),當時取得極小值,當時取得極大值.(1)求函數(shù)在點處的切線方程;(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值.20.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,若對于任意,總存在,使得,求的取值范圍.21.已知函數(shù),(1)若,求函數(shù)的極值;(2)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)若對內(nèi)任意一個,都有成立,求的取值范圍.
參考答案1.【答案】B【詳解】A:因為a為常數(shù),所以,故A錯誤;B:,故B正確;C:,故C錯誤;D:,故D錯誤.故選B2.【答案】B【詳解】函數(shù)的定義域是(0,+∞),y′=1﹣+=,令y′(x)<0,解得:0<x<1,故函數(shù)在(0,1)遞減,故選B.3.【答案】A【詳解】依題意,記函數(shù)的圖象與軸的交點橫坐標依次為當時,,當時,,當時,,當時,,當時,,所以為極小值點,為極大值點,為極小值點故極大值點有1個故選:A4.【答案】C【詳解】因為,則,所以,,所以,.故選C.5.【答案】A【詳解】先涂區(qū)域1和區(qū)域2,有種涂色方法,再涂區(qū)域3,這時有兩類:若區(qū)域1和區(qū)域3同色,則涂區(qū)域4和區(qū)域5有種涂色方法,若區(qū)域1和區(qū)域3不同色,則涂區(qū)域3,區(qū)域4和區(qū)域5有種涂色方法,所以不同的涂色種數(shù)有種涂色方法.故選A.6.【答案】B【詳解】由題得在R上恒成立,解不等式即得解.【詳解】由題意知,,因為在R上是單調(diào)函數(shù),且的圖象開口向下,所以在R上恒成立,故,即.故選B7.【答案】A【詳解】對于A,若瑜伽被安排在同一和周六,則共有種不同的安排方法,故A不正確;對于B,若周二和周五至少有一天安排練習瑜伽,則由間接法可得,不同的安排方法種數(shù)為,故B正確對于C,若周一不練習瑜伽,周三爬山,則共有種不同的安排方法,故C正確;對于D,若瑜伽不被安排在相鄰的兩天,則先排其他四項運動,共有種不同的安排方法,再從5個空位里插入2個安排練習瑜伽,故共有種不同的安排方法,故D正確.故選A.8.【答案】C【詳解】解:因為,所以,所以當時,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,當時,即函數(shù)在和上單調(diào)遞減,所以當時取得極小值,當時取得極大值,要使函數(shù)恰有1個零點,則或,即或,解得或即故選C9.【答案】D【詳解】,由題意得,解得或,當時,,,故在R上單調(diào)遞增,無極值,舍去,當時,,,當或時,,當時,,所以在處取得極小值,滿足要求,此時.故選D10.【答案】A【詳解】分析:先構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解:令,因為,所以因此解集為,選A.點睛:利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式,實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性,而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行:如構(gòu)造,構(gòu)造,構(gòu)造,構(gòu)造等11.【答案】A【詳解】當按照1,2,3的人數(shù)安排時,有種安排方法;當按照2,2,2的人數(shù)安排時,有種安排方法;故共有種安排方法.故選A12.【答案】D【詳解】設(shè),不等式,變形為,設(shè)函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,由,得,當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,所以.故選D13.【答案】7【詳解】由,,則,解得.14.【答案】【詳解】由,則,則,即,則,則.15.【答案】1080【詳解】【名師點睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理(加法)和分步計數(shù)原理(乘法),組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù),包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類,利用加法原理計數(shù).16.【答案】(1,)e【詳解】試題分析:設(shè)切點為,因為y=ex,所以,所以切線方程為:,因為切線方程過原點,把原點坐標代入,得,所以切點坐標為,切線的斜率為.考點:導(dǎo)數(shù)的幾何意義;曲線切線方程的求法.點評:我們要注意“在某點處的切線方程”和“過某點的切線方程”的區(qū)別.屬于基礎(chǔ)題型.17.【答案】【詳解】因為,,,若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則在上有解,即在上有解,,又,,則的取值范圍是:.18.【答案】【詳解】∵函數(shù)在上是“凸函數(shù)”,∴在上恒成立即令,顯然在上單調(diào)遞增,∴∴t≥.故答案為19.【答案】(1)(2)最大值為2,最小值為【詳解】(1)由,則,因為函數(shù)在時取得極小值,時取得極大值,則,是方程的兩實根,則,解得,此時,則,令,得;令,得或,則函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則函數(shù)在時取得極小值,在取得極大值,滿足題意,則.由,得,又,所以函數(shù)在點處的切線方程為,即.(2)由(1)知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因為,所以函數(shù)在上的最大值為2,最小值為.20.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】(1)由,定義域為,則,當時,,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;當時,令得,令得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述,當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當時,若對于任意,總存在,使得,即在上的最大值小于等于在的最大值,由(1)知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;故.由,,則,由于,故在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,故,所以,即.令,,則,故在上單調(diào)遞減,又,所以當時,,故m的取值范圍為.21.【答案】(1)的極小值是,沒有極大值;(2)答案見解析;(3).【詳解】試題分析:(1)的定義域為,且,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的極值可得的極小值是,沒有極大值;(2),則,分類討論可得:①當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;(3)原問題等價于“函數(shù)在上的最小值大于零”結(jié)合(2)的結(jié)論分類討論:①;②;③;④四種情況可得的范圍是:.試題解析:(1)的定義域為,當時,,,3—0+極小所以的極小值是,沒有極大值;(2),,①當時,即時,在上,在上,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當,即時,在上,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增;(3)“對內(nèi)任意一個,都有成立”等價于“函數(shù)在上的最小值大于零”由(2)可知①當時,在上單調(diào)遞增,所以,解得;②當,即時,在上單調(diào)遞減,所以的最小值為可得,因為,所以;③當,即時,在上單調(diào)遞增,所以最小值為,由可得,所以;④當,即時,可得最小值為,因為,,所以,故,恒成立.綜上討論可得所求的范圍是:.點睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具
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