高二上學期期中復習十大題型歸納（基礎篇）-1

高二上學期期中復習第二章十大題型歸納（基礎篇）【人教A版（2019）】題型1題型1求直線的傾斜角與斜率1．（2023秋·山西·高二校聯考階段練習）已知直線經過A3,7，B2,8兩點，則該直線的傾斜角為（A．30° B．45° C．135° D．150°【解題思路】利用兩點間的斜率公式可求出其斜率為?1，再由傾斜角與斜率的關即可得出結果.【解答過程】易知A,B兩點間的斜率kAB設直線傾斜角為α,α∈0,π，由斜率與傾斜角之間的關系可得故該直線的傾斜角為135°.故選：C.2．（2023秋·高二課時練習）直線l過點A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍是（

）A．0,2 B．0,1 C．0,12 【解題思路】找出直線l在l1、l2的位置的斜率，進而得出直線【解答過程】如圖所示，當直線l在l1的位置時，k=tan0°=0；當直線l在l2的位置時，k=2?0

故選：A.3．（2023·全國·高二課堂例題）已知平面直角坐標系中的四條直線l1,l2,

【解題思路】根據直線的斜率與傾斜角的關系，結合正切函數的單調性，即可求解.【解答過程】由題意，結合直線l1,l因為ki又因為正切函數在0,π2遞增且函數值大于0，在所以k34．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知A(3,2)，B(?4,1)，C(0,?1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．

【解題思路】通過兩點求斜率的公式求得斜率，進而判斷出傾斜角是銳角還是鈍角.【解答過程】直線AB的斜率kAB=1?2?4?3=直線CA的斜率kCA由kAB>0>及kCA>0可知，直線由kBC<0可知，直線BC題型2題型2直線方程的求解1．（2023秋·福建寧德·高二考階段練習）過點A1,4的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

A．x?y+3=0 B．x+y?5=0C．4x?y=0或x+y?5=0 D．4x?y=0或x?y+3=0【解題思路】可以分截距都為零和截距不為零兩種情況進行考慮，截距為零，直線過原點，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，設出方程求解即可；也可以設出方程，求出截距，進行計算即可.【解答過程】解法一

當直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為y=4x，即4x?y=0；當直線不過原點時，設直線方程為xa因為直線過點A1,4，所以1解得a=?3，此時直線方程為x?y+3=0.故選：D解法二

易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意.設直線方程為y?4=kx?1則x=0時，y=4?k，y=0時，x=1?4由題意知1?4解得k=4或k=1，即直線方程為y=4x或x?y+3=0.故選：D2．（2023秋·高二課時練習）過點1,6，且垂直于直線x?2y=0的直線方程是（

）A．2x+y?8=0 B．2x?y?8=0C．2x+y+8=0 D．2x?y+8=0【解題思路】根據垂直求出直線斜率，再利用點斜式求得正確答案.【解答過程】根據垂直關系得所求直線的斜率為?2，又過點1,6，所以所求直線方程為y?6=?2x?1，即2x+y?8=0故選：A.3．（2023秋·高二課時練習）寫出滿足下列條件的直線的點斜式方程：(1)經過點A?2,3(2)經過點B3,0，傾斜角是π(3)經過點C?4,?2，傾斜角是2【解題思路】（1）直接將點的坐標和斜率代入點斜式方程即可得出結果；（2）利用傾斜角計算出直線斜率，再代入點斜式方程即可；（3）利用傾斜角是2π3可得直線斜率為【解答過程】（1）由題意可知，將A?2,3和斜率3直接代入直線點斜式方程y?直線的點斜式方程為y?3=3x+2（2）由傾斜角是π6可得直線斜率k=將B3,0代入點斜式方程即為（3）由傾斜角是2π3可得直線斜率將C?4,?2代入點斜式方程即為y+2=?4．（2023秋·遼寧丹東·高二?？茧A段練習）如圖，已知三角形的三個頂點為A(2,4)，B(1,?2)，C(?2,3)，求：

