2024屆江蘇省淮安市數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

2024屆江蘇省淮安市數(shù)學(xué)高一下期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知、都是單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．2．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A． B．C． D．3．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．4．在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則＝A． B． C． D．5．若直線與直線平行，則的值為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．06．某小吃店的日盈利（單位：百元）與當(dāng)天平均氣溫（單位：℃）之間有如下數(shù)據(jù)：/℃/百元對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則線性回歸方程為（）參考公式：A． B．C． D．7．已知點(diǎn)和點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（）A．5或-1 B．5或1 C．2或-6 D．-2或68．在正三棱錐中，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)，,直線的方程為，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．10．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問(wèn)若聘該女子做工半月（15日），一共能織布幾尺（）A．75 B．85 C．105 D．120二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，平面區(qū)域由所有滿(mǎn)足的點(diǎn)組成，則的面積是__________．13．在數(shù)列中，，則______________.14．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體的所有棱長(zhǎng)和為_(kāi)______.15．在中，角所對(duì)的邊分別為，，則____16．已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足.若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知向量，，函數(shù).（1）若且，求；（2）求函數(shù)的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間.18．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿(mǎn)足.（1）求角；（2）若，，求的周長(zhǎng).19．已知函數(shù).（Ⅰ）求的定義域；（Ⅱ）設(shè)是第一象限角，且，求的值.20．已知，，．(1)求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小正周期；(2)若當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的值．21．做一個(gè)體積為，高為2m的長(zhǎng)方體容器，問(wèn)底面的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)，所用的材料表面積最少？并求出其最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由、都是單位向量，由向量的數(shù)量積和共線的定義可判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由、都是單位向量，所以.設(shè)、的夾角為.則，所以A，D不正確.當(dāng)時(shí)，、同向或反向，所以C不正確.,所以B正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量的概念，屬于概念考查題，應(yīng)該掌握．2、D【解析】

本題通過(guò)討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上，選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過(guò)討論的不同取值范圍，認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性.3、B【解析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質(zhì)求解即可.詳解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查共線向量的性質(zhì)，平面向量的減法法則，屬于簡(jiǎn)單題.5、B【解析】

兩直線平行表示斜率相同或者都垂直x軸，即?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，兩直線分別為：與直線，不平行，當(dāng)時(shí)，直線化為：直線化為：,兩直線平行，所以，，解得：，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符，所以，【點(diǎn)睛】直線平行即表示斜率相同，且截距不同，如果截距相同則表示同一條直線。6、B【解析】

計(jì)算出，，把數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，即可得到答案．【詳解】由題可得：，，，，；所以，，則線性回歸方程為；故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式建立方程求得結(jié)果.【詳解】解得：或本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用正三棱錐的性質(zhì)，作出側(cè)棱與底面所成角，利用直角三角形進(jìn)行計(jì)算.【詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因?yàn)槭钦忮F，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角，因?yàn)?，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查線面角的計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.9、A【解析】

直線過(guò)定點(diǎn)，利用直線的斜率公式分別計(jì)算出直線，和的斜率，根據(jù)斜率的單調(diào)性即可求斜率的取值范圍．【詳解】解：直線整理為即可知道直線過(guò)定點(diǎn)，作出直線和點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖象如圖：，，，，，要使直線與線段相交，則直線的斜率滿(mǎn)足或，或即直線的斜率的取值范圍是，故選．【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的求法，利用數(shù)形結(jié)合確定直線斜率的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】設(shè)第一天織尺，第二天起每天比前一天多織尺，由已知得，，故選D.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類(lèi)基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量，一般可以“知二求三”，通過(guò)列方程組所求問(wèn)題可以迎刃而解，另外，解等差數(shù)列問(wèn)題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.12、【解析】,所以點(diǎn)平面區(qū)域是底面內(nèi)以為圓心，以1為半徑的外面區(qū)域,則的面積是13、20【解析】

首先根據(jù)已知得到：是等差數(shù)列，公差，再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差..故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列項(xiàng)的求法，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

取半正多面體的截面正八邊形，設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)分別作于，于，可知，，可求出半正多面體的棱長(zhǎng)及所有棱長(zhǎng)和.【詳解】取半正多面體的截面正八邊形，由正方體的棱長(zhǎng)為1，可知，易知，設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)分別作于，于，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長(zhǎng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，考查了空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】

利用正弦定理將邊角關(guān)系式中的邊都化成角，再結(jié)合兩角和差公式進(jìn)行整理，從而得到.【詳解】由正弦定理可得：即：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查李用正弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，屬于常規(guī)題.16、【解析】

利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進(jìn)一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項(xiàng)求的前99項(xiàng)和?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，符合，【點(diǎn)睛】一般公式的使用是將變?yōu)椋绢}是將變?yōu)?，給后面的整理帶來(lái)方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）最小正周期，的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【解析】

（1）計(jì)算平面向量的數(shù)量積得出函數(shù)的解析式，求出時(shí)的值；（2）根據(jù)的解析式，求出它的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)時(shí)，，解得又；（2）函數(shù)它的最小正周期：令故：的單調(diào)遞增區(qū)間為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根據(jù)面積公式得到，利用余弦定理得到，計(jì)算得到答案.【詳解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，則.把代入得即.∴，則.∴的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，面積公式，周長(zhǎng)，意在考查學(xué)生對(duì)于公式的靈活運(yùn)用.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題可根據(jù)分式的分母不能為得出，然后解即可得出函數(shù)的定義域；(2)本題首先可根據(jù)以及同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算出以及的值，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由得，，所以，，故的定義域?yàn)?(2)因?yàn)椋沂堑谝幌笙藿?，所以有，解得?故．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換的應(yīng)用，考查的公式有、、、二倍角公式以及兩角差的余弦公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．20、（1）,；（2）.【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及輔助角公式得：，并求出最小正周期為；（2）由，得到，從而，再根據(jù)的最小值為，求得.【詳解】（1），所以.（2）當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查向量與三角函數(shù)的交會(huì)，求函數(shù)的最值時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用，即先求出，再得到.21、長(zhǎng)和寬均為4m時(shí)，最小值為64【解析】

利用體積求得ab=16，只需表示出表面積，結(jié)合高為2m，利用基本不等式求出最值即可.【