河南省百師聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

河南省百師聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知變量x與y的5組觀測值如下表：x12345y4812且y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，則y關(guān)于x的回歸直線必過的定點為（

）A． B． C． D．2．變量x與y的n組樣本數(shù)據(jù)為，，…，，y與x線性相關(guān)，記，，則下面說法錯誤的是（

）A．回歸直線必經(jīng)過點B．樣本相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)同號C．對樣本相關(guān)系數(shù)r，越大，兩個變量之間的線性相關(guān)性越強D．回歸直線至少經(jīng)過點，，…，中的一個點3．設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．5．為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法，調(diào)查了100人，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如下列聯(lián)表所示（單位：人），根據(jù)數(shù)據(jù)計算得，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，小概率值相應(yīng)的臨界值為，則下列結(jié)論不正確的是（

）吸煙肺癌合計非肺癌患者肺癌患者非吸煙者251035吸煙者1565合計4060100A．B．若從這100人中隨機抽取2人，則2人都是非肺癌患者的概率為C．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)D．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺癌無關(guān)聯(lián)6．地鐵的開通，在一定程度上緩解了市內(nèi)交通的擁堵狀況.某條地鐵線路開通后，某調(diào)查機構(gòu)抽取了部分乘坐該線路地鐵的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，得到如下信息：35歲及以下的市民中，男性約占；35歲以上的市民中，男性約占；男性市民中，35歲及以下的約占；女性市民中，35歲及以下的約占.根據(jù)以上信息，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A．樣本中男性比女性多B．樣本中多數(shù)女性是35歲以上C．樣本中35歲及以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多D．樣本中35歲以上的市民比35歲及以下的多7．已知是等差數(shù)列的前n項和，若，，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．C．的最小值為 D．8．已知正項數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則等于（

）A．4050 B．2025 C．4052 D．2026二、多選題（本大題共3小題）9．某興趣小組為研究本校學(xué)生每周平均體育運動時間與性別是否有關(guān)聯(lián)，進行了一次抽樣調(diào)查.已知被抽取的男、女生人數(shù)相同.調(diào)查顯示：抽取的男生中每周平均體育運動時間超過4小時的占，抽取的女生中每周平均體育運動時間超過4小時的占.若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為該校學(xué)生每周平均體育運動時間與性別有關(guān)聯(lián)，則被抽取的男生人數(shù)可以是（

）附：，.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828A．65 B．70 C．75 D．8010．研究變量x，y得到n組成對數(shù)據(jù)，，2，…，n，先進行一次線性回歸分析，接著增加一組成對數(shù)據(jù)，其中，，再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（