(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上的高AD所在直線的方程.【解題思路】（1）由兩點式求BC所在直線的方程；（2）由垂直關系得斜率，點斜式求AD所在直線的方程.【解答過程】（1）因為B(1,?2)，C(?2,3)，所以直線BC的方程為y+23+2化簡得5x+3y+1=0；（2）因為AD⊥BC，kBC所以kAD根據點斜式，得到直線AD的方程為y?4=35(x?2)題型3題型3直線的交點問題1．（2023秋·高二課時練習）已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my?1=0，相交于點Pm,?1A．7，1 B．1，7C．?7,?1 D．?1,?7【解題思路】將點Pm,?1分別代入兩直線方程即可解得m=1，n=7【解答過程】將點Pm,?1代入直線l2:2x+my?1=0的方程可得2m?m?1=0將Pm,?1代入直線l1:mx+8y+n=0的方程可得m故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習）若直線l:y=kx?3與直線2x+3y?6=0的交點位于第一象限，則直線lA．π6,πC．π3,π【解題思路】法一：聯立直線方程求交點，根據所在象限求斜率k范圍，進而確定傾斜角范圍；法二：確定直線2x+3y?6=0位于第一象限部分的端點，結合直線l與其交點在第一象限，數形結合確定傾斜角范圍.【解答過程】法一：聯立兩直線方程，得y=kx?32x+3y?6=0，解得所以兩直線的交點坐標為(3因為兩直線的交點在第一象限，所以33+62+3k設直線l的傾斜角為θ，則tanθ>33，又θ∈[0,法二：由題意，直線l過定點P(0,?3設直線2x+3y?6=0與x軸、y軸的交點分別為B(3,0),A(0,2).如圖，當直線l在陰影部分（不含邊界）運動時，兩直線的交點在第一象限，易知kPB

∴l(xiāng)PB的傾斜角為π6，lPA∴直線l的傾斜角的取值范圍是(π故選：D.3．（2023·全國·高二課堂例題）判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出交點的坐標．(1)l1(2)l1【解題思路】（1）將直線化成斜截式，比較斜率即可得到答案；（2）聯立直線得到方程組，解出即可.【解答過程】（1）將l1與l2的方程分別化為斜截式可知因此l1與l（2）解方程組x?2y+1=0x+2y+5=0可得x=?3,y=?1．因此l1與l2相交，而且交點的坐標為4．（2023·全國·高二課堂例題）判斷下列各組直線的位置關系，如果相交，求出交點的坐標．(1)l1:5x+4y?2=0，(2)l1:2x?6y+3=0，(3)l1:x+y+2=0，【解題思路】分別聯立方程組的，解方程組即可判斷直線的位置關系.【解答過程】（1）解方程組5x+4y?2=02x+y+2=0，得x=?所以l1與l2相交，且交點坐標為（2）聯立直線l1與l2的方程得方程組因為②×6整理得2x?6y+3=0所以方程組有無數組解，所以l1與l（3）聯立直線l1與l2由①×2?②得所以l1與l2無公共點，即題型4題型4距離公式的應用1．（2023·全國·高二課堂例題）已知點A3,3a+3與點Ba,3之間的距離為5，則實數a的值為（A．?1 B．85 C．?1或85 【解題思路】根據平面上兩點間的距離公式，列出方程，即可求解.【解答過程】因為點A3,3a+3與點B可得AB=整理得10a2?6a?16=0，即5a2故選：C.2．（2023秋·全國·高二隨堂練習）設直線l1:x+3y?7=0與直線l2:x?y+1=0的交點為P，則P到直線A．5 B．15 C．255【解題思路】先聯立直線方程求出點P坐標，再利用點到直線的距離公式計算即可.【解答過程】聯立兩直線方程x+3y?7=0x?y+1=0?x=1由點到直線的距離公式可得P到直線l:2x?y=1的距離為d=1×2?2?1故選：D.3．（2023秋·高二單元測試）已知直線l1:2x?3y+4=0,l2:ax?(1)求a的值；(2)求兩平行線l1與l【解題思路】（1）由兩直線平行，可得23=a（2）先將直線l2【解答過程】（1）因為直線l1:2x?3y+4=0,l2:ax?所以23=（2）由（1）知l2的方程為x?32所以l1與l2之間的距離為d=4．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二統考開學考試）在△ABC中，A3,4，B?1,3，(1)求BC邊的高線所在的直線的方程；(2)過點A的直線l與直線BC的交點為D，若B?C到l的距離之比為1：2，求D的坐標.【解題思路】（1）先求直線BC的斜率，根據垂直關系可得高線所在的直線斜率，進而可得結果；（2）先求直線BC的方程，分類討論直線l的斜率是否存在，利用點到直線的距離公式可得直線l的方程，進而可求交點坐標.【解答過程】（1）由題意可知：直線BC的斜率為kBC=3?0?1?5=?所以BC邊的高線所在的直線方程為y?4=2x?3，即2x?y?2=0（2）由（1）可知直線BC的方程為：y?0=?12x?5若直線l的斜率不存在，則直線l：x=3，可知B?C到l的距離分別為4,2，不合題意；若直線l的斜率存在，設為k，則直線l：y?4=kx?3，即kx?y+4?3k=0由題意可得：2?k?3+4?3kk2+1=當k=?15，則直線l：聯立方程x+2y?5=0x+5y?23=0，解得x=?7y=6，即當k=1，則直線l：x?y+1=0，聯立方程x+2y?5=0x?y+1=0，解得x=1y=2，即綜上所述：D的坐標為?7,6或1,2.題型5題型5圓的方程的求解1．（2023·全國·高二專題練習）已知半徑為3的圓C的圓心與點P?2,1關于直線x?y+1=0對稱，則圓C的標準方程為（

