2025屆山西省呂梁市孝義市高三二月份模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省呂梁市孝義市2025屆高三二月份模擬考試數(shù)學試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，所以.故選：B2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C3.已知向量，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，則，，由，得，所以.故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.故選：A5.下列說法錯誤的是（）A.某校高一年級共有男女學生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.在一元線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)r越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05【答案】C【解析】對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，C錯誤；對于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，D正確.故選：C6.在正三棱錐中，棱兩兩垂直，若的邊，則該正三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知：正三棱錐是正方體的一個角，補成正方體如圖所示：正方體的對角線長是外接球的直徑，因為，所以，則外接球直徑為，所以，所以外接球的表面積為，故選：D7.設函數(shù)，則滿足的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令函數(shù)，其定義域為R，，函數(shù)是奇函數(shù)，求導得，當且僅當時取等號，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，則，解得，所以所求取值范圍是.故選：A8.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（）A. B. C.13 D.15【答案】D【解析】拋物線的焦點為，由軸，點，得，由拋物線的光學性質(zhì)，得點共線，設，則，解得，點，于是，，，所以的周長為.故選：D二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.一個正四面體形的骰子，四個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，先后拋擲兩次，每次取著地的數(shù)字．甲表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，則下列說法正確的是（）A.甲發(fā)生的概率為 B.乙發(fā)生的概率為C.甲與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】AC【解析】設事件表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，事件表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的正四面體形的骰子兩次，有共16種等可能的不同結(jié)果，第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1的情況有：，甲發(fā)生的概率為：，故A正確；第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2的情況有：，乙發(fā)生的概率為：，故B錯誤；兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5的情況有：，丙發(fā)生的概率為：，兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6的情況有：，丁發(fā)生的概率為：，，，故事件甲與丙相互獨立，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.10.已知，若對，使得成立，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】ABC【解析】依題意，，其中銳角由確定，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由，使得成立，得，而在區(qū)間上的值域為，則存在，使得，因此，解得，函數(shù)，當時，，又在區(qū)間上的值域為，，則，解得，所以實數(shù)取值范圍是，ABC可能，D不可能.故選：ABC11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)為單調(diào)函數(shù)B.時，函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)的圖象與直線有兩個交點D.若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為【答案】BD【解析】對于A：因為，，當時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，,當時，，故，當時，，故，因為是連續(xù)函數(shù)，由零點存在定理得定有使得，故函數(shù)不單調(diào)，當時，當時，，故，當時，，故，因為連續(xù)函數(shù)，由零點存在定理得定有使得，故函數(shù)不單調(diào)，故A錯誤；對于選項B：因為函數(shù)，當時，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B正確；對于選項C：由選項A分析當時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時函數(shù)的圖象與直線至多有1個交點；故C錯誤對于選項D：因為，要使恒成立，只需，即，，解不等式，即，解得或，又因為，所以，故D正確；故選：BD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.正數(shù)滿足，則的最小值是__________.【答案】16【解析】由正數(shù)滿足，得，則，當且僅當，即取等號，所以的最小值是16.故答案為：1613.如圖所示，在棱長為4的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面，則線段長度的取值范圍是__________.【答案】【解析】在棱長為4正方體中，分別取棱中點，連接，由點分別是棱的中點，得，又平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，于是，又平面，平面，則平面，又，平面，因此平面平面，又是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，則點的軌跡是線段，在中，，同理，即為等腰三角形，當為中點時，最短，為，當位于、處時，最長，為，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：14.已知雙曲線的左、右焦點分別為為坐標原點，為雙曲線上一點，且，點滿足，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】取的中點N，由，得，令與交于，由是的中點，得，則是的中點，由，得，因此垂直平分，令雙曲線的半焦距為c，則，，由，得，因此，化簡得，所以雙曲線離心率為.故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的大?。唬?）若，設為三角形的角平分線，求的長.解：（1）由得,又因為，所以,又因為，所以,又因為,所以.（2）因為，所以,又因為,所以,所以,故答案為：.16.已知橢圓的焦距為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且線段的中點的橫坐標為，過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.（1）解：由點在橢圓上，得，由橢圓的焦距為，得，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：設,，代入橢圓方程得，由題知，當時，設,、,，顯然，由，得，即，由為線段的中點，得，直線的斜率，由，得直線的方程為，即，因此直線過定點，當時，直線，此時為軸亦過點，所以直線恒過定點.17.若數(shù)列中且對任意的恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“-數(shù)列”，寫出所有可能的；（2）若“-數(shù)列”中，，求的最大值.解：（1）依題意，因為數(shù)列為“數(shù)列”，則，注意到，故所有可能的為或或.（2）一方面，注意到：對任意的，令，則且，故對任意的恒成立（★），當時，注意到，得，此時，即，解得，故；另一方面，取，則對任意的，故數(shù)列為“數(shù)列”，此時，即符合題意.綜上，n的最大值為.18.在底面是菱形的四棱錐中，已知，，過作側(cè)面的垂線，垂足恰為棱的中點.（1）在棱上是否存在一點E，使得側(cè)面，若存在，求的長；若不存在，說明理由.（2）二面角的大小為，二面角的大小為，求.解：（1）如圖，連接，，是的中點，，又平面，平面，，又，平面，平面，過作于，又，，又平面，，又，平面，平面，在中，，，，得，.（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，由（1）知，，可得，，又平面，所以平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，，，由圖可知二面角的平面角為鈍角，則，，由題知，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，.，由圖可知二面角的平面角為銳角，則，，.19.設為的導函數(shù)，若在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱為D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．