2025屆新疆維吾爾自治區(qū)多校高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1新疆維吾爾自治區(qū)多校2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由為純虛數(shù)，得且，解得.驗(yàn)證符合題意，故選：C2.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】易知為減函數(shù)，所以.所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：A3.若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，解得.故選：D4.在中，，，，，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，得.因?yàn)椋獾茫?故選：B5.現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)①，②，③，④，其中所有周期函數(shù)的序號是（）A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】對于③，因?yàn)榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，又是周期為的奇函數(shù)，故不是周期函數(shù)；對于④，是周期為的函數(shù)；對于①，易知是周期為的函數(shù)；對于②，由可知是周期為的函數(shù).故所有周期函數(shù)的序號是①②④.故選：C.6.已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，底面為正三角形，底面，，且與底面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榈酌?，所以與底面所成的角為，則，又因?yàn)?，所?設(shè)為的外心，因?yàn)榈酌鏋檎切?，所以，所以球的半徑，球的表面積為.故選：A.7.甲、乙、丙三人各自計(jì)劃去河南洛陽旅游，他們在3月25日到3月27日這三天中的一天到達(dá)河南洛陽，他們在哪一天到達(dá)河南洛陽相互獨(dú)立，互不影響，且他們各自在3月25日、3月26日、3月27日到達(dá)河南洛陽的概率如下表所示：到達(dá)日期3月25日.3月26日3月27日0.30.40.30.40.50.10.20.305設(shè)甲、乙兩人在同一天到達(dá)河南洛陽的概率為，甲、丙兩人在同一天到達(dá)河南洛陽的概率為，乙、丙兩人在同一天到達(dá)河南洛陽的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，，，故.故選：A8.一架天平平衡時(shí)的軸截面示意圖如圖所示，，，，，和都是邊長為1的正三角形.當(dāng)天平兩邊的重量發(fā)生變化時(shí)，繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動（逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍?，轉(zhuǎn)動角度.在轉(zhuǎn)動過程中，和始終都與平行，且圖中，，，，，，，，，這10個(gè)點(diǎn)始終共面，則在轉(zhuǎn)動過程中，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，.由題意可得，，，，所以，，則.因?yàn)椋?，?故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線，且，，則（）A.直線與有2個(gè)交點(diǎn)B.直線與有2個(gè)交點(diǎn)C.上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得為定值D.上僅存在4個(gè)點(diǎn)，使得為定值【答案】AC【解析】，為的兩個(gè)焦點(diǎn)，由雙曲線的定義可知C正確，D錯(cuò)誤.因?yàn)榈臐u近線的斜率為，直線斜率，所以直線與有2個(gè)交點(diǎn)，直線與僅有1個(gè)交點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤.故選：AC.10.若函數(shù)，，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是C.不論為何值，總有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，的最小值是【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，A正確.當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是，B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?又，，所以二次方程有兩個(gè)異于0的實(shí)根，C正確.當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，則，，若，則，在單調(diào)遞減，若，則，在單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，易知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值是，D正確.故選：ACD11.若圖的關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)（加黑的粗點(diǎn)）構(gòu)成的點(diǎn)集記為，可劃分為兩個(gè)子集和，，，且圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，則將圖稱為偶圖.下列四個(gè)圖為偶圖的是（）A.B.C. D.【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，當(dāng)，時(shí)，圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，A正確.對于選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，B正確.對于選項(xiàng)C，圖中出現(xiàn)了，則該三角形必然有一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)子集內(nèi)，這顯然不符合偶圖的定義，C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)D，當(dāng)，時(shí)，圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用0，1，4，6，7可以組成__________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).【答案】96【解析】第一步：有的排法，第二步，剩余4個(gè)元素有中排列，所以共有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).故答案為：9613.如圖，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)（位于第一象限）在上，點(diǎn)（位于第四象限）在的準(zhǔn)線上，且，則直線的斜率為__________.【答案】【解析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.根據(jù)拋物線的定義可知.設(shè)，則，，故.故答案為：14.設(shè)為銳角，則的最小值為__________，此時(shí)__________.【答案】①.121②.【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即（為銳角）時(shí)，等號成立，所以的最小值為121，此時(shí).