河北承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期高二4月份月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

河北承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024--2025學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)4月份月考試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A.1 B.2 C. D.2.在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C.2 D.43.若函數(shù)在區(qū)間[2，3]上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.4.若，則（）A.100 B.110 C.120 D.1305.若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為等差數(shù)列，若，則（）A.2 B. C. D.8.某學(xué)校有4位同學(xué)參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得30分，答錯(cuò)得－30分；選乙題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得－10分．若4位同學(xué)的總得分為0分，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是()A.24 B.36 C.40 D.44二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.若，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.10.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列 C. D.11.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.在處的切線方程為B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極小值為e D.方程有2個(gè)不同的解三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.由這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，且偶數(shù)數(shù)字從小到大排列（由高數(shù)位到低數(shù)位），這樣的七位數(shù)有__________個(gè)．13.已知，則使恒成立的的范圍是______．14.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍______．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.(本小題13分）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，各項(xiàng)的系數(shù)之和為，.（1）求的值：（2）求展開(kāi)式中的系數(shù).16.(本小題15分）某工廠計(jì)劃投資一定數(shù)額的資金生產(chǎn)甲，乙兩種新產(chǎn)品.甲產(chǎn)品的平均成本利潤(rùn)fx(單位：萬(wàn)元)與投資成本x(單位：萬(wàn)元)滿(mǎn)足：fx=alnxx+5x-b(a，b為常數(shù)，(1)求a，b的值；(2)若該工廠計(jì)劃投入50萬(wàn)元用于甲，乙兩種新產(chǎn)品的生產(chǎn)，每種產(chǎn)品投資不少于10萬(wàn)元，問(wèn)怎樣分配這50萬(wàn)元，才能使該工廠獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？(參考數(shù)據(jù)：ln10=2.303，ln17.(本小題15分）已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列前項(xiàng)和為；（3）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(本小題17分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若已知，且的圖象與相切，求b的值；（3）在（2）的條件下，的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍（不寫(xiě)過(guò)程）.19.(本小題17分）已知函數(shù)f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)當(dāng)x≥0時(shí)，若不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x>0，證明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.參考答案：1.【答案】A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以當(dāng)x=1時(shí)，所以，所以，所以.所以選擇A.2.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，；由于，，成等差數(shù)列，所以，，又因?yàn)?；所?3.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，，則在區(qū)間上有解即在區(qū)間上有解，即,設(shè)，則，，,所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是，4.【答案】C【解析】由展開(kāi)的性質(zhì)得，，所以.5.【答案】C【解析】由題意，，，由函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，故函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)根、，由韋達(dá)定理可得：，，則，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.6.【答案】A【解析】已知命題“”為真命題，即對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意，不等式恒成立.移項(xiàng)可得在上恒成立，所以要小于等于在上的最小值.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得.因?yàn)闀r(shí)，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，.由于，而，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.7.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，即，故可知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為1，所以有，即，故當(dāng)時(shí)，，所以，8.【答案】D【解析】分以下四種情況討論：①2位同學(xué)選甲題作答，一人答對(duì)一人答錯(cuò)，另外2位同學(xué)選乙題作答，一人答對(duì)一人答錯(cuò)，此時(shí)不同得分情況的種數(shù)為C×2×2＝24；②4位同學(xué)都選擇甲題或乙題作答，兩人答對(duì)，另外兩人答錯(cuò)，此時(shí)不同得分情況的種數(shù)為2C＝12；③1位同學(xué)選甲題作答并且答對(duì)，另外3位同學(xué)選乙題作答并且全部答錯(cuò)，此時(shí)不同得分情況的種數(shù)為C＝4；④1位同學(xué)選甲題作答并且答錯(cuò)，另外3位同學(xué)選乙題作答并且全部答對(duì)，此時(shí)不同得分情況的種數(shù)為C＝4.