2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練矩形與折疊問題專題練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練矩形與折疊問題專題練1．如圖，矩形中，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接．將沿著折疊后得，延長(zhǎng)交于E，連接．(1)求證：；(2)設(shè)，若，求的值．2．【問題情景】在矩形紙片中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將矩形紙片沿所在直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．【猜想證明】（1）設(shè)是邊的中點(diǎn)．①如圖1，連接，試猜想與的位置關(guān)系，并加以證明；②如圖2，連接，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，延長(zhǎng)與邊交于點(diǎn)，求證：是邊的中點(diǎn)．【問題解決】（2）如圖3，若，，，當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．3．折紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，通過(guò)折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們準(zhǔn)備了一張邊長(zhǎng)為的正方形紙片，以“正方形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【操作判斷】操作一：如圖①，在正方形的邊上任選一點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，把紙片展平，折痕與對(duì)角線交于點(diǎn)；操作二：將邊折疊，使點(diǎn)落在射線上，折痕交于點(diǎn)，把紙片展平，折痕與正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)．（1）根據(jù)以上操作，得的度數(shù)為___________．【遷移探究】（2）經(jīng)過(guò)多次操作，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)與的比值不變，試求出該比值．【拓展提升】（3）小明在操作中不慎將正方形紙片撕破，得到一個(gè)矩形，其中為，為，如圖②，經(jīng)過(guò)上述操作一、二，得到折痕的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段（不與重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的最大距離．4．如圖1，四邊形是一張矩形紙片，小明用該紙片玩折紙游戲．游戲1

折出對(duì)角線，將點(diǎn)A沿過(guò)點(diǎn)B的直線翻折到上，折痕BE交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．展開后如圖2所示．（1）若E恰好為的中點(diǎn)，證明：，并求與之間的數(shù)量關(guān)系．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與重合，折痕為，展開后將點(diǎn)A沿過(guò)點(diǎn)E的直線翻折到上的點(diǎn)G處，展開后如圖3所示．（2）在（1）的條件下，連接，求的度數(shù)．游戲3

在游戲1的基礎(chǔ)上，將翻折至與先重合，展開后得到新折痕交于點(diǎn)N，如圖4所示，Q是的中點(diǎn)，連接．（3）設(shè)，，的面積分別為，若，，求的長(zhǎng)．5．如圖1，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以，為邊作矩形，點(diǎn)E，H分別在邊和上，將沿著對(duì)折，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)F處，將沿著對(duì)折，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)G處．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F，G重合時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)F，G將對(duì)角線三等分時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和．把矩形沿對(duì)角線所在的直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，與軸相交于點(diǎn)．(1)求證；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．7．在矩形中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，如圖1，圖2．(1)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______；(2)如圖1，求證：；(3)若，在點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中．①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．8．在矩形中，，連接，且，將三角形沿翻折得，交于G，連接．(1)如圖（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖若沿線段由B向D運(yùn)動(dòng)，速度每秒1個(gè)單位，連接．①如圖（2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形的形狀，并證明；②如圖（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出面積，若變化，說(shuō)明理由．9．綜合與探究：在矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)，且時(shí)，連接，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)，點(diǎn)恰好落在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，直接寫出的長(zhǎng)．10．如圖，在長(zhǎng)方形中，E是邊上一點(diǎn)，連接，沿直線翻折后，點(diǎn)A恰好落在長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸上的點(diǎn)處，連接．

(1)求證：是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．11．在矩形中，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)的點(diǎn)E處，直線與邊交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖2，若，，，求線段的長(zhǎng)；(3)若直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，，，當(dāng)時(shí)，求的值（用含n的代數(shù)式表示）．12．如圖，以矩形的邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，交邊于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿O→D→B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S（不要求寫出t的取值范圍）；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，過(guò)P作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段上一點(diǎn)，分別連接．當(dāng)?shù)拿娣e為的面積的，且時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；此時(shí)，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使以P、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．綜合與實(shí)踐問題情境：“綜合實(shí)踐課”上，老師畫出了如圖1所示的矩形，（其中），P（不與點(diǎn)A重合）是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接點(diǎn)P與邊的中點(diǎn)E，將沿直線翻折得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合），作的平分線，交矩形的邊于點(diǎn)G．問與的位置關(guān)系？數(shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你解答老師提出的問題，并說(shuō)明理由．深入探究：（2）老師將圖1中的圖形通過(guò)幾何畫板改動(dòng)為如圖2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接，若E，O，G三點(diǎn)共線，點(diǎn)G與點(diǎn)D剛好重合，求n的值．（3）若，連接，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形，且點(diǎn)G落在邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．14．如圖1，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，四邊形與關(guān)于所在直線成軸對(duì)稱，線段交邊于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點(diǎn)，.記四邊形的面積為，的面積為.當(dāng)時(shí)，求的值．15．如圖，矩形中，對(duì)邊平行且相等，四個(gè)內(nèi)角均為直角．，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，連接．