故答案為：121；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.新能源汽車充電站作為新能源汽車發(fā)展的重要基礎(chǔ)設(shè)施，在城市交通的可持續(xù)發(fā)展中起著關(guān)鍵作用.現(xiàn)有20個(gè)新能源汽車充電站的日使用次數(shù)的頻率分布直方圖，如圖所示，其中各組區(qū)間為，，，，.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值，并求日使用次數(shù)在內(nèi)的充電站個(gè)數(shù)；（2）從這20個(gè)充電站中任取2個(gè)，設(shè)這2個(gè)充電站中日使用次數(shù)在內(nèi)的有個(gè)，求的分布列和期望.解：（1）由頻率和為1，可得，解得.因?yàn)槿帐褂么螖?shù)在內(nèi)的頻率為，所以日使用次數(shù)在內(nèi)的充電站個(gè)數(shù)為.（2）所有可能的取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012故.16.定義“窄度數(shù)列”：若一個(gè)數(shù)列中任意兩項(xiàng)差均小于，則稱該數(shù)列為“窄度數(shù)列”.（1）試問數(shù)列是否為“1000窄度數(shù)列”？（無需說明理由）（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列為“1窄度數(shù)列”.（3）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明為“窄度數(shù)列”.（1）解：數(shù)列不是“1000窄度數(shù)列”.取分別取，此時(shí)，故不是；（2）證明：，.因?yàn)?，所以，所以?shù)列中任意兩項(xiàng)的差均小于1，故數(shù)列為“1窄度數(shù)列”.（3）解：因?yàn)?，所以，，所以等比?shù)列的公比為，則，則.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起為遞增數(shù)列.又，，所以，所以數(shù)列中任意兩項(xiàng)差均小于，所以數(shù)列為“窄度數(shù)列”.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）證明：無極值.（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.（1）解：，則.因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）證明：令的導(dǎo)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以在上為增函數(shù)，故無極值.（3）解：由，得.設(shè)，則，的導(dǎo)數(shù)為，所以為增函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，，，則為增函數(shù)，則，所以符合題意.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，這與矛盾，所以不符合題意.綜上，的取值范圍是.18.已知橢圓的離心率為，的長軸為橢圓的短軸.（1）求的方程；（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求；（3）若直線與交于，兩點(diǎn)，與軸垂直，且線段的中點(diǎn)在軸上，證明：直線過定點(diǎn).（1）解：因?yàn)殚L軸為橢圓的短軸，所以.又的離心率為，所以，解得，故的方程為.（2）解：設(shè)，.將代入，得，則，即，，，所以，解得.（3）證明：設(shè)，，則.因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且點(diǎn)在的內(nèi)部，所以直線與總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).將代入，得，則，.因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為，令，得因?yàn)?，所以直線過定點(diǎn).19.如圖，在正方體中，，均為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），.（1）證明：.（2）設(shè)，，.（i）試探究是否為定值，并說明你的理由；（ii）求二面角的余弦值的取值范圍.（1）證明：連接，，.在正方體中，平面，在平面，則.又，，都在平面內(nèi)，所以平面，又在平面，所以.同理可得，因?yàn)椋荚谄矫鎯?nèi)，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?（2）解：（i）連接，.設(shè)，則，易知是正三角形，則，，其中.因?yàn)?，所?同理可得，，故，為定值.（ii）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得.同理可得平面的一個(gè)法向量為..因?yàn)?，所以，所?設(shè)，則.因?yàn)?，所?又，所以，則.設(shè)，則，，所以.由圖可知二面角是銳角，所以二面角的余弦值的取值范圍是.新疆維吾爾自治區(qū)多校2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由為純虛數(shù)，得且，解得.驗(yàn)證符合題意，故選：C2.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】易知為減函數(shù)，所以.所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：A3.若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，解得.故選：D4.在中，，，，，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，得.因?yàn)?，解得?故選：B5.現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)①，②，③，④，其中所有周期函數(shù)的序號是（）A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】對于③，因?yàn)榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，又是周期為的奇函數(shù)，故不是周期函數(shù)；對于④，是周期為的函數(shù)；對于①，易知是周期為的函數(shù)；對于②，由可知是周期為的函數(shù).故所有周期函數(shù)的序號是①②④.故選：C.6.已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，底面為正三角形，底面，，且與底面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榈酌?，所以與底面所成的角為，則，又因?yàn)?，所?設(shè)為的外心，因?yàn)榈酌鏋檎切?，所以，所以球的半徑，球的表面積為.故選：A.7.甲、乙、丙三人各自計(jì)劃去河南洛陽旅游，他們在3月25日到3月27日這三天中的一天到達(dá)河南洛陽，他們在哪一天到達(dá)河南洛陽相互獨(dú)立，互不影響，且他們各自在3月25日、3月26日、3月27日到達(dá)河南洛陽的概率如下表所示：到達(dá)日期3月25日.3月26日3月27日0.30.40.30.40.50.10.20.305設(shè)甲、乙兩人在同一天到達(dá)河南洛陽的概率為，甲、丙兩人在同一天到達(dá)河南洛陽的概率為，乙、丙兩人在同一天到達(dá)河南洛陽的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，，，故.故選：A8.一架天平平衡時(shí)的軸截面示意圖如圖所示，，，，，和都是邊長為1的正三角形.