2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用1．?dāng)?shù)學(xué)活動實(shí)踐課上，小軒和小浩所在小組的任務(wù)是測量校園內(nèi)一棵大樹的高度，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)底部，于是小組成員制訂了如下測量方案：如圖，小軒在大樹前某一位置放置了一個平面鏡（大小忽略不計），并在鏡面上做了一個標(biāo)記點(diǎn)，鏡子不動，然后小軒看著鏡子上的標(biāo)記來回走動，走到點(diǎn)時，他看到樹頂與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)重合，這時，小浩測得小軒眼睛到地面的高度，，同時，小組其他成員在的延長線上的點(diǎn)處安裝了測傾器（高度忽略不計），測得樹頂?shù)难鼋菫椋遥阎?，，，四點(diǎn)共線，，均垂直于，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出大樹的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，）2．在濕地公園內(nèi)，同一平面內(nèi)五個景點(diǎn)的道路分布如圖所示．經(jīng)測量，景點(diǎn)均在景點(diǎn)的正東方向，景點(diǎn)在景點(diǎn)的正北方向，景點(diǎn)在景點(diǎn)的南偏東方向且米，景點(diǎn)在景點(diǎn)的北偏西方向，景點(diǎn)在景點(diǎn)的西北方向且米．(1)求道路的長度（結(jié)果保留根號）；(2)若甲從景點(diǎn)出發(fā)沿的路徑去景點(diǎn)，與此同時乙從景點(diǎn)出發(fā)，沿的路徑去景點(diǎn)，在兩人速度相同的情況下誰先到達(dá)景點(diǎn)?（參考數(shù)據(jù)：3．周末小明和小亮準(zhǔn)備去公園景點(diǎn)C放風(fēng)箏．如圖，A，B，C，D為同一平面內(nèi)的四個景點(diǎn)．已知景點(diǎn)B位于景點(diǎn)A的正北方向500米處，景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東方向，景點(diǎn)D位于景點(diǎn)B的北偏東方向，景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的東北方向，景點(diǎn)C位于景點(diǎn)D的正北方向．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求景點(diǎn)C到景點(diǎn)D的距離（結(jié)果保留根號）；(2)小明選擇路線以的速度前往景點(diǎn)C處，小亮選擇路線以的速度前往景點(diǎn)C處．已知兩人同時出發(fā)且勻速前進(jìn)，請通過計算說明誰先到達(dá)景點(diǎn)C（結(jié)果保留整數(shù)）．4．綜合與實(shí)踐活動中，要用測角儀測量某學(xué)校涼亭的高度（如圖①）．某小組設(shè)計了一個方案：圖②是涼亭側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是涼亭的高所在的直線，在地面上F點(diǎn)測得涼亭頂部C的仰角（）為，此時地面上F點(diǎn)，涼亭外檐上A點(diǎn)，頂部C點(diǎn)三點(diǎn)共線，繼續(xù)向涼亭方向走到達(dá)G點(diǎn)處，又測得A點(diǎn)的仰角（）為，涼亭的頂層橫梁，，交于點(diǎn)E（點(diǎn)F，G，D在同一水平線上）．

(1)求涼亭頂部到橫梁的距離（結(jié)果取整數(shù)）．(2)求涼亭的高（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，）5．圖1是一種紙質(zhì)的桌面日歷，底面紙板可適度向內(nèi)擠壓形變，圖2、圖3是其置于水平桌面的側(cè)面示意圖，、兩點(diǎn)始終在水平桌面上，．在圖2中，當(dāng)時，．(1)求的長．(2)如圖3，若將底面紙板鋪平放置，即共線，此時，求此時的長．（參考數(shù)據(jù)：）6．某農(nóng)戶用噴槍給斜坡上的綠地噴灌，噴出水柱的形狀是一條拋物線．經(jīng)測量，處的噴水頭距地面1，水柱在距噴水頭水平距離4處達(dá)到最高，最高點(diǎn)與水平線的距離為5，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，水柱距噴水頭的水平距離為()，水柱距水平線的高度是()．(1)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若斜坡的坡比為，即圖中，斜坡上有一棵2.9高的樹，它與噴水頭的水平距離為5，請判斷從處噴出的水柱能否越過這棵樹的樹頂，并說明理由．7．我市魯山縣文殊寺的千年銀杏樹已有2800年的樹齡，身高的聰聰想借助測角儀等工具來測量其中一顆銀杏樹的高度．如圖，聰聰所處位置到臺階起始處的距離為，此時測得大樹仰角為，臺階高度為，大樹底部到臺階上點(diǎn)的水平距離為，臺階與水平地面夾角為，求銀杏樹的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）8．如圖1，“天幕”是大家特別喜歡的一種露營設(shè)備，通常由支桿、天幕布、拉繩組成．圖2是其截面示意圖，天幕布，為可伸縮支桿，拉繩、固定在水平地面上，且點(diǎn)A、D、E共線，點(diǎn)A、C、F共線，于點(diǎn)B，于點(diǎn)O．拉繩在地面的固定點(diǎn)E與點(diǎn)B的距離，，．(1)求拉繩的長；(2)如圖3，現(xiàn)將支桿向上伸長至點(diǎn)，同時將固定點(diǎn)E、F分別移動至、，使、、共線，、、共線，且，在此過程中，拉繩長度保持不變，求的長．（結(jié)果保留根號）9．為了加強(qiáng)海洋意識宣傳教育，某校組織學(xué)生參加“筑夢海洋

