專題09一線三垂直模型（K字型）

專題09一線三垂直模型（K字型）模型一、一線三垂直模型（全等三角形）如圖所示，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二、一線三垂直模型（相似三角形）如圖，∠B=∠C=∠APE推出△ABP∽△PCD（一線三等角）例1．（2022·四川德陽·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在BD的上方作正方形BDEF，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，BD的長為（

）A． B．4 C．1 D．8－【答案】A【詳解】過E點(diǎn)作EM⊥AC于M點(diǎn)，如圖，在矩形BDEF中，DE=BD，∠EDB=90°，∵∠C=90°，∴在△BCD中，∠BDC+∠CBD=90°，∵∠EDB=90°，∴∠BDC+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠CBD，∵EM⊥AC，∴∠DME=90°，∴∠DME=90°=∠C，∵DE=BD，∴△CDB≌△MED，∴BC=MD，ME=CD，∵BC=4，AC=8，∴MD=4，∴AM=ACDCMD=8ME4=4ME，∴在Rt△AME中，，∴，整理得：，∴，∴當(dāng)ME=2時(shí)，AE取的最小值，∵M(jìn)E=2，∴DC=ME=2，∴在Rt△BCD中，，故選：A．例2．（2022·四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D為AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在BD的上方作正方形BDEF，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，BD的長為_______．【答案】【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，且點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，最短，此時(shí)是等腰直角三角形，則故答案為：【變式訓(xùn)練1】（2020·四川巴中·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，B在y軸正半軸上，且C（4，﹣4），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____．【答案】（0，8）【分析】過C作CD⊥x軸于D，判定△ABO≌△CAD，即可得到AO=CD，BO=AD，再根據(jù)OD=4=CD，可得AO=4，進(jìn)而得出AD=BO=8，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】如圖，過C作CD⊥x軸于D，則∠ADC=∠BOA=90°，如圖所示：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABO+∠BAO=90°=∠CAD+∠BAO，∴∠ABO=∠CAD，∴△ABO≌△CAD，∴AO=CD，BO=AD，∵C（4，﹣4），∴OD=4=CD，∴AO=4，∴AD=4+4=8，∴BO=8，∴B（0，8），故答案為：（0，8）.【變式訓(xùn)練2】（2022·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，連接PA，PB，若的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，取位于A點(diǎn)下方的點(diǎn)P，將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接BC，點(diǎn)M是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，連接MB，若，求滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)（1，6），(2)或（3，2）(3)（2，3）或（6，1）（1）解：將點(diǎn)代入，得，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A代入得，；反比例函數(shù)；（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作PM//y軸交直線AB于點(diǎn)M，則，，，解得，，（不合題意，舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方時(shí)，如圖，作的外接矩形PEFG，，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；，BE＝，F(xiàn)B＝2，AF＝1，，PG＝，，，，，的面積為4，，解得，（不合題意，舍去），點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（3，2）（3）解：如圖，過點(diǎn)P作RS//x軸，過點(diǎn)C，點(diǎn)A作于R，于S，線段是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，，，，，，，，，點(diǎn)C到x軸的距離為4，點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為7，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，4），取BC的中點(diǎn)H，過點(diǎn)H作交PC于點(diǎn)N，作直線BN交雙曲線于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求．點(diǎn)的坐標(biāo)為（3．5，2），NC＝NB，，設(shè)直線PC的解析式為：，，解得，直線PC的解析式為：，把代入直線PC得，，點(diǎn)N的坐標(biāo)為設(shè)直線BN的解析式為：，，解得，直線BN的解析式為：，解方程組，得，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），（6，1）【變式訓(xùn)練3】（2022·四川·威遠(yuǎn)縣鳳翔中學(xué)二模）【問題背景】如圖1所示，在中，，，點(diǎn)D為直線上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)，將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié).【問題初探】如果點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)，通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點(diǎn)E作交直線于F，如圖2所示，通過證明______，可推證是_____三角形，從而求得______°.【繼續(xù)探究】如果點(diǎn)D在線段的延長線上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，求出的度數(shù).【拓展延伸】連接，當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，請直接寫出的最小值.圖1

圖2

圖3【答案】（1）△ADB，等腰直角，135°；（2）45°；（3）.【詳解】解：（1）問題初探：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得：∠ADE=90°，AD=DE，∴∠ADB+∠EDF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ADB+∠DAB=90°，∴∠DAB=∠EDF，∵EF⊥BC，∴∠ABC=∠DFE=90°，∴△ADB≌△DEF（AAS）；∴BD=EF，AB=DF，∴AB=DF=BC，∴BD+DC=DC+CF，∴BD=CF=EF，∴△CEF是等腰直角三角形；∴∠CEF=45°，∴∠DCE=∠CEF+∠CFE=45°+90°=135°；故答案為：△ADB，等腰直角，135°；（2）繼續(xù)探究：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥CD，∵∠ADE=∠ADB+∠GDE=90°，∠ADB+∠DAB=90°，∴∠GDE=∠DAB，∵∠ABD=∠DGE=90°，AD=DE，∴△ABD≌△DGE（AAS），∴BD=GE，AB=DG=BC，∴BD+BG=BG+GC，∴CG=BD=GE，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠DCE=45°；（3）拓展延伸：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)BE⊥CE時(shí)，BE的長度是最小值；則∠BEC=90°.由（2）可知，∠DCE=45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE=CE，∵，∴；∴BE的最小值為.課后訓(xùn)練1．