當(dāng)天平兩邊的重量發(fā)生變化時(shí)，繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動（逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍?，轉(zhuǎn)動角度.在轉(zhuǎn)動過程中，和始終都與平行，且圖中，，，，，，，，，這10個(gè)點(diǎn)始終共面，則在轉(zhuǎn)動過程中，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，.由題意可得，，，，所以，，則.因?yàn)?，所以，?故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線，且，，則（）A.直線與有2個(gè)交點(diǎn)B.直線與有2個(gè)交點(diǎn)C.上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得為定值D.上僅存在4個(gè)點(diǎn)，使得為定值【答案】AC【解析】，為的兩個(gè)焦點(diǎn)，由雙曲線的定義可知C正確，D錯(cuò)誤.因?yàn)榈臐u近線的斜率為，直線斜率，所以直線與有2個(gè)交點(diǎn)，直線與僅有1個(gè)交點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤.故選：AC.10.若函數(shù)，，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是C.不論為何值，總有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，的最小值是【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，A正確.當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是，B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?又，，所以二次方程有兩個(gè)異于0的實(shí)根，C正確.當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，則，，若，則，在單調(diào)遞減，若，則，在單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，易知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值是，D正確.故選：ACD11.若圖的關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)（加黑的粗點(diǎn)）構(gòu)成的點(diǎn)集記為，可劃分為兩個(gè)子集和，，，且圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，則將圖稱為偶圖.下列四個(gè)圖為偶圖的是（）A.B.C. D.【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，當(dāng)，時(shí)，圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，A正確.對于選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，B正確.對于選項(xiàng)C，圖中出現(xiàn)了，則該三角形必然有一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)子集內(nèi)，這顯然不符合偶圖的定義，C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)D，當(dāng)，時(shí)，圖中每一條邊的一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)在中，另一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)點(diǎn)必在中，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用0，1，4，6，7可以組成__________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).【答案】96【解析】第一步：有的排法，第二步，剩余4個(gè)元素有中排列，所以共有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).故答案為：9613.如圖，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)（位于第一象限）在上，點(diǎn)（位于第四象限）在的準(zhǔn)線上，且，則直線的斜率為__________.【答案】【解析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.根據(jù)拋物線的定義可知.設(shè)，則，，故.故答案為：14.設(shè)為銳角，則的最小值為__________，此時(shí)__________.【答案】①.121②.【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即（為銳角）時(shí)，等號成立，所以的最小值為121，此時(shí).故答案為：121；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.新能源汽車充電站作為新能源汽車發(fā)展的重要基礎(chǔ)設(shè)施，在城市交通的可持續(xù)發(fā)展中起著關(guān)鍵作用.現(xiàn)有20個(gè)新能源汽車充電站的日使用次數(shù)的頻率分布直方圖，如圖所示，其中各組區(qū)間為，，，，.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值，并求日使用次數(shù)在內(nèi)的充電站個(gè)數(shù)；（2）從這20個(gè)充電站中任取2個(gè)，設(shè)這2個(gè)充電站中日使用次數(shù)在內(nèi)的有個(gè)，求的分布列和期望.解：（1）由頻率和為1，可得，解得.因?yàn)槿帐褂么螖?shù)在內(nèi)的頻率為，所以日使用次數(shù)在內(nèi)的充電站個(gè)數(shù)為.（2）所有可能的取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012故.16.定義“窄度數(shù)列”：若一個(gè)數(shù)列中任意兩項(xiàng)差均小于，則稱該數(shù)列為“窄度數(shù)列”.（1）試問數(shù)列是否為“1000窄度數(shù)列”？（無需說明理由）（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列為“1窄度數(shù)列”.（3）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明為“窄度數(shù)列”.（1）解：數(shù)列不是“1000窄度數(shù)列”.取分別取，此時(shí)，故不是；（2）證明：，.因?yàn)椋?，所以?shù)列中任意兩項(xiàng)的差均小于1，故數(shù)列為“1窄度數(shù)列”.（3）解：因?yàn)椋?，，所以等比?shù)列的公比為，則，則.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起為遞增數(shù)列.又，，所以，所以數(shù)列中任意兩項(xiàng)差均小于，所以數(shù)列為“窄度數(shù)列”.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）證明：無極值.（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.（1）解：，則.因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）證明：令的導(dǎo)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.