A．(x+1)2+(y?1)C．x2+(y+1)【解題思路】設出圓心坐標，根據對稱關系列出方程組，求出圓心坐標，結合半徑為3，即可求解.【解答過程】設圓心坐標Ca,b，由圓心C與點P關于直線y=x+1得到直線CP與y=x+1垂直，結合y=x+1的斜率為1，得直線CP的斜率為?1，所以1?b?2?a=?1，化簡得再由CP的中點在直線y=x+1上，1+b2=a?2聯立①②，可得a=0,b=?1，所以圓心C的坐標為0,?1，所以半徑為3的圓C的標準方程為x2故選：C.2．（2023·全國·高二專題練習）已知圓C的圓心在y軸上，半徑長為1，且過點(1,2)的圓C的標準方程為（

）A．x2+y?1C．x?22+y【解題思路】設圓心坐標C0,m，圓心到圓上一點距離等于半徑1得到m=2【解答過程】設圓心C0,m則半徑r=1+解得：m=2，所以圓C的標準方程為x2故選：D.3．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，設圓C的圓心C在直線l：2x?7y+8=0上，且A6,0，B1,5都是圓【解題思路】用待定系數法設圓的方程為(x?a)2+(y?b)2=r2【解答過程】設所求圓的方程為(x?a)2由題意得(6?a)解得a=3，b=2，r2因此所求圓的方程為(x?3)24．（2023·全國·高二課堂例題）根據下列條件，求圓的標準方程：(1)圓心在點C(?2,1)，且過點A(2,?2)；(2)過點(0,1)和點(2,1)，半徑為5.【解題思路】（1）利用兩點的距離公式及圓的標準方程即可求解；（2）利用待定系數法設出圓的方程，結合點在圓上即可求解.【解答過程】（1）所求圓的半徑r=|CA|=(2+2)又因為圓心為(?2,1)，所以所求圓的方程為(x+2)2（2）設圓心坐標為(a,b)，則圓的方程為(x?a)2因為(0,1),(2,1)是圓上的點，所以a2+(1?b)2=5,因此，所求圓的方程為(x?1)2+(y+1)題型6題型6直線與圓的位置關系的判定1．（2023·全國·高三專題練習）直線l:y=k(x?1)+1和圓x2+yA．相交 B．相切C．相離 D．無法確定【解題思路】根據直線與圓的位置關系列式判斷即可.【解答過程】由x2+y所以圓心為(0,1)，半徑為1，而直線l:y=k(x?1)+1可化為k(x?1)?y+1=0，所以圓心(0,1)到直線l:y=k(x?1)+1的距離為d=?k?1+1則直線l:y=k(x?1)+1和圓x2故選：A.2．（2023秋·四川成都·高三校考開學考試）直線x?3y=0繞原點按順時針方向旋轉30°后所得的直線l與圓x?22A．直線l過圓心 B．直線l與圓相交，但不過圓心C．直線l與圓相切 D．直線l與圓無公共點【解題思路】根據給定條件，求出直線l的方程，再根據圓心與直線l的關系判斷作答.【解答過程】直線x?3y=0過原點，斜率為33依題意，直線l的傾斜角為0°，斜率為0，而l過原點，因此直線l的方程為：y=0，而圓(x?2)2+y2=3的圓心為(2,0)，半徑為3所以直線l與圓相交，過圓心.故選：A.3．（2023·全國·高二隨堂練習）判斷下列各組直線l與圓C的位置關系：（1）l:x?y+1=0，