（2022·四川·井研縣教育科學(xué)研究室一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別相交于點(diǎn)、點(diǎn)，以線段為邊作正方形，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵一次函數(shù)中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0＋3＝3，∴A（0，3），∴OA＝3；∵當(dāng)y＝0時(shí)，0＝，∴x＝?2，∴B（?2，0），∴OB＝2；過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠CBE＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，∴OE＝2＋3＝5，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)（x＜0）圖像上，∴k＝?5×2＝?10．故選：A．2．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，把邊長為3的正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE與BC交于點(diǎn)P，ED的延長線交AB于點(diǎn)Q，交OA的延長線于點(diǎn)M．若BQ：AQ＝3：1，則AM＝__________．【答案】【詳解】解：連接OQ，OP，∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，∴OA=OD，∠OAQ=∠ODQ=90°，在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，，∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），∴QA=DQ，同理可證：CP=DP，∵BQ：AQ=3：1，AB=3，∴BQ=，AQ=，設(shè)CP=x，則BP=3x，PQ=x+，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：(3x)2+()2=(x+)2，解得x=，∴BP=，∵∠AQM=∠BQP，∠BAM=∠B，∴△AQM∽△BQP，∴，∴，∴AM=．故答案為：．3．（2022·四川成都·九年級專題練習(xí)）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做幸運(yùn)三角形，這兩邊中較長邊稱為幸運(yùn)邊，這兩邊的夾角叫做幸運(yùn)角．如圖，是幸運(yùn)三角形，為幸運(yùn)邊，為幸運(yùn)角，，點(diǎn)B，C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．當(dāng)是直角三角形且時(shí)，則k的值為_______．【答案】【詳解】解：過作軸于，過作于，過作軸于，如圖，，，，，，設(shè)，則，，，的縱坐標(biāo)為，即，，，，，點(diǎn)、在在函數(shù)的圖象上，，解得：（舍去），，，故答案為．4．（2021·四川樂山·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，于點(diǎn)，連接．若直線與正半軸所夾的銳角為，那么當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值為________．【答案】【詳解】解：如圖，設(shè)直線y＝﹣2與y軸交于G，過A作AH⊥直線y＝﹣2于H，AF⊥y軸于F，∵BH∥x軸，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中，,，即=∵sinα隨BA的減小而增大，∴當(dāng)BA最小時(shí)sinα有最大值；即BH最小時(shí)，sinα有最大值，即BG最大時(shí)，sinα有最大值，∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，∵∴當(dāng)n時(shí)，BG最大值故答案為：．5．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）問題背景：（1）如圖①，已知中，，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E，易證：______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，請求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在中，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，請直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）BD；CE；證明見詳解；（2）DE=BD+CE；證明見詳解；（3）點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，即：，故答案為：BD；CE；（2）解：數(shù)量關(guān)系：，證明：在中，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∴；（3）解：如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，，∴，，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．6．（2021·四川達(dá)州·九年級期中）模型探究：（1）如圖1，在等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)．求證：；模型應(yīng)用：（2）已知直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至直線，如圖2，求直線的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖3，已知點(diǎn)、在直線上，且．若直線與軸的交點(diǎn)為，為中點(diǎn)．試判斷在軸上是否存在一點(diǎn)，使得是以為斜邊的等腰直角三角形．【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在這樣的點(diǎn)【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）設(shè)點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由（1）可知：，∴，，∵，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，∴點(diǎn)，∴，，∴，∴，設(shè)的解析式為，把、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，∴的解析式：；（3）不存在．理由：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，∴，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴點(diǎn)在的垂直平分線與軸的交點(diǎn)處，又∵，∴（與“垂線段最短”矛盾）∴假設(shè)不成立，即不存在這樣的點(diǎn)．7．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）【問題解決】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；【類比探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°<∠BAC<180°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），請求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的數(shù)量關(guān)系不變，理由見解析；（3）（﹣4，3）【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的數(shù)量關(guān)系不變，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一個(gè)外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，∴CN＝3，由（1）可知，△ACM≌△CBN，∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，∴OM＝OC+CM＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，3）．8．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與邊AC交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為__________；(2)連接EF，求∠FEC的正切值；(3)如圖2，將△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在邊OB上的點(diǎn)G處，求BG的長度．