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高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】,,.故選:C2.設(shè)全集,若,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?,,所以,所?故選:B.3.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.2【答案】A【解析】由,,得,由,得,所以.故選:A4.已知互不相等的數(shù)據(jù),,,,,,的平均數(shù)為,方差為,數(shù)據(jù),,,,,的方差為,則()A. B.C. D.與的大小關(guān)系無法判斷【答案】C【解析】根據(jù)已知條件第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè),且,所以,,第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè),且平均數(shù),,因?yàn)?,所?故選:C5.若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為,則圓錐母線與底面所成角的大小為()A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面的半徑為,母線長(zhǎng)為,高為,則由題意得,解得,設(shè)圓錐母線與底面所成角為,則,所以圓錐母線與底面所成角的大小為.故選:A.6.在的展開式中,的系數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】展開式的通項(xiàng)為,令,所以的系數(shù)是.故選:D7.已知、是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn),則()A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)已知條件有,,所以,因?yàn)?、是函?shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn),所以,所以,即,因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù),所以,所以故選:B8.如圖,圓與軸交于、兩點(diǎn),、是分別過、的圓的切線,過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線,分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn),記直線與交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn),當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線的斜率不存在時(shí),即當(dāng)點(diǎn)時(shí),易知以,所以此時(shí)點(diǎn)為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),即;當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線斜率存在時(shí),則,因?yàn)椋郧芯€的斜率為,又切線過點(diǎn),所以切線的方程為,整理得,又點(diǎn)在圓上,所以,故切線的方程為.易知,在切線的方程中,令,則,令,則,所以,所以直線的斜率,直線的方程為,直線的斜率,直線的方程為,聯(lián)立直線和直線的方程,解得,所以點(diǎn),又,所以點(diǎn)所滿足的方程為,因?yàn)榍芯€分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn),所以切線不能為,即,且前述直線的斜率不存在時(shí)即也滿足上述方程,所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選:B.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)和,下列說法中正確的是()A.與有相同的零點(diǎn)B.與有相同的最小值C.函數(shù)的圖象與的圖象有相同的對(duì)稱軸D.的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BD【解析】對(duì)于A,令中,可得,但,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由正余弦函數(shù)的值域可得兩函數(shù)具有相同的最小值為,故B正確;對(duì)于C,函數(shù)的對(duì)稱軸方程為,即,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,的圖象向左平移個(gè)單位得到,故D正確;故選:BD10.已知函數(shù)滿足,,則()A.B.對(duì)于任意,有三個(gè)零點(diǎn)C.對(duì)于任意,有兩個(gè)極值點(diǎn)D.存在,使得點(diǎn)為曲線對(duì)稱中心【答案】AB【解析】對(duì)于A,由,,可得,即,故A正確;對(duì)于B,由A選項(xiàng)可得,則,則,當(dāng)時(shí),令,則,令,則或,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,由,可得,而,所以,又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在和都存在一個(gè)零點(diǎn),所以對(duì)于任意,有三個(gè)零點(diǎn),故B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,則,由,得恒成立,所以函數(shù)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)無極值點(diǎn),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,要使點(diǎn)為曲線對(duì)稱中心,則為定值,而,因?yàn)闉槎ㄖ?,所以,解得,所以不存在,使得點(diǎn)曲線對(duì)稱中心,故D錯(cuò)誤.11.