(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為______．(2)當(dāng)點(diǎn)恰好在矩形的對(duì)角線上，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為______．(4)當(dāng)落在矩形的對(duì)稱軸上時(shí)，的長(zhǎng)為______．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練矩形與折疊問題專題練》參考答案1．(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，得出，，證明，根據(jù)，得出；（2）根據(jù)三角函數(shù)定義得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)，得出，即，得出，求出，得出．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴，，，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：由題意得：，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∵四邊形為矩形，∴，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴．由（1）知：，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．2．（1）①，證明見解析②見解析（2）【分析】（1）①連接交于點(diǎn)S，由折疊可得：，進(jìn)而得到是的中位線，即可求解；②連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證，即可得到，從而得到答案；（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)，得到，，，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用，得到，進(jìn)而得到，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：①；連接交于點(diǎn)S，如圖，由折疊可得：∴S是的中點(diǎn)，∵E是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴；

②連接，∵四邊形是矩形，∴由折疊得：，∴，∵E是邊的中點(diǎn)，∴∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴Q是邊的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，∵矩形，∴，，，，∴，，∵，∴，∵折疊，∴，，，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，解直角三角形，三角形的中位線定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．3．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得，，根據(jù)，即可求得；（2）連接，由正方形的性質(zhì)推出，，得到點(diǎn)四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得到，得到，為等腰直角三角形，進(jìn)而可證明，即可得解；（3）作于，交的延長(zhǎng)線于，證明，可得，，，推出當(dāng)在線段上移動(dòng)時(shí)，在直線上，且接近點(diǎn)時(shí)，接近點(diǎn)，得重合時(shí)，最大，設(shè)，，，根據(jù)勾股定理建立方程，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：（1）正方形，，由折疊的性質(zhì)得，，將邊折疊，點(diǎn)落在射線上，，，故答案為：（2）如圖，連接，正方形，，，由（1）知：，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)得，，，；（3）作于，交的延長(zhǎng)線于，，，，，，，，，，，，當(dāng)在線段上移動(dòng)時(shí)，在直線上，且接近點(diǎn)時(shí)，接近點(diǎn)，重合時(shí)，最大，如圖所示：設(shè)，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形與折疊，四點(diǎn)共圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．4．（1）

