第10講對應(yīng)計數(shù)（教師版）

第10講對應(yīng)計數(shù)第10講對應(yīng)計數(shù)知識點知識點對應(yīng)計數(shù)（五下）

課堂例題課堂例題插板法1、把20個蘋果分給3個小朋友，每個小朋友至少分1個，共有多少種分蘋果的方法？如果可以有小朋友沒有分到蘋果，共有多少種分法？【答案】

171種；231種【解析】

用“插板法”即可解決．20個蘋果，共有19個空隙，分給個小朋友需要塊隔板，將2塊隔板插入19個空隙中的某兩個中，就是從19個空隙中挑出兩個用來插板子，方法有；第二問同樣用插板法，仍然是20個蘋果和2塊隔板．但此時隔板不一定要放在19個空隙中，也可以放在所有蘋果的最左端或者最右端，而且它們也不一定插入兩個不同的空隙，插入同一個空隙也是可以的．因此，我們只要把20個蘋果和2塊隔板隨意排成一行即可．這個對象排成一行會占22個位置，從這22個位置中挑出2個來放隔板，剩余的20個位置自然就是放蘋果，因此共有種不同的方法．2、要把20個相同的蘋果分給小高、墨莫和卡莉婭，要求小高至少分到2個，墨莫至少分到3個，卡莉婭至少分到4個，一共有多少種不同的分法？【答案】

78【解析】

先滿足小高分到2個，墨莫分到3個，卡莉婭分到4個，則還剩個．剩下的11個蘋果可以任意分，所以為可為空的插板法．分給3個人需要2個隔板，再加上11個蘋果，共13個位置，選2個放插板，所以共種不同的方法．3、某班40名學(xué)生參加了一項關(guān)于“超市是否應(yīng)該提供免費塑料袋”的調(diào)查，每人均在“應(yīng)該提供”、“不應(yīng)該提供”和“無所謂”三個選項中做出了選擇．請問：三個選項的統(tǒng)計數(shù)字共有__________種不同的可能．【答案】

861種【解析】

本題相當(dāng)于把40個蘋果放入3個盤子里，每個盤子都允許為空．因此共有40個蘋果和2塊隔板．方法數(shù)等于．對應(yīng)法解計數(shù)4、在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個如圖所示的由4個單位小正方形組成的“L”型？【答案】

336個【解析】

采用對應(yīng)計數(shù)法，一個的長方形格子中包含4個“L”形，在的方格表中，包含個的長方形格子，共可數(shù)出個“L”形．5、下圖中有一個從A到B的公路網(wǎng)絡(luò)，一輛汽車從A行駛到B，可以選擇的最短路線一共有________條？AAB【答案】

56條【解析】

根據(jù)題目條件，要選擇最短的路線，只能往上走或往右走．采用標(biāo)數(shù)法，頂點上標(biāo)的數(shù)字表示從A點到該頂點的走法，如下圖所示：111AR2131QBPNM首先，到M點和N點，當(dāng)然都只有1種走法，其中到Q點也只有1種走法．因為到P點的前一步，要么是從M點過來，要么是從N點過來，這兩種情況之間是分類關(guān)系，所以到P點的走法共有種．同理，到R點的走法共有種．按這樣的方法，依次把每個點都標(biāo)上數(shù)，如下圖所示：1111111AR2345613610152114102035561QBPNM最后，B頂點標(biāo)記為56，即有56種不同的走法．6、（1）一只青蛙沿著一條直線跳躍4次后回到起點．如果它每一次跳躍的長度都是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？（2）如果這只青蛙在一個方格邊長為1分米的方格紙上沿格線跳躍4次后回到起點，每次跳躍的長度仍是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？【答案】

（1）6種（2）36種【解析】

（1）青蛙要能夠回到起點，必須向左跳兩次，向右跳兩次．例如（左，左，右，右），（左，右，右，左）等．不難看出，只要從4步中挑出2步來向左，另外兩步自然向右，所以只要確定哪兩步是向左跳，就確定了哪兩步是向右跳．因此跳躍的方法數(shù)為種；11234（2）現(xiàn)在青蛙需要朝四個方向跳，我們記四個方向為1、2、3、4（如圖所示）．如果想要跳回原地，必須保證四步之內(nèi)1和2一樣多，3和4一樣多．于是可以分為兩類情形：第一類，1、2、3、4各一個，共有種方法；第二類，只有1、2或者只有3、4，共有種方法．兩者相加共36種．7、常昊與古力兩人進行七番棋冠軍爭霸賽，誰先勝4局即獲得比賽的勝利．請問：比賽過程一共有__________種不同的方式．【答案】

70種【解析】

由對稱性，只需求出常昊獲勝的比賽過程有多少種，再乘以2即可．比賽最多進行7場，其中常昊一定勝4場，而且比賽一定是在常昊獲得第4場勝利時結(jié)束的，因此常昊獲勝的那4場比賽的編號就決定了整個比賽流程．若兩人只比賽4局，則只有1種方式；若兩人比賽了5局，由于最后一局是常昊勝，則常昊在前面4局中勝了3局，有種方法；若兩人比賽了6局，由于最后一局是常昊勝，則常昊在前面5局中勝了3局，有種方法；同理，若兩人比賽了7局，則共有種方法．因此常昊勝的情況共有種方法．所以比賽過程共有70種不同方法．8、海淀大街上一共有18盞路燈，區(qū)政府為了節(jié)約用電，打算熄滅其中的7盞．但為了行路安全，任意相鄰的兩盞燈不能同時被熄滅，請問：一共有多少種熄燈方案？【答案】

