貴州省六盤水市紐紳中學2024−2025學年高二下學期4月月考 數(shù)學試題（含解析）

貴州省六盤水市紐紳中學2024?2025學年高二下學期4月月考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A． B．13 C．10 D．3．已知，的值是（）A．3 B．2 C．1 D．4．“方程表示橢圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取了1000個零件進行一項質(zhì)量指標的檢測，整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的眾數(shù)為45C．估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的中位數(shù)為60D．從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在的概率約為0.56．函數(shù)的圖象在點處的切線也是拋物線的切線，則（

）A．1 B．3 C．6 D．27．函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．在數(shù)列中，，，，…，，是首項為1、公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的前n項和（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下求導運算正確的是（）A． B．C． D．10．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．11．已知雙曲線的左?右焦點分別為，點是上的動點，則（

）A．B．的離心率不可能是C．以為圓心，半徑為的圓一定與的漸近線相切D．存在點使得是頂角為的等腰三角形三、填空題（本大題共3小題）12．在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系.該運動員在時的瞬時速度為.13．等差數(shù)列的前項和分別為和，若，則.14．已知函數(shù)，其導函數(shù)記為，則．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對邊分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)若，，求外接圓的面積16．如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(1)證明：平面;(2)若，求直線與平面所成角的正弦值17．對于三次函數(shù)．定義：①的導數(shù)為，的導數(shù)為，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”；②設(shè)為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)，都有恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱．(1)已知，求函數(shù)的“拐點”的坐標；(2)檢驗（1）中的函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點”對稱；(3)對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論（不必證明）．18．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求；(3)在（2）條件下若都有不等式恒成立，求的取值范圍.19．已知拋物線，過焦點且傾斜角為的直線與拋物線相交所得弦的長度為8．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線與拋物線交于點，是拋物線上異于點的另外兩點，且直線和直線的斜率之和為，判斷直線是否經(jīng)過一定點．若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

參考答案1．【答案】B【詳解】，，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】復數(shù)為純虛數(shù)，故需要故選A.3．【答案】C【詳解】由，得.故選C.4．【答案】A【詳解】方程表示橢圓，則，解得且，因此“方程表示橢圓”是“”的充分不必要條件.故選A.5．【答案】C【分析】利用各組的頻率之和為1，求得的值，判定A；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念判定BC；根據(jù)頻率估計概率值，從而判定D.【詳解】，解得，故A正確；頻率最大的一組為第二組，中間值為，所以眾數(shù)為45，故B正確；質(zhì)量指標大于等于60的有兩組，頻率之和為，所以60不是中位數(shù)，故C錯誤；由于質(zhì)量指標在[50,70)之間的頻率之和為，可以近似認為從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在的概率約為0.5，故D正確.故選C.6．【答案】C【詳解】，則，則在點處的切線的斜率為，，則，則在點處的切線的斜率為，函數(shù)的圖象在點處的切線也是拋物線的切線，則，即，故選C.7．【答案】C【詳解】由，設(shè)，則，由圖可知直線在線段之間，不含點，所以，得．故選C.8．【答案】D【詳解】由題意可得，所以.故選D.9．【答案】ACD【詳解】對于A，，所以A正確；對于B，，所以B不正確；對于C，，所以C正確；對于D，，所以D正確；故選ACD.10．【答案】CD【詳解】解：因為，，所以，故A錯誤；，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，所以，故B錯誤；因為，，所以，故C正確；，故D正確；故選CD.11．【答案】BC【詳解】，A選項錯誤；因為，所以的離心率，B選項正確；設(shè)，則到漸近線的距離，C選項正確；由雙曲線定義可知，若，則直線的斜率為1且點在的右支上，由可知直線與的右支無交點，所以，若，由對稱性易知也不存在點使得是頂角為的等腰三角形，D選項錯誤，故選BC.12．【答案】【詳解】由題設(shè)得，則，所以運動員在時的瞬時速度為.13．【答案】【詳解】原式.14．【答案】2【詳解】函數(shù)，定義域為R，則，，所以為偶函數(shù)，有，令，，為奇函數(shù)，有，所以.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理知，，所以，∴，且，，∴，.（2）由余弦定理得，，，∴，.∴外接圓面積.16．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）分別為的中點，為正方形，,平面平面，平面.（2）由題知平面建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為則，令則，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)(2)關(guān)于“拐點”對稱(3)三次函數(shù)的“拐點”是，它就是的對稱中心【詳解】（1）由，則，則，當時，解得，又，所以的“拐點”的坐標是．（2）由（1）知“拐點”坐標是，又，由定義②知的圖象關(guān)于“拐點”對稱．（3）一般地，三次函數(shù)的“拐點”是，它就是的對稱中心．（或者：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)．）證明：即對任意的恒成立．由，又，所以．故結(jié)論得證．18．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）因為①，當時可得，即，當時，②，由①-②得，即，故是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）因為，所以，，兩式相減得，即，則，故；（3）由（2）知，所以有，即，依題意，都有不等式恒成立，因為隨著n增大而減小，所以，即的取值范圍為.19．【答案】(1)；(2)