（2）

（3）【分析】（1）證明，結(jié)合E恰好為的中點(diǎn)可得；（2）在中，，∴，∴證明得，，設(shè)，則，，由勾股定理得，證明得，在中，利用銳角三角函數(shù)求出即可求解．（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，證明得，證明得，由求出，證明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，∴，∴∵四邊形是矩形，∴，∴∴∴，∴，即∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴在矩形中，，∴，∴，∴（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，又，∴，∴，∵，∴，∴又Q是的中點(diǎn)，∴，∴又，∴，∴∴∵，即，∴∵，，，∴∴，，∴，，在和中，，，解得或（舍去）∴，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，難度較大，屬中考?jí)狠S題．5．(1)見解析(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)是；四邊形是菱形，理由見解析(3)點(diǎn)B的坐標(biāo)是【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形和菱形的判定方法和折疊的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算；能運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)得，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，所以，根據(jù)平行線的判定定理得，加上，于是可根據(jù)平行四邊形的判定方法得四邊形是平行四邊形；（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得，由點(diǎn)F，G重合得到，根據(jù)菱形的判定方法得到平行四邊形是菱形，則，所以，而，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出，在中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得，于是得到點(diǎn)B的坐標(biāo)是；（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，則，所以，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，解得，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是；當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，同理可得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，解得，則，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∴，又∵沿著對(duì)折，使點(diǎn)B落在上的F點(diǎn)處；沿著對(duì)折，使點(diǎn)A落在上的G點(diǎn)處，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：點(diǎn)B的坐標(biāo)是；四邊形是菱形．理由如下：∵沿著對(duì)折，使點(diǎn)B落在上的F點(diǎn)處；沿著對(duì)折，使點(diǎn)A落在上的G點(diǎn)處，∴，∵點(diǎn)F，G重合，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，又∵，∴，又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，∴，在中，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是；（3）解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，如圖，∵沿著對(duì)折，使點(diǎn)B落在上的F點(diǎn)處；沿著對(duì)折，使點(diǎn)A落在上的G點(diǎn)處，∴，而，∴，∵點(diǎn)F，G將對(duì)角線三等分，∴，設(shè)，則，在中，，∵，∴，解得，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是；當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，如圖，同理可得，設(shè)，則，在中，，∵，∴，解得，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是．6．(1)證明見解析(2)(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判斷及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用矩形的性質(zhì)判定出三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）利用矩形的性質(zhì)判定出即可解答；（2）利用勾股定理建立等量關(guān)系運(yùn)算求解即可；（3）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，根據(jù)三角形面積公式求出的橫坐標(biāo)后代入直線的解析式運(yùn)算求解即可得到的縱坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，，∵矩形沿對(duì)角線所在的直線折疊，∴，，∴在和中，，∴（AAS），∴；（2）解：∵，，∴，，設(shè)，則，∴在中：，即：，解得：，∴；（3）解：設(shè)直線的解析式為：，分別代入，，可得：解得：，∴，∵，，∴，解得：，∴把代入可得：，∴．7．(1)(2)見解析(3)①；②當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，【分析】（1）由對(duì)折可得，，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理與鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）如圖，連接，先證明，結(jié)合，可得，再利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）①由，可得，設(shè)，則，再利用勾股定理建立方程求解即可；②如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，求解，，，，結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)可得答案；②如圖，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理：，求解，，，證明，可得，設(shè)，再進(jìn)一步解答可得答案．【詳解】（1）解：，理由如下：∵將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，∴，，∵，∴，∵，∴．（2）證明：如圖，連接，由對(duì)折可得：，，，∴是的垂直平分線，，∴，∴，∵，∴，∴，而，∴∴，而，∴．（3）①∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，解得：，（舍去），∴；②如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，∵，，∴，，∴，，由對(duì)折可得：，，，∴，∴，②如圖，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理：，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，∴，解得：，∴；綜上：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與應(yīng)用，一元二次方程的解法，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．8．(1)，，理由見解析(2)①結(jié)論：四邊形是矩形，理由見解析；②四邊形的面積不變，四邊形的面積，理由見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可；（2）①取的中點(diǎn)，連接，先證明是等邊三角形，推出，同理推出，進(jìn)而得到，結(jié)合，即可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)J，于點(diǎn)K，易得四邊形是矩形，求出四邊形的面積，證明，推出四邊形的面積等于四邊形的面積即可．【詳解】（1）解：，．理由：四邊形是矩形，，由翻折變換的性質(zhì)可知，，，，，；（2）①結(jié)論：四邊形是矩形．理由：取的中點(diǎn)，連接．，，是等邊三角形，，，同法可得，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形；②四邊形的面積不變．理由：如圖過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)J，于點(diǎn)K，，∴四邊形是矩形，，，矩形的面積，由平移變換的性質(zhì)可知，，的面積的面積，∴四邊形的面積矩形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，折疊問題，平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．9．(1)；(2)；(3)AH的長(zhǎng)為．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，，由折疊的性質(zhì)，得，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）由矩形的性質(zhì)可得，，，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，結(jié)合折疊的性質(zhì)可推出是正方形，得到，推出，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）連接，，根據(jù)題意可求出，在中，由勾股定理得到，由折疊的性質(zhì)，得，，推出，，進(jìn)而得到，可證明，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)，得，在中，由勾股定理，得；（2）四邊形是矩形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，由折疊的性質(zhì)，得，．，，四邊形是矩形．又，四邊形是正方形．，，在中，由勾股定理，得；（3）的長(zhǎng)為．如圖，連接，，