（1）若為上的“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；（2）證明：當時，有且僅有兩個零點．（1）解：由，則.由題意可知，為上的“凸函數(shù)”，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，設，則，所以在恒成立，則在恒成立，又當時，函數(shù)取最小值，且最小值為，所以有，解得，即a的取值范圍為.（2）證明：當時，由得.令，其中，則，其中.①當時，則，，所以，則在單調(diào)遞增，則恒成立，即在無零點；②當時，令，其中，由在單調(diào)遞增，又，故存在，使得，故當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；由，故存在，使，即，故當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；又，故當時，，即無零點；③當時，由，則，故故在單調(diào)遞增，，且，故由零點存在性定理可知在有且僅有一個零點；④當時，，故在無零點；綜上所述，有且僅有兩個零點，其中，而另一個零點在內(nèi).由，即將圖象向左移1個單位可得的圖象.故也有兩個零點，一個零點為，另一個零點在內(nèi).故有且僅有兩個零點，命題得證。山西省呂梁市孝義市2025屆高三二月份模擬考試數(shù)學試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，所以.故選：B2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C3.已知向量，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，則，，由，得，所以.故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.故選：A5.下列說法錯誤的是（）A.某校高一年級共有男女學生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C.在一元線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)r越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強D.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05【答案】C【解析】對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，C錯誤；對于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，D正確.故選：C6.在正三棱錐中，棱兩兩垂直，若的邊，則該正三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知：正三棱錐是正方體的一個角，補成正方體如圖所示：正方體的對角線長是外接球的直徑，因為，所以，則外接球直徑為，所以，所以外接球的表面積為，故選：D7.設函數(shù)，則滿足的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令函數(shù)，其定義域為R，，函數(shù)是奇函數(shù)，求導得，當且僅當時取等號，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，則，解得，所以所求取值范圍是.故選：A8.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（）A. B. C.13 D.15【答案】D【解析】拋物線的焦點為，由軸，點，得，由拋物線的光學性質(zhì)，得點共線，設，則，解得，點，于是，，，所以的周長為.故選：D二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.一個正四面體形的骰子，四個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，先后拋擲兩次，每次取著地的數(shù)字．甲表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，則下列說法正確的是（）A.甲發(fā)生的概率為 B.乙發(fā)生的概率為C.甲與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】AC【解析】設事件表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，事件表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的正四面體形的骰子兩次，有共16種等可能的不同結(jié)果，第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1的情況有：，甲發(fā)生的概率為：，故A正確；第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2的情況有：，乙發(fā)生的概率為：，故B錯誤；兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5的情況有：，丙發(fā)生的概率為：，兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6的情況有：，丁發(fā)生的概率為：，，，故事件甲與丙相互獨立，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.10.已知，若對，使得成立，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】ABC【解析】依題意，，其中銳角由確定，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由，使得成立，得，而在區(qū)間上的值域為，則存在，使得，因此，解得，函數(shù)，當時，，又在區(qū)間上的值域為，，則，解得，所以實數(shù)取值范圍是，ABC可能，D不可能.故選：ABC11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)為單調(diào)函數(shù)B.時，函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)的圖象與直線有兩個交點D.若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為【答案】BD【解析】對于A：因為，，當時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，,當時，，故，當時，，故，因為是連續(xù)函數(shù)，由零點存在定理得定有使得，故函數(shù)不單調(diào)，當時，當時，，故，當時，，故，因為連續(xù)函數(shù)，由零點存在定理得定有使得，故函數(shù)不單調(diào)，故A錯誤；對于選項B：因為函數(shù)，當時，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B正確；對于選項C：由選項A分析當時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時函數(shù)的圖象與直線至多有1個交點；故C錯誤對于選項D：因為，要使恒成立，只需，即，，解不等式，即，解得或，又因為，所以，故D正確；故選：BD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.正數(shù)滿足，則的最小值是__________.【答案】16【解析】由正數(shù)滿足，得，則，當且僅當，即取等號，所以的最小值是16.故答案為：1613.如圖所示，在棱長為4的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)一點，若平面，則線段長度的取值范圍是__________.【答案】【解析】在棱長為4正方體中，分別取棱中點，連接，由點分別是棱的中點，得，又平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，于是，又平面，平面，則平面，又，平面，因此平面平面，又是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，則點的軌跡是線段，在中，，同理，即為等腰三角形，當為中點時，最短，為，當位于、處時，最長，為，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：14.已知雙曲線的左、右焦點分別為為坐標原點，為雙曲線上一點，且，點滿足，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】取的中點N，由，得，令與交于，由是的中點，得，則是的中點，由，得，因此垂直平分，令雙曲線的半焦距為c，則，，由，得，因此，化簡得，所以雙曲線離心率為.故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的大??；（2）若，設為三角形的角平分線，求的長.解：（1）由得,又因為，所以,又因為，所以,又因為,所以.（2）因為，所以,又因為,所以,所以,故答案為：.16.已知橢圓的焦距為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且線段的中點的橫坐標為，過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.（1）解：由點在橢圓上，得，由橢圓的焦距為，得，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：設,，代入橢圓方程得，由題知，當時，設,、,，顯然，由，得，即，由為線段的中點，得，直線的斜率，由，得直線的方程為，即，因此直線過定點，當時，直線，此時為軸亦過點，所以直線恒過定點.17.若數(shù)列中且對任意的恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“-數(shù)列”，寫出所有可能的；（2）若“-數(shù)列”中，，求的最大值.解：（1）依題意，因為數(shù)列為“數(shù)列”，則，注意到，故所有可能的為或或.（2）一方面，注意到：對任意的，令，則且，故對任意的恒成立（★），當時，注意到，得，此時，即，解得，故；另一方面，取，則對任意