四川省成都市第十七中學(xué)（師大附中書(shū)院分校）2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

四川省成都市第十七中學(xué)（師大附中書(shū)院分校）2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．某省新高考采用“”模式：“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種2．已知數(shù)列滿(mǎn)足則其前9項(xiàng)和等于（

）A．150 B．180 C．300 D．3603．?dāng)?shù)列1，，，…的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，，，這四個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)，，，對(duì)應(yīng)的圖象依次是（

）．A．①③②④ B．③②①④ C．①④③② D．③④①②6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．10127．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．10．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大;B．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值;C．對(duì)于，若，則無(wú)極值;D．函數(shù)在區(qū)間上一定存在最值.11．?dāng)?shù)列中，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果，王老師的果籃有草莓，蘋(píng)果，芒果3種水果.李老師的果藍(lán)里有蘋(píng)果，櫻桃，香蕉，獼猴桃4種水果，小華可以在兩個(gè)老師的果籃里分別選一個(gè)水果，小華拿到兩種不同的水果的情況有種.13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)的和為，則取得最小值時(shí)的值為．14．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的值為.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）討論的單調(diào)性；16．已知等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)，在處取得極小值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的極值；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，且.（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案1．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①小明必選化學(xué)，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種）．故選B2．【答案】B【詳解】因?yàn)樗运云淝?項(xiàng)和等于，故選:B.3．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，對(duì)于C中，對(duì)于D中，四個(gè)選項(xiàng)中只有同時(shí)滿(mǎn)足，，.故選A4．【答案】C【詳解】由題可知在上恒成立.再參變分離求解函數(shù)最值即可.【詳解】由題,在上恒成立.即在上恒成立.又,其導(dǎo)函數(shù)恒成立.故的最小值為.故.故選C5．【答案】A【詳解】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故對(duì)應(yīng)得圖象為①；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故對(duì)應(yīng)得圖象為③；的定義域?yàn)镽，且，∴為偶函數(shù)，故對(duì)應(yīng)得圖象為②；的定義域?yàn)镽，且，∴為奇函數(shù)，故對(duì)應(yīng)得圖象為④；故選A.6．【答案】C【詳解】易知，由得.又，所以，，，故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，所以.故選C.7．【答案】B【詳解】由題設(shè)，，，，令且，可得，所以有，則上遞增；有，則上遞減；又，故.故選B8．【答案】D【分析】由題設(shè)不等式和選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，考慮構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得其單調(diào)性，利用其單調(diào)性對(duì)自變量進(jìn)行賦值，即可一一判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】設(shè)，則，因，故得，即在上為減函數(shù).對(duì)于A(yíng)項(xiàng)，，則，即，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，則，即，即得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，則，即，即得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，則，即，即得，故D正確.故選D.9．【答案】CD【詳解】A：，則不為定值，不滿(mǎn)足；B：，則不為定值，不滿(mǎn)足；C：，則為定值，且，滿(mǎn)足；D：，則為定值，且，滿(mǎn)足.故選CD10．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)楹瘮?shù)的極值是它附近的函數(shù)值比較，是一個(gè)局部概念，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值不一定比極小值大，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上的最大值在極大值或端點(diǎn)處取得，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值不一定是極大值，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上遞增，所以無(wú)極值，所以C正確，對(duì)于D，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，由于端點(diǎn)處函數(shù)值無(wú)意義，所以函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有最大值和最小值，所以D錯(cuò)誤，故選ABD11．【答案】ABD【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，所以，即，則是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，故B正確；由累加法得，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是遞增數(shù)列，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，是遞減數(shù)列，所以，所以，故A正確；又，所以，故C不正確，D正確，故選ABD12．【答案】11【詳解】王老師有3種水果，李老師有4種水果，其中蘋(píng)果是重復(fù)的，所以應(yīng)該先分類(lèi)后分步.第一類(lèi)，如果小華在王老師那里拿到蘋(píng)果，那么在李老師那里只能從剩下的3種水果中拿，共有種情況；第二類(lèi)，如果小華在王老師那里拿到的不是蘋(píng)果，那么就有2種情況，在李老師那里有4種情況，共有種情況.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，小華拿到兩種不同水果總共有種情況.13．【答案】6【詳解】因?yàn)?，由有：或，由有：或，由有：，因?yàn)?，?shù)列的正項(xiàng)為：；數(shù)列的負(fù)項(xiàng)為：；且，則取得最小值時(shí)的值為6.14．【答案】1【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以，所以，則是函數(shù)和的圖象與曲線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，而曲線(xiàn)也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因此點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，從而，，所以．15．【答案】（1）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為：.（2）由題意，的定義域?yàn)?，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題意得：

解得所以.（2），所以數(shù)列為等差數(shù)列，又,所以．17．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因，由可解得，或，由可解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因等價(jià)于，依題意，要求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．【答案】(1)(2)極小值；極大值(3)．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在極值處導(dǎo)函數(shù)為，極小值為聯(lián)立方程組即可求得，，求得函數(shù)解析式，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，檢驗(yàn)求得，值是否滿(mǎn)足題意；（2）由（1）即可求得極大值和極小值；（3）依題意只需即可，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即對(duì)任意總存在，使得的最小值不大于；對(duì)于，分、、三種情況討論即可．【詳解】（1）∵，則，由題意可得，解得，則函數(shù)的解析式為，且，令，解得：，則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：減極小值增極大值減故符合題意，即.（2）由（1）可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值2.（3）∵函數(shù)在時(shí)，，在時(shí)，且，∴由（1）知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，又∵對(duì)任意總存在，使得，則當(dāng)時(shí)，的最小值不大于，對(duì)于開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，故的最小值為，得；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，故的最小值為，得；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，得或，不合題意，舍去；綜上所述：的