【答案】(1)(2，3)(2)(3)【解析】（1）解：∵OB=4，OA=3，∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（0，3）、（4，0）、（4，3），點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F（4，），將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y=并解得：k=6，故反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=，當(dāng)y=3時(shí)，x==2，故E(2，3)，故答案為：(2，3)；（2）解：∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)F在反比例函數(shù)上，∴F（4，），∴CF=BCBF=3=，∵E的縱坐標(biāo)為3，∴E（，3），∴CE=ACAE=4=在Rt△CEF中，tan∠EFC==；（3）解：如圖，由（2）知，CF=，CE=，=，過點(diǎn)E作EH⊥OB于H，∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，∴∠EGH+∠HEG=90°，由折疊知，EG=CE，F(xiàn)G=CF，∠EGF=∠C=90°，∴∠EGH+∠BGF=90°，∴∠HEG=∠BGF，∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EHG∽△GBF，∴，∴，∴BG=．9．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，證明見解析；（2），證明見解析；（3）．=【詳解】解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=DF，AF⊥DF．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，∴BH=CH，CJ=JE，∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ=AH，F(xiàn)H=JE=DJ，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF≌△FJD（SAS），∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；（2）如圖②中，結(jié)論：．理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=120°，∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，∴，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF；（3）如圖③中，結(jié)論：，理由：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)D作DJ⊥EC于J．∵AB=AC，∠BAC=α，∴BH=CH，，∵DC=DE，∠CDE=180°α，∴CJ=JE，，∵BF=FE，∴HJ=BF=EF，∴BH=FJ，HF=JE，∴，∴，∵∠AHF=∠FJD=90°，∴△AHF∽△FJD，∴，∠HAF=∠DFJ，∵∠FAH+∠AFH=90°，∴∠AFH+∠DFJ=90°，∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，∴，AF⊥DF．10．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）問題提出：（1）如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：（2）如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是．請問是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長度．若不存在，請說明理由．問題解決：（3）某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請問這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？（≈1.73）【答案】（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，BC＝AD＝6，∵EG∥AB，∴CD∥EG∥AB，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，故答案為：21；（2）存在，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，∵Q是BC的中點(diǎn)，∴CQ＝3，由折疊的性質(zhì)得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，當(dāng)點(diǎn)P、D′、C′三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，∴∠DPA+∠CPQ＝90°，∵∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠CPQ，∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，∴△ADP∽△PCQ，∴，即，解得：DP＝6或DP＝3；（3）如圖，過點(diǎn)C作MN∥AB，過點(diǎn)D作MN的垂線，交MN于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F，連接BD，如圖③所示：則BF＝EH＝5cm，∵DC⊥BC，∴∠ECD+∠BCF＝90°，∵BF⊥MN，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠CBF，又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，∴△DEC∽△CFB，∴，設(shè)DE＝x，則DH＝5﹣x，∵BF＝5，BC＝CD，∴，∴，，∴S四邊形ABCD＝S四邊形EDBF﹣S△CED﹣S△CFB+S△DAB當(dāng)x＝cm時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最小值（10+）cm2，∴最低造價(jià)為（10+）×50≈802.75（元），∴四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低約為802.75元．11．（2020·四川成都）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）如圖1，點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；（3）如圖2，連接，，過點(diǎn)作直線，點(diǎn)，分別為直線和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，，使．若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【詳解】（1）∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．∴，∴，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)．則DG//AK，∴△AEK∽△DEF，∴，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，將、代入則有：，解得，∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)x=1時(shí)，，即K（1，），∴．∵．∴設(shè)點(diǎn)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），∴．∴，當(dāng)時(shí)，有最大值．（3）∵，，．∴AC=，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=25=52=AB2，∴∠ACB=90°，∵過點(diǎn)作直線，直線的表達(dá)式為，∴直線的表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．①當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，如圖，∠BPQ=90°，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)Q作QM⊥PN于點(diǎn)M，∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，∵∠QPM+∠BPN=180°∠QPB=180°90°=90°，∴∠QPM=∠PBN，∴，∴，又∵，∴，∴，∵NB=t4，PN=，∴，∴QM=，PM=，∴MN=+，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得，解得：，t2=0（舍去），此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)．如圖，∠BPQ=90°，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)Q作QM⊥PN于點(diǎn)M，∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，∵∠QPM+∠BPN=180°∠QPB=180°90°=90°，∴∠QPM=∠PBN，∴，∴，又∵，∴，∴，∵NB=4t，PN=，∴，∴QM=，PM=，∴MN=+，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得，解得：，<0（舍去），此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．12．（2021·四川成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P