綜上所述，不同得分情況的種數(shù)為24＋12＋4＋4＝44，故選D.9.【答案】ACD【解析】依題意，，令，得，令，得，，令，得，所以A，C選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由題可得時(shí)，，所以D選項(xiàng)正確.10.【答案】BC【解析】因?yàn)?，且，上式兩邊除以得：，則是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，，則，所以C對(duì)對(duì)于A項(xiàng)：，則，不是等比數(shù)列對(duì)于B項(xiàng)：，所以是等比數(shù)列，故B正確對(duì)于D項(xiàng)：，，兩式相減得，故D錯(cuò)誤．11.【答案】ACD【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，.對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，所以函?shù)在處的切線方程為，即，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，令，即，解得，因?yàn)?，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，方程，即，即求方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，并對(duì)其求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)為單調(diào)遞增的，，，故在區(qū)間有唯一一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，即函數(shù)為單調(diào)遞減的，，即在區(qū)間存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確；12.【答案】90【解析】解法一：因偶數(shù)排列順序固定且0只能在從左向右排，第6，5，4位，奇數(shù)可任意排列，則當(dāng)0排在第6位時(shí)，共有（個(gè)）數(shù)；當(dāng)0排在第5位時(shí)，共有（個(gè)）數(shù)；當(dāng)0排在第4位時(shí)，共有（個(gè)）數(shù)，所以這樣的七位數(shù)共有（個(gè)）．解法二：因?yàn)榕紨?shù)不排首位，且偶數(shù)的順序從小到大排列，所以分三步進(jìn)行，先排首位為奇數(shù)，再將剩余的兩個(gè)奇數(shù)排在后六個(gè)位置中，余下四個(gè)位置再將四個(gè)偶數(shù)按照由小到大從前向后的順序依次排列即可，因此共有.13.【答案】【解析】因?yàn)楹愠闪?，所以m≥f(x)-所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞減，，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，則，所以的取值范圍是.14.【答案】【解析】由（），可得：在上有解.令（），只要即可.求導(dǎo)，.令，即，因?yàn)?，所以，解?當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減.由的單調(diào)性可知，在處取得極大值，也是最大值，.因?yàn)?，所?正確答案為15.【答案】解：（1）依題意，，令，得，則，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以是原方程的一個(gè)解，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以是原方程唯一的解綜上，的值為5．（2）由（1）得，的通項(xiàng)公式，依題意，令，解得，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.16.【答案】解：(1)由題意知，f1整理得5-b=5aln10+5-10b=16.515，解得a=5(2)設(shè)甲產(chǎn)品投資x萬(wàn)元，乙產(chǎn)品投資50-x萬(wàn)元，且x∈10,40則該公司獲得的利潤(rùn)φx=x5則φ'x=令φ'x=0，解得x=25當(dāng)10<x<25時(shí)，φ'x>0當(dāng)25<x<40時(shí)，φ'x<0∴φx∴當(dāng)甲，乙兩種產(chǎn)品各投資25萬(wàn)元時(shí)，公司取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為31.09萬(wàn)元.17.【答案】解：（1）根據(jù)題意，由于，則①；又有，，成等比數(shù)列，則②，聯(lián)立①②且，解得，，則，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)椋?，則；（3）因?yàn)?，所以③，④，則③-④得，綜上可知.18.【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得，令，解得或時(shí)，令，解得時(shí)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)與直線相切的切點(diǎn)是，因?yàn)?，所以，所以有，可得，又，相減得，所以，所以，解得；（3）當(dāng)時(shí)，，的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)，所以等價(jià)于方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，設(shè)函數(shù)，則，時(shí)，或；時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)取極大值，時(shí)取極小值，所以的取值范圍為.19.【答案】(1)解方法一由題意得，f′(x)＝ex－1－2ax.∵ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立，∴f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x.∴當(dāng)1－2a≥0，即a≤時(shí)，在區(qū)間[0，＋∞)上，f′(x)≥0，且f′(x)不恒等于0，∴f(x)單調(diào)遞增，f(x)≥f(0)，即f(x)≥0，符合題意．又由ex>1＋x(x≠0)，可得e－x>1－x(x≠0)．∴當(dāng)a>時(shí)，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)·(ex－2a)．∴在區(qū)間(0，ln2a)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，f(x)<0，不符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.方法二由題意得，f′(x)＝ex－1－2ax.令h(x)＝ex－1－2ax，則h′(x)＝ex－2a.當(dāng)2a≤1，即a≤時(shí)，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，且h′(x)不恒等于0，∴h(x)單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)＝0，即f′(x)≥f′(0)＝0.∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)≥f(0)＝0，∴a≤時(shí)滿(mǎn)足條件．當(dāng)2a>1，即a>時(shí)，令h′(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，有h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<