）A．相關(guān)系數(shù)不變 B．變量x與y的相關(guān)性變強C．線性回歸方程不變 D．回歸系數(shù)不變11．已知等比數(shù)列的前n項和為，滿足，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．記，則有最小值D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸直線方程為，若回歸直線過點，則.13．?dāng)?shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，則.14．曲線在處的切線方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．在數(shù)列中，，.(1)求，，猜想數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.16．已知，曲線在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值；(2)若，求曲線過點的切線方程.17．近幾年我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，據(jù)行業(yè)數(shù)據(jù)顯示，新能源汽車的數(shù)量在不斷增加.下表為某城市統(tǒng)計的近5年新能源汽車的新增數(shù)量，其中為年份代號，（單位：萬輛）代表新增新能源汽車的數(shù)量.年份20202021202220232024年份代號12345新增新能源汽車萬輛1.21.82.53.23.8(1)計算樣本相關(guān)系數(shù)，判斷是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，當(dāng)時，可以認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性；否則，沒有很強的線性相關(guān)性.(2)求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此估計該城市2026年的新增新能源汽車的數(shù)量；參考數(shù)據(jù)：.參考公式：.18．某校利用數(shù)字化軟件記錄500位學(xué)生每日課后作業(yè)完成的時長，某次考試之后統(tǒng)計得到了如下平均作業(yè)時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)表：平均作業(yè)時長（單位：小時）學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀：11437435學(xué)業(yè)成績不優(yōu)秀：136137102187(1)填寫如下列聯(lián)表，試判斷：是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均作業(yè)時長不小于2小時且小于3小時有關(guān)？時長其他總計優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(2)常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.現(xiàn)從所有500名學(xué)生中任選一人，A表示“選到的是男生”，B表示“選到的學(xué)生成績優(yōu)秀”，若，且，求.附：，.19．已知數(shù)列的前n項和為，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為.①求；②若對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】回歸直線必過點因為，，所以y關(guān)于x的回歸直線必過點.故選：B.2．【答案】D【詳解】回歸直線必過點，可能不過任何一個樣本點，故A正確，D錯誤.樣本相關(guān)系數(shù)r為正時，兩個變量為正相關(guān)，回歸系數(shù)為正；樣本相關(guān)系數(shù)r為負(fù)時，兩個變量為負(fù)相關(guān)，回歸系數(shù)為負(fù).故樣本相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)同號，B正確.樣本相關(guān)系數(shù)，越大，兩個變量之間的線性相關(guān)性越強，C正確.故選：D3．【答案】B【詳解】因為，所以，所以.故選：B.4．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，即曲線在點處的切線方程為.故選：A.5．【答案】D【詳解】對于A，由列聯(lián)表得，，A正確；對于B，非肺癌患者的概率為，B正確；對于CD，由，得在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，D錯誤，C正確.故選：D.6．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，得到如下兩個列聯(lián)表.35歲以上35歲及以下總計男性女性總計35歲以上35歲及以下總計男性女性總計根據(jù)第1個列聯(lián)表可知，樣本中男性市民人數(shù)為，女性市民人數(shù)為，又，即樣本中男性比女性多，故A正確；根據(jù)第2個列聯(lián)表可知，樣本中35歲以上女性市民人數(shù)為，35歲及以下女性市民人數(shù)為，又，即樣本中多數(shù)女性是35歲以上，故B正確；根據(jù)第2個列聯(lián)表可知，樣本中35歲及以下男性市民人數(shù)為，35歲以上女性市民人數(shù)為，由A選項的分析知，但無法判斷與的大小，故C不一定正確；根據(jù)第2個列聯(lián)表可知，樣本中35歲以上市民人數(shù)為，35歲及以下市民人數(shù)為，又，即樣本中35歲以上的市民比35歲及以下的多，故D正確.故選：C.7．【答案】A【詳解】因為是等差數(shù)列，則，即，又因為，則公差，可知，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，且的最小值為，綜上所述：A正確，B，C，D錯誤.故選：A.8．【答案】B【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得.又因為函數(shù)，所以，所以，所以，，，….令，則，所以，所以.故選：B.9．【答案】BCD【詳解】設(shè)被抽取的男生人數(shù)為，依題意可得的列聯(lián)表如下：性別運動情況總計每周平均體育運動時間超過4小時每周平均體育運動時間不超過4小時男生x女生x總計若在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為該校學(xué)生每周平均體育運動時間與性別有關(guān)聯(lián)，則，解得，則被抽取的男生至少有70人.故選：BCD.10．【答案】ACD【詳解】設(shè)，，則，，所以，.對于A、B中，由，，，則相關(guān)系數(shù)，可得相關(guān)系數(shù)不變，所以變量x與y的相關(guān)性不變，故A正確，B錯誤；對于C、D中，因為，且回歸直線過點，所以均不變，所以線性回歸方程不變，故C和D都正確.故選：ACD.11．【答案】ABC【詳解】在等比數(shù)列中，，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由得，兩式相減，得，所以數(shù)列是首項為1，為公比為2的等比數(shù)列，所以.對于選項A：因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故A正確；對于選項B：因為，則，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故B正確；對于選項C：由題意可得，因為有最小值，所以有最小值，故C正確；對于選項D：在數(shù)列中，，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：ABC.12．【答案】【詳解】由回歸直線過點，可得，解得.故答案為：.13．【答案】【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，可得，所以，所以.故答案為：.14．【答案】【詳解】由函數(shù)，可得，所以，，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.15．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，，可得，，因此可猜想.（2）當(dāng)時，，等式成立；假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則當(dāng)時，，即當(dāng)時，等式也成立.綜上所述，對任意，.16．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：由函數(shù)，其中，可得，因為曲線在點處的切線方程為，可得，且，即，解得.（2）解：由（1）知，，可得，設(shè)切點為，則切線的斜率，故切線方程為，因為切線過點，所以，整理得，解得或，所以切點為或，此時，曲線過點的切線方程為或.17．【答案】(1)可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.(2)，估計該市2026年新增燃油車5.14萬輛.【詳解】（1）由題意可得：，則，因為，故可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由題意可得：，，則，當(dāng)時，，所以估計該市2026年新增燃油車5.14萬輛.18．【答案】(1)列聯(lián)表見詳解，有的把握(2)0.2【詳解】（1）列聯(lián)表數(shù)據(jù)如下：時長其他總計優(yōu)秀8020100不優(yōu)秀120280400總計200300500因為，所以有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均作業(yè)時長不小于2小時且小于3小時有關(guān)；（2）已