曲線與直線交于不同的兩點(diǎn)、(),、分別為曲線在點(diǎn)、處的切線,、分別為直線、與直線的交點(diǎn),為直線與的交點(diǎn),則()A. B. C. D.點(diǎn)在直線上【答案】ABC【解析】曲線與直線交于不同的兩點(diǎn)、,,整理得解得或,且,,故A正確;令,且對(duì)稱軸,,,,故B正確;,則,:,即.令,得,即,同理可得,.,,,關(guān)于軸對(duì)稱,,故C正確;為直線與的交點(diǎn),聯(lián)立,整理得代入得:,即點(diǎn)在直線上,故D不正確.故選:ABC三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若且,則____________.【答案】【解析】由兩角和的正切公式可得,所以,由兩角和的余弦公式可得,解得.故答案為:.13.設(shè)為公比為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,成等差數(shù)列,則_________.【答案】【解析】由,,成等差數(shù)列,可得:.又因?yàn)闉楣葹榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和,所以,且,即,解得:.故答案為:.14.設(shè)、、、是、、、、、、、的一個(gè)排列,則滿足,,,的排列共有________個(gè);,則集合中所有元素的和為___________.【答案】①.②.【解析】因?yàn)?、、、是、、、、、、、的一個(gè)排列,若滿足,,,,則與、與、與、與的大小關(guān)系是確定的,所以,滿足條件的排列方法種數(shù)為種;對(duì)于集合中的元素,不妨設(shè),,,,則為偶數(shù),根據(jù)題意可知,,,,,則,不妨取,此時(shí),取最小值,當(dāng)取最小值時(shí),最大,且的最小值為,則的最大值為,接下來驗(yàn)證可取內(nèi)的所有偶數(shù),對(duì)取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證,列表如下:因此,集合的所有元素之和為.故答案為:;.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.中,角的對(duì)邊分別為已知.(1)求;(2)若,,求的面積.解:(1)由正弦定理可得,因?yàn)?,?所以,所以整理得,因?yàn)?,所?(2)因?yàn)椋?,因?yàn)椋?,,又因?yàn)?,,所以,又,所?16.如圖,斜三棱柱中,,點(diǎn)在底面的射影恰好是的中點(diǎn),.(1)證明:;(2)將沿翻折至,使得點(diǎn)在平面上,求平面與平面所成角的余弦值.(1)證明:由已知平面,所以,因?yàn)?,所以,又,平面,所以平面,所以因?yàn)?,所以平行四邊形為菱形,所以又,平面,所以平面,所以?)解:因?yàn)?,由?)平面,所以平面,所以,由已知,直線、和均在平面內(nèi),所以、、三點(diǎn)共線,因?yàn)?,所以為的中點(diǎn)取中點(diǎn),連接,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以所以面,所以,,且平面分別以直線、、為軸、軸、如圖所示空間平面直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,所以,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,所以,令,可得平面的一個(gè)法向量為;設(shè)平面的法向量為,因?yàn)椋?,令,可得平面的一個(gè)法向量為;因?yàn)樗云矫媾c平面所成角的余弦值為.17.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明:;(2)若存在極大值,且極大值大于0,求的取值范圍.(1)證明:時(shí),,,時(shí),;時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以.(2)解:,時(shí),,在上單調(diào)遞增,無極值;時(shí),時(shí),;時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以的極大值為,令,則,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,由已知,所以,解得,綜上,.18.某籃球夏令營(yíng)舉行超遠(yuǎn)距離投籃闖關(guān)游戲,游戲規(guī)則如下:夏令營(yíng)成員組隊(duì)參加游戲,每隊(duì)由三名隊(duì)員組成.三名隊(duì)員排好出場(chǎng)順序后,依次出場(chǎng)投籃,且每名隊(duì)員只投一次.如果一名隊(duì)員投中,則游戲停止;如果這名隊(duì)員沒有投中,則派出下一名隊(duì)員,直至有隊(duì)員投中(闖關(guān)成功)或無隊(duì)員可派出(闖關(guān)失?。r(shí)游戲停止.現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加游戲,他們投中的概率分別為、、,且每次每人投中與否相互獨(dú)立.(1)若,,,求游戲停止時(shí)小隊(duì)有人投中的概率;(2)若,現(xiàn)在小隊(duì)計(jì)劃兩種方案參加游戲.方案一:甲最先、乙次之、丙最后;方案二:丙最先、甲次之、乙最后;(ⅰ)若采用方案一,求所需派出人員數(shù)目的分布列和期望;(ⅱ)分析采用哪種方案,可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.解:(1)設(shè)“停止比賽時(shí)小隊(duì)有人投中”為事件,則,所以.(2)(ⅰ)的所有可能取值為1,2,3,,;所以的分布列為123.(ⅱ)設(shè)方案二所需派出人員數(shù)目,同理可得,因?yàn)椋?,所以,方案一可使所需派出人員數(shù)目的期望更小.19.