圓C:x（2）l:3x+4y+2=0，

圓C:x（3）l:x+y+3=0，

圓C:x【解題思路】計算圓心到直線的距離，與半徑比較大小，即可判斷；【解答過程】解：（1）圓C:x2+y2圓心到直線l:x?y+1=0的距離d=0?0+1（2）圓C:x2+y2?2x=0，即圓圓心到直線l:3x+4y+2=0的距離d=3+4×0+2（3）圓C:x2+y2+2y=0，即圓圓心到直線l:x+y+3=0的距離d=0?1+34．（2023秋·高二課時練習）當a為何值時，直線l:x+y?a=0與圓x2(1)相交；(2)相切；(3)相離．【解題思路】（1）由圓心到直線的距離小于半徑求解；（2）由圓心到直線的距離等于半徑求解；（3）由圓心到直線的距離大于半徑求解.【解答過程】（1）解：因為直線l:x+y?a=0與圓x2所以圓心到直線的距離小于半徑，即d=a解得?2<a<2；（2）因為直線l:x+y?a=0與圓x2所以圓心到直線的距離等于半徑，即d=a解得a=±2；（3）因為直線l:x+y?a=0與圓x2所以圓心到直線的距離大于半徑，即d=a解得a<?2或a>2.題型7題型7直線與部分圓的相交問題1．（2023春·四川成都·高二校考期中）直線y=x+b與曲線x=1?y2有且只有一個公共點，則bA．b=2 B．?1<b<1或C．?1<b≤1 D．?1<b≤1或b=?【解題思路】把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，進而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個交點，那么很容易從圖上看出其三個極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于0,?1和另一個點，及與曲線交于點0,1，分別求出b，則b的范圍可得．【解答過程】曲線x=1?y2有即x2+