四邊形是矩形，，，．，在中，由勾股定理，得，由折疊的性質(zhì)，得，，，，．在和中，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，，解得，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)．10．(1)見解析(2)1【分析】本題考查了矩形與翻折的性質(zhì)，對(duì)稱軸的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)翻折以及對(duì)稱軸證明即可．（2）根據(jù)是等邊三角形與翻折求出，然后得到，根據(jù)角度關(guān)系判斷出，然后得到即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵直線是長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸，∴垂直平分，∴，由翻折得，∴，∴是等邊三角形；（2）解：∵是等邊三角形，∴，由翻折得，，在長(zhǎng)方形中，，∴，，∴，∴，∴，∴．11．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由翻折可知，，由點(diǎn)P為的中點(diǎn)，可知．，得，結(jié)合，可知，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，交于K，則，先證為等腰直角三角形，進(jìn)而可知也是等腰直角三角形，得，設(shè)，由翻折可得，可知，．根據(jù)勾股定理得，即，可求得，，進(jìn)而求得，再證，得進(jìn)而求出即可求得答案；（3）如圖，連接，分別過(guò)B，Q作于點(diǎn)M，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則，結(jié)合題意易知，則，即，可證得，可知四邊形為平行四邊形，得，則，由翻折可得垂直平分BE，得，證得，可知，易證，得，由勾股定理得．，由等面積，過(guò)F作于點(diǎn)G，證，，由相似三角形得性質(zhì)可知，，即可求得．【詳解】（1）證明：如圖，∵將沿直線翻折得到，∴，．∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴．∴．又，∴．∴．（2）解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，交于K，則，∵，，∴．又∵，∴為等腰直角三角形．∴，則也是等腰直角三角形，∴，在中，設(shè)，由翻折可得，．∴，．在中，由勾股定理得，即，解得．∴，．∴．在和中，∵，，∴．∴．∴，∴．∴．（3）解：如圖，連接，分別過(guò)B，Q作于點(diǎn)M，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則，根據(jù)題意得：，則．∵，∴，∴，即．∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．∴．∴．由翻折可得垂直平分BE．∴．∵，，∴，∴．∴．∴．在中，由勾股定理得．∴，過(guò)F作于點(diǎn)G，則，∵，，∴，．∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的相關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．其中利用面積相等求線段或證明平行是解題關(guān)鍵．12．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)(3)點(diǎn)，存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證，由勾股定理可求解；（2）分兩種情況討論，由三角形的面積公式可求解；（3）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求點(diǎn)坐標(biāo)，分三種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，是矩形，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，在中，有，即：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，綜上所述：；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，連接，

的面積為的面積的，，，，，點(diǎn)，，，四邊形和四邊形都是矩形，，，是的中位線，，，，，又，，，，，，又，，，，，，，，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)為對(duì)角線，，，，，點(diǎn)，當(dāng)為對(duì)角線，，，，，點(diǎn)，當(dāng)為對(duì)角線，，，，，點(diǎn)（不合題意舍去），綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（1），理由見解析；（2）；（3）3或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，翻折和角平分線的定義，推出，即可；（2）證明，得到，設(shè)，得到，進(jìn)而得到，，勾股定理得到，再根據(jù)，求解即可；（3）分或兩種情形，分別作出圖形，然后求解即可．【詳解】解：（1）．理由：由翻折可知．∵平分，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴．（2）由翻折知，，∵E，O，D三點(diǎn)共線，∴又∵，，∴，∴．∵E是的中點(diǎn)，∴設(shè)，則．∴，

∴．在中，由勾股定理得，∴．∵，∴，∴．（3）的值為3或．設(shè)，∵，∴，由題意知，分或，兩種情況求解：若點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，

∵，四邊形為矩形，∵，矩形為正方形，，，∴；若點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，此時(shí)，，三點(diǎn)在同一直線上，四邊形是矩形，

由（2）可知，，，∴，即，解得，，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．14．(1)見解析(2)(3)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱和矩形的性質(zhì)，證明，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，則，求得，再利