已知雙曲線(,)的兩條漸近線為,且經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程;(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(兩條直線的斜率都存在)分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、,、分別為弦和的中點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn);過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(兩條直線的斜率都存在)分別交雙曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、,、分別為弦和的中點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn)……;依此類推得到點(diǎn)列,.(?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式;(ⅱ)、分別在雙曲線的左支和右支上,且直線經(jīng)過點(diǎn),當(dāng),時(shí)滿足:①直線的傾斜角總是;②點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明:.解:(1)由雙曲線的兩條漸近線為,得,即,又雙曲線經(jīng)過點(diǎn),得,解得,所以雙曲線方程為.(2)令,設(shè)兩條直線的方程分別為和,設(shè),,由得,由,得,,則,,點(diǎn),同理得點(diǎn),于是直線的斜率,直線的方程為:,令,得,因此,由,得,則數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.(ⅱ)設(shè)直線的方程為,由點(diǎn)的坐標(biāo)為,得的坐標(biāo)為,由消去得,因此,,則,所以.遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】,,.故選:C2.設(shè)全集,若,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?,,所以,所?故選:B.3.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.2【答案】A【解析】由,,得,由,得,所以.故選:A4.已知互不相等的數(shù)據(jù),,,,,,的平均數(shù)為,方差為,數(shù)據(jù),,,,,的方差為,則()A. B.C. D.與的大小關(guān)系無法判斷【答案】C【解析】根據(jù)已知條件第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè),且,所以,,第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為個(gè),且平均數(shù),,因?yàn)椋?故選:C5.若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為,則圓錐母線與底面所成角的大小為()A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面的半徑為,母線長(zhǎng)為,高為,則由題意得,解得,設(shè)圓錐母線與底面所成角為,則,所以圓錐母線與底面所成角的大小為.故選:A.6.在的展開式中,的系數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】展開式的通項(xiàng)為,令,所以的系數(shù)是.故選:D7.已知、是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn),則()A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)已知條件有,,所以,因?yàn)?、是函?shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn),所以,所以,即,因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù),所以,所以故選:B8.如圖,圓與軸交于、兩點(diǎn),、是分別過、的圓的切線,過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線,分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn),記直線與交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn),當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線的斜率不存在時(shí),即當(dāng)點(diǎn)時(shí),易知以,所以此時(shí)點(diǎn)為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),即;當(dāng)圓心與切點(diǎn)所成直線斜率存在時(shí),則,因?yàn)椋郧芯€的斜率為,又切線過點(diǎn),所以切線的方程為,整理得,又點(diǎn)在圓上,所以,故切線的方程為.易知,在切線的方程中,令,則,令,則,所以,所以直線的斜率,直線的方程為,直線的斜率,直線的方程為,聯(lián)立直線和直線的方程,解得,所以點(diǎn),又,所以點(diǎn)所滿足的方程為,因?yàn)榍芯€分別交、于點(diǎn)、兩點(diǎn),所以切線不能為,即,且前述直線的斜率不存在時(shí)即也滿足上述方程,所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選:B.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)和,下列說法中正確的是()A.與有相同的零點(diǎn)B.與有相同的最小值C.函數(shù)的圖象與的圖象有相同的對(duì)稱軸D.的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BD【解析】對(duì)于A,令中,可得,但,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由正余弦函數(shù)的值域可得兩函數(shù)具有相同的最小值為,故B正確;對(duì)于C,函數(shù)的對(duì)稱軸方程為,即,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,的圖象向左平移個(gè)單位得到,故D正確;故選:BD10.