792種【解析】

本題從題面上看，是要從18盞燈中選出7盞來熄滅．但實際解決的時候，需要換一個角度：如何把滅掉的7盞燈，插入另外11盞亮著的燈之間．如下圖所示，在11盞亮燈之間插入熄滅的燈時，每個空隙最多插1盞，否則滅燈就相鄰了，因此必須挑7個空隙，每個空隙插一盞，而可供插入的空隙有12個（兩端也可），因此答案為．9、含有兩個1和三個2的五位數(shù)有多少個？【答案】

10【解析】

五個數(shù)字占五個位置，從中選2個位置放1，剩余位置放2即可．所以共個．10、一次射擊比賽中，7個泥制的靶子掛成3列（如圖所示）．一位射手按下列規(guī)則去擊碎靶子：先挑選一列，然后擊碎這列中尚未被擊碎的靶子中最下面的一個．若每次都遵循這一原則，則擊碎全部7個靶子共有多少種不同的順序？【答案】

210種【解析】

由題目條件可知，每一列的靶子順序是確定的，或者說在排列的時候是不計順序的．一共射擊7次，我們選其中的3次，射第一列的靶子，有種方法．剩下4次，選其中的2次，射第二列的靶子，有種方法．剩下的2次，射第三列的靶子，有種方法．擊碎全部7個靶子共有種不同的方法．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、龜丞相把7個頂級烏龜殼分給4只小烏龜．如果每只小烏龜至少分一個，共有多少種分法？如果可以有的小烏龜沒有分到烏龜殼，共有多少種方法？【答案】

20，120【解析】

不可為空插板法，7個烏龜殼有6個空隙，分給4只小烏龜，需要3個隔板．所以共種分法．可為空的插板法，分給4只小烏龜需要3個隔板，再加上7個烏龜殼，共需要10個位置．10個位置中選3個放插板，所以共種方法．2、8名同學(xué)做同一道單選題，它有A、B、C、D四個選項，每個同學(xué)都選了其中一個選項．老師為了調(diào)查同學(xué)們的做題情況，把選擇各個選項的人數(shù)都做了統(tǒng)計，則有多少種可能的統(tǒng)計結(jié)果？【答案】

165【解析】

可為空的插板法，分給4個選項需要3個隔板，再加上8名同學(xué)，共需要11個位置．11個位置中選3個放插板，所以共種方法．3、在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個如下圖所示的由3個單位小正方形組成的圖形？【答案】

100【解析】

每個的長方形中可以數(shù)出4個如右圖所示的圖形．而的方格棋盤中，可以數(shù)出25個的正方形．所以在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出個如下圖所示的由3個單位小正方形組成的圖形．4、一只青蛙沿著一條直線跳躍6次后回到起點．如果它每一次跳躍的長度都是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？【答案】

20【解析】

青蛙要想跳躍6次后回到原點，則必須左右跳的次數(shù)相等，各為3次，所以有種可能的跳法．課后作業(yè)課后作業(yè)1、計算：_________．【答案】

22【解析】

．2、下圖中有一個從A到B的公路網(wǎng)絡(luò)，一輛汽車從A行駛到B，可以選擇的最短路線一共有________條？AABA．56B．54C．50D．40【答案】

A

【解析】

根據(jù)題目條件，要選擇最短的路線，只能往上走或往右走．采用標(biāo)數(shù)法，頂點上標(biāo)的數(shù)字表示從A點到該頂點的走法，如下圖所示：111AR2131QBPNM首先，到M點和N點，當(dāng)然都只有1種走法，其中到Q點也只有1種走法．因為到P點的前一步，要么是從M點過來，要么是從N點過來，這兩種情況之間是分類關(guān)系，所以到P點的走法共有種．同理，到R點的走法共有種．按這樣的方法，依次把每個點都標(biāo)上數(shù)，如下圖所示：1111111AR2345613610152114102035561QBPNM最后，B頂點標(biāo)記為56，即有56種不同的走法．選A．3、阿呆玩PSP格斗游戲，游戲采用的是五局三勝制（阿呆VS電腦），誰先勝三場誰就獲得勝利．如果最后阿呆獲勝，那么一共有_______種可能的比賽過程．（只考慮每場比賽的勝負）【答案】

10【解析】

最后阿呆獲勝，則說明阿呆勝了三場，所以五場中選三場作為阿呆勝利場次即可，則有種可能的比賽過程．4、在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個如下圖所示的由3個單位小正方形組成的圖形？【答案】

36【解析】

每個的正方形中可以數(shù)出4個如右圖所示的圖形．而的方格棋盤中，可以數(shù)出9個的正方形．所以在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出個如下圖所示的由3個單位小正方形組成的圖形．5、5枚相同樣式的高思獎?wù)骂C發(fā)給3名學(xué)生，每個學(xué)生至少一枚，則有__________種頒獎方式．【答案】

6種【解析】

采用插板法，5個獎?wù)?，共?個空隙，分給3個學(xué)生需要塊隔板，將2塊隔板插入4個空隙中的某兩個中，就是從4個空隙中挑出兩個用來插板子，方法有種，共有6種頒獎方式．6、一部電視連續(xù)劇共8集，電視臺要在周一到周四這4天內(nèi)按順序播完，其中可以有若干天不播，共有__________種安排播出的方法．【答案】

165種【解析】

采用插板法，共有種不同的播出方法．7、現(xiàn)在有12道競賽題，卡莉婭要在今天、明天、后天這三天內(nèi)按順序做完，但每一天可以做很多道題也可以一道不做．共有_______種安排做題的方案．【答案】

91【解析】

可為空的插板法．要想三天做完，則需要2個插板．加上12道題，共14個位置，選2個放隔板，共種安排做題的方案．8、在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出_______個如圖所示的由5個單位小正方形組成的“凹”字形．【答案】

80【解析】

每個的方格內(nèi)都有2個“凹”字型，而的方格內(nèi)有40個的方