向海圖強(qiáng)”主題研學(xué)活動．活動內(nèi)容是借助指南針測量有暗礁的A，C兩島嶼之間的距離．【活動準(zhǔn)備】圖1是學(xué)生研學(xué)的地方，該地由A，B，C三個島嶼組成．已知A，B兩島嶼間的距離為，圖2是它的示意圖．他們分別在A，B兩島嶼測量，測得的數(shù)據(jù)如下：C，B兩島嶼分別在A島嶼的北偏東和北偏東的方向上，C島嶼在B島嶼的北偏西的方向上．【目標(biāo)任務(wù)】(1)求的度數(shù)；(2)求有暗礁的A，C兩島嶼之間的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）10．在有毒、缺氧或濃煙等危險環(huán)境開展偵查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人員常面臨人身安全威脅，關(guān)鍵時刻需要可靠伙伴——消防機(jī)器狗，它能深入室內(nèi)高危區(qū)，打通室內(nèi)室外壁壘進(jìn)行搜救，搭載的遠(yuǎn)距通訊模塊，可實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程操控與實(shí)時傳圖，為救援決策提供可視化信息．圖1是被困人員所處的樓梯橫斷面示意圖．樓梯斜坡用表示，轉(zhuǎn)角平臺用表示，地面用表示．已知，垂足為米，米，米．(1)求斜坡的坡比；(2)如圖2，當(dāng)機(jī)器狗爬到斜坡上點(diǎn)處時，探測儀測得被困人員頭頂?shù)难鼋菫椋^續(xù)前行到點(diǎn)處，恰好能搜集到被困人員全身的影像，此時探測儀在線段的延長線上，記作點(diǎn)．圖2示意圖中所有點(diǎn)均處于同一平面，，垂足分別為米，米，求的長．（參考數(shù)據(jù)：）11．閱讀可以豐富知識，拓展視野，充實(shí)生活，給我們帶來愉快的心情．圖1是某款落地閱讀書架，現(xiàn)將其簡化成圖，點(diǎn)，處均可轉(zhuǎn)動，且地面，量得，．(1)該款落地閱讀書架的最大高度為______．(2)如圖，若，．延長與地面的延長線交于點(diǎn)，則______求點(diǎn)到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）12．如圖，甲、乙兩艘漁船同時從A港出發(fā)，前往位于港正北方向的捕魚點(diǎn)捕魚，甲漁船沿點(diǎn)的北偏西方向航行到觀測點(diǎn)B，再沿B點(diǎn)的北偏東方向航行千米到達(dá)捕魚點(diǎn)，乙漁船沿東北方向航行到觀測點(diǎn)，再沿點(diǎn)的北偏西方向到達(dá)捕魚點(diǎn)．(1)求A港到捕魚點(diǎn)的距離；（結(jié)果保留根號）(2)若甲、乙兩艘漁船的速度相同（在觀測點(diǎn)B，觀測的時間相同），哪艘漁船先到達(dá)捕魚點(diǎn)？請通過計算說明．（參考數(shù)據(jù)：，，13．“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小聰同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，防止試管里的冷凝水倒流，引起試管炸裂，?鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，，試管傾斜角為．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留1位小數(shù)）(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；(2)實(shí)驗(yàn)時，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點(diǎn)F，且于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：，，，求水槽壁到鐵桿（右圖線段）的長度．14．今年是世界反法西斯戰(zhàn)爭暨中國抗日戰(zhàn)爭勝利80周年．(1)某小組參觀侵華日軍南京大屠殺遇難同胞紀(jì)念館，測量紀(jì)念碑高度．身高，眼（點(diǎn)C）距離地面的張明站在距離紀(jì)念碑的D處，測得仰角．求紀(jì)念碑的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）(2)作為新時代的接班人，我們能做些什么？15．如圖，小明為了測量小湖對岸大樹的高度，先在點(diǎn)A處（點(diǎn)G，A，C在同一水平線上）測得大樹頂端B的仰角為，然后沿著坡度的斜坡走到達(dá)斜坡上的點(diǎn)D處，此時測得大樹頂端B的仰角為，點(diǎn)A，B，C，D，E，G在同一平面內(nèi)．(1)求點(diǎn)D到的距離；(2)求大樹的高度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，）答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用》參考答案1．