已知函數(shù)滿足,,則()A.B.對(duì)于任意,有三個(gè)零點(diǎn)C.對(duì)于任意,有兩個(gè)極值點(diǎn)D.存在,使得點(diǎn)為曲線對(duì)稱中心【答案】AB【解析】對(duì)于A,由,,可得,即,故A正確;對(duì)于B,由A選項(xiàng)可得,則,則,當(dāng)時(shí),令,則,令,則或,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,由,可得,而,所以,又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在和都存在一個(gè)零點(diǎn),所以對(duì)于任意,有三個(gè)零點(diǎn),故B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,則,由,得恒成立,所以函數(shù)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)無極值點(diǎn),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,要使點(diǎn)為曲線對(duì)稱中心,則為定值,而,因?yàn)闉槎ㄖ?,所以,解得,所以不存在,使得點(diǎn)曲線對(duì)稱中心,故D錯(cuò)誤.11.曲線與直線交于不同的兩點(diǎn)、(),、分別為曲線在點(diǎn)、處的切線,、分別為直線、與直線的交點(diǎn),為直線與的交點(diǎn),則()A. B. C. D.點(diǎn)在直線上【答案】ABC【解析】曲線與直線交于不同的兩點(diǎn)、,,整理得解得或,且,,故A正確;令,且對(duì)稱軸,,,,故B正確;,則,:,即.令,得,即,同理可得,.,,,關(guān)于軸對(duì)稱,,故C正確;為直線與的交點(diǎn),聯(lián)立,整理得代入得:,即點(diǎn)在直線上,故D不正確.故選:ABC三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若且,則____________.【答案】【解析】由兩角和的正切公式可得,所以,由兩角和的余弦公式可得,解得.故答案為:.13.設(shè)為公比為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,成等差數(shù)列,則_________.【答案】【解析】由,,成等差數(shù)列,可得:.又因?yàn)闉楣葹榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和,所以,且,即,解得:.故答案為:.14.設(shè)、、、是、、、、、、、的一個(gè)排列,則滿足,,,的排列共有________個(gè);,則集合中所有元素的和為___________.【答案】①.②.【解析】因?yàn)椤?、、是、、、、、、、的一個(gè)排列,若滿足,,,,則與、與、與、與的大小關(guān)系是確定的,所以,滿足條件的排列方法種數(shù)為種;對(duì)于集合中的元素,不妨設(shè),,,,則為偶數(shù),根據(jù)題意可知,,,,,則,不妨取,此時(shí),取最小值,當(dāng)取最小值時(shí),最大,且的最小值為,則的最大值為,接下來驗(yàn)證可取內(nèi)的所有偶數(shù),對(duì)取特殊值進(jìn)行驗(yàn)證,列表如下:因此,集合的所有元素之和為.故答案為:;.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.中,角的對(duì)邊分別為已知.(1)求;(2)若,,求的面積.解:(1)由正弦定理可得,因?yàn)?,?所以,所以整理得,因?yàn)?,所?(2)因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,,又因?yàn)?,,所以,又,所?16.如圖,斜三棱柱中,,點(diǎn)在底面的射影恰好是的中點(diǎn),.(1)證明:;(2)將沿翻折至,使得點(diǎn)在平面上,求平面與平面所成角的余弦值.(1)證明:由已知平面,所以,因?yàn)?,所以,又,平面,所以平面,所以因?yàn)椋云叫兴倪呅螢榱庑?,所以又,平面,所以平面,所以?)解:因?yàn)?,由?)平面,所以平面,所以,由已知,直線、和均在平面內(nèi),所以、、三點(diǎn)共線,因?yàn)?,所以為的中點(diǎn)取中點(diǎn),連接,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以所以面,所以,,且平面分別以直線、、為軸、軸、如圖所示空間平面直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,所以,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,所以,令,可得平面的一個(gè)法向量為;設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,所以,令,可得平面的一個(gè)法向量為;因?yàn)樗云矫媾c平面所成角的余弦值為.17.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明:;(2)若存在極大值,且極大值大于0,求的取值范圍.(1)證明:時(shí),,,時(shí),;時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以.(2)解:,時(shí),,在上單調(diào)遞增,無極值;時(shí),時(shí),;時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以的極大值為,令,則,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,由已知,所以,解得,綜上,.18.某籃球夏令營(yíng)舉行超遠(yuǎn)距離投籃闖關(guān)游戲,游戲規(guī)則如下:夏令營(yíng)成員組隊(duì)參加游戲,每隊(duì)由三名隊(duì)員組成.三名隊(duì)員排好出場(chǎng)順序后,依次出場(chǎng)投籃,且每名隊(duì)員只投一次.如果一名隊(duì)員投中,則游戲停止;如果這
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