如圖，A0,1、B1,0、當直線y=x+b經過點A時，1=0+b，求得b=1；當直線y=x+b經過點B、點C時，0=1+b，求得b=?1；當直線y=x+b和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得1=|b|2，求得b=?2故要求的實數b的范圍為?1<b≤1或b=?2故選：D．2．（2023秋·湖北武漢·高三校考階段練習）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?(y?1)2=x?1有兩個不同的交點，則實數A．43,2 B．43,4C．【解題思路】根據直線所過的定點，結合直線與圓的切線性質，利用數形結合思想進行求解即可.【解答過程】直線l:kx?y?2=0恒過定點(0,?2)，曲線C:1?(y?1)2=x?1表示以點(1,1)為圓心，半徑為1，且位于直線x=1當直線l經過點(1,0)時，l與曲線C有兩個不同的交點，此時k=2，直線記為l1當l與半圓相切時，由|k?3|k2+1=1，得分析可知當43<k≤2時，l與曲線故選：A．3．（2023秋·高二課時練習）已知直線y=x+m和曲線y=1?x2【解題思路】易得曲線y=1?x2表示圓x2+【解答過程】曲線y=1?x2表示圓x2+當直線y=x+m與半圓相切時，m>0，此時m1+1=1，解得m=2當直線y=x+m過點?1,0時，m=1，由圖可知，m∈1,4．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知曲線C:y=1+4?x2(1)試探究曲線C的形狀；(2)若直線l與曲線C有兩個公共點，求k的取值范圍．【解題思路】（1）先求出x,y的取值范圍，再對y=1+4?（2）由題意可得直線l恒過定點A(2,4)，然后畫出圖形，結合圖形求解即可.【解答過程】（1）由4?x2≥0，得?2≤x≤2由y=1+4?x2，得x2+所以曲線C是以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示．（2）直線l:y=k(x?2)+4恒過定點A(2,4)，當直線l與半圓相切，D為切點時，圓心到直線l的距離d=r，所以3?2kk2+1當直線l過點B(?2,1)時，直線l的斜率k=4?1則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍為512題型8題型8圓與圓的位置關系的判定及應用1．（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？奸_學考試）已知圓C1的半徑為3，圓C2的半徑為7，若兩圓相交，則兩圓的圓心距可能是（A．0 B．4 C．8 D．12【解題思路】根據兩圓相交圓心距R?r<d<R+r驗證各選項即可.【解答過程】因為兩圓相交，所以兩圓的圓心距R?r<d<R+r即4<d<10，僅有C滿足，故選：C.2．（2023春·四川瀘州·高二?？茧A段練習）已知圓C1:x2+y2=1，圓A．相離 B．相交 C．內切 D．外切【解題思路】利用圓心距與兩圓半徑的關系即可判斷.【解答過程】圓C2:x圓心坐標為(3,4)，半徑r2又因為圓C1:x2+兩圓的圓心距d=(0?3)又因為r2故選：B.3．（2023·全國·高二課堂例題）分別判斷下列兩個圓的位置關系：(1)C1(2)C1【解題思路】（1）根據兩圓圓心之間的距離與兩半徑和與差的關系即可確定兩圓的位置關系；（2）先將兩圓的方程化為標準方程，再根據兩圓圓心之間的距離與兩半徑和與差的關系即可確定兩圓的位置關系．【解答過程】（1）由方程可知圓C1的圓心為(1,0)，半徑r1=2；圓C2的圓心為因此兩圓的圓心距d=(2?1)又因為2?2<2（2）將兩圓的方程化為標準方程，分別為x2+(y?1)由此可知圓C1的圓心為(0,1)，半徑r1=1；圓C2的圓心為因此兩圓的圓心距d=(0?又因為3?1=2，所以r24．（2023秋·高二課時練習）已知圓C1:x（1）當m=1時，判斷圓C1和圓C（2）是否存在實數m，使得圓C1和圓C【解題思路】（1）由題設寫出圓C1、C2的圓心坐標及半徑r1,r2，并求出圓心距（2）假設存在實數m，根據兩圓內含關系列不等式并求解，即可知參數m的存在性.【解答過程】（1）當m=1時，圓C1的標準方程為(x?1)2+(y+2)2圓C2的方程為(x+1)2+y2∴兩圓的圓心距d=(1+1)2+∴r1?r2<d<（2）不存在．理由如下：圓C1的方程可化為(x?m)2+(y+2)2=9，則C1(m,?2)，半徑假設存在實數m，使得圓C1和圓C2內含，則圓心距d=(m+1)故不存在實數m，使得圓C1和圓C題型9題型9圓系方程及其應用1．（2023秋·全國·高二專題練習）過點M(2,?2)以及圓x2+y2?5x=0A．x2+yC．x2+y【解題思路】根據過兩圓交點的圓系方程可設所求圓的方程為x2+y2?5x+λ【解答過程】設所求的圓的方程為x2把點M(2,?2)代入可得,4+4?5×2+λ4+4?2解得λ=13,所以所求圓的方程為故選:A.2．（2023·全國·高三對口高考）圓x2+y2?2x?1=0A．(x+3)2+(y?2)C．(x+3)2+(y?2)【解題思路】根據圓的方程可得已知圓的圓心坐標和半徑；求得圓心關于直線的對稱點坐標，即為所求圓的圓心，又半徑不變，從而可得圓的方程.【解答過程】由圓的方程可知圓心坐標為：1,0，半徑為：2，設圓心關于直線2x?y+3=0的對稱點為x,y，則：y?0x?1=?122×∴所求圓的方程為：x+32故選：C.3．（2023秋·高二單元測試）已知圓C1:x(1)求圓C1與圓C(2)求過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程.【解題思路】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心C1（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為x2+y2?4x+2y+λx2+【解答過程】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即x2+y所以圓C1的圓心0,1到直線x?y?1=0的距離為d=則AB22=所以公共弦長為23（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為x2則x2由圓心21+λ,?1?λ1+λ在直線2x+4y=1上，則所求圓的方程為x2+y解法二：由（1）得y=x?1，代入圓C2化簡可得2x2?4x?1=0當x=2+62時，y=62設所求圓的圓心坐標為a,b，則a?2+62所以r2所以過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程為x?34．（2023·全國·高二隨堂練習）求圓心在直線x?y?4=0上，并且經過圓x2+y【解題思路】設兩圓交點系方程為x2+y【解答過程】設經過兩圓交點的圓的方程為x2+y2+6x?4+λ(x2所以圓的方程為x2故所求圓方程為：x2題型10題型10兩圓的公共弦問題1．（2023秋·內蒙古包頭·高二統考期末）已知圓O:x2+y2+2y=2與圓O1A．210 B．10 C．25 【解題思路】先根據兩圓相交求出公共弦所在直線方程，再根