m【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)古樹AB的高度為x米，又可證明，得到，即可表示出，在中，，代入即可列出方程，解出x即為古樹AB的高度．【詳解】解：設(shè)古樹的高度為x米，由題意可知，在和中，∴，∴，即∴，∴，在中，，，∴，即，解得故古樹AB的高度約為米．2．(1)道路的長度為米(2)乙先到到達(dá)景點(diǎn)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角，然后運(yùn)用解直角三角形解決問題．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用銳角三角函數(shù)求出和，進(jìn)而求出以及道路的長度；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，分別求出乙的路徑的長和甲的路徑的長，進(jìn)行大小比較即可得出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在中，，，，在中，，，．答：道路的長度為米．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，在中，，，在中，，，，在中，，，乙的路徑：米，甲的路徑：米．，乙先到到達(dá)景點(diǎn)．3．(1)景點(diǎn)C到景點(diǎn)D的距離約為183米(2)小明先到達(dá)景點(diǎn)C【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方位角問題，正確作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作交延長線于E，過點(diǎn)D作交延長線于F，先求得米，再解，求得米，米，然后證明四邊形是矩形，得米，，最后解，求得米，從而得到米）中由求解；（2）解，求得米，從而得到米，即可求出小明到達(dá)景點(diǎn)C要用的時間；再解中，求得米，從而求得米，即可求出小亮到達(dá)景點(diǎn)C要用的時間，最后比較兩人所用時間即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作交延長線于E，過點(diǎn)D作交延長線于F，由題意可得：，，，米，，∵∴∴∴米，在中，（米），（米），∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，∴米，，在中，∴∴米，∴（米），∴米，答：景點(diǎn)C到景點(diǎn)D的距離約為183米．（2）解：在中，（米），∴（米），∴小明到達(dá)景點(diǎn)C要用的時間為，在中，，米，∴米，∴（米），∴小亮到達(dá)景點(diǎn)C要用的時間為，∵，∴小明先到達(dá)景點(diǎn)C．4．(1)涼亭頂部到橫梁的距離約為(2)涼亭的高約為【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定等等，熟知銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵。（1）根據(jù)題意可得，，由平行線的性質(zhì)得到，再解求出的長即可得到答案；（2）過A作于點(diǎn)H，則四邊形AHDE為矩形，則，設(shè)，解得到，則，再解可得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知，直線為的對稱軸，．，．，，點(diǎn)C，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，．在中，．．答：涼亭頂部到橫梁的距離約為；（2）解：如圖，過A作于點(diǎn)H，則四邊形AHDE為矩形，∴根據(jù)題意可知，，．設(shè)．在中，．．．在中，．．解得（已檢驗(yàn)）．，．答：涼亭的高約為．

5．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由余弦解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先解，求出，然后由求出，然后對運(yùn)用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴中，，，∴，∴．6．(1)(2)處噴出的水柱不能越過這棵樹的樹頂，理由見解析【分析】本題考查二次函數(shù)運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、坡比等知識．熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)式，由待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式即可得到答案；（2）過點(diǎn)作于，如圖所示，數(shù)形結(jié)合，由坡比列式求解即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，由題可知，其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線解析式為：，又∵拋物線過點(diǎn)，，解得，∴拋物線解析式為：；（2）解：不能，理由如下：過點(diǎn)作于，如圖所示：由題意得點(diǎn)的橫坐標(biāo)5，即，斜坡的坡比為，,∴，∵，∴，當(dāng)時，，∵，∴處噴出的水柱不能越過這棵樹的樹頂．7．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，在中，求出，可得，在中，即可求出．【詳解】解：由題意知，，，，，，．由題意可得四邊形為矩形，有．∵，，∴，，三點(diǎn)在同一條直線上．在中，，∵，∴．即，∴．在中，，∵，∴．答：銀杏樹的的高度約為．8．(1)拉繩的長為(2)【分析】本題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，再解直角三角形得出，即可得解；（2）由題意可得，，求出，再由勾股定理計算即可得解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由題意可得：，，∵，∴，∴．9．(1)(2)有暗礁的A，C兩島嶼之間的距離約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）方法一：由角的和差關(guān)系求出，由平行線的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；方法二：過點(diǎn)C作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．根據(jù)平行線的傳遞性得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合即可求解；（2）過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)E，在中，根據(jù)正弦定義求出，在中，根據(jù)正弦定義求出，代入數(shù)值計算即可．【詳解】（1）解：方法一：根據(jù)題意，得，，∴，∵，∴．∴．∴∠．方法二：如圖，過點(diǎn)C作直線．∴．又，∴，，∴∴．∵，∴．（2）解：如圖，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)E．在中，由題意，,在中，．答：有暗礁的A，C兩島嶼之間的距離約為．10．(1)斜坡的坡比為；(2)的長米．【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)勾股定理求出，即可求解；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，解直角三角形得到米，進(jìn)而得到米，根據(jù)坡比得到，在中，示得米，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，如圖：，∴，∴四邊形是矩形，，，，，在中，，∴斜坡的坡比為；（2）解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，如圖：根據(jù)題意可知：，在中，，米，米，由，，，在中，米，米，∴的長米．11．(1)；(2)；．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形的外角性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)題意該款落地閱讀書架的最大高度為代入求解即可；（）延長與地面的延長線交于點(diǎn)，延長與地面的延長線交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解；過點(diǎn)作的平行線，再分別過點(diǎn)，作該平行線的垂線，，為垂足，由知，則，，最后由線段和差即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，該款落地閱讀書架的最大高度為，故答案為：；（2）解：如圖，延長與地面的延長線交于點(diǎn)，延長與地面的延長線交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，故答案為：；如圖，過點(diǎn)作的平行線，再分別過點(diǎn)，作該平行線的垂線，，為垂足，由知，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)到地面的距離約為．12．(1)(2)甲漁船先到達(dá)捕魚點(diǎn)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)B作，垂足為E，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的與的和進(jìn)行計算，即可解答；（2）由（1）可求出的長，從而可得；過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出、的長及，通過，的度數(shù)，則可得，利用銳角三角函數(shù)的定義求出、的長，即可求出，最后進(jìn)行計算比較即可解答．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作，垂足為E，則：，，千米，∴千米，∴千米，∴千米．（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，∴由題意可知，，千米，∴千米，，在中，千米，千米，∴千米，∵，∴，∴，在中，千米，∴千米，千米，∴千米，∵∴，由甲、乙兩艘漁船的速度相同，可得甲漁船先到達(dá)捕魚點(diǎn)．13．(1)試管口B與鐵桿的水平距離的長度約為(2)水槽壁到鐵桿（右圖線段）的長度為【分