奧數(shù)拓展第八講數(shù)與形-數(shù)學五年級上冊人教版

奧數(shù)拓展第八講：數(shù)與形數(shù)學五年級上冊人教版一、選擇題1．……第5個點陣有（

）個點。A．16 B．18 C．212．在2022年元旦聯(lián)歡會上，五（1）班舉行了用火柴棒擺“金魚”比賽。按照下面的規(guī)律擺下去，擺8條“金魚”需要（

）根火柴棒。A．50 B．38 C．26 D．623．用黑白兩顏色的正六邊形地面磚按如右圖所示的規(guī)律拼成若干個圖案：像這樣繼續(xù)擺下去，擺第n幅圖案共用（

）個白色地面磚。A．6n B．4n－1 C．1＋4n D．2＋4n4．按照下面的規(guī)律擺圖形，第n幅圖需要小棒（

）根。A． B． C． D．5．擺一個三角形用3根小棒，增加1個三角形，多用2根小棒。擺a個三角形共用（

）根小棒。A．3＋2a B．2a＋1 C．1＋3a6．如下圖，淘氣用小棒擺圖形，他擺一個五邊形用了5根小棒，擺2個五邊形用了9根小棒……，照這樣擺下去，擺n個五邊形需要（

）根小棒。A．5n B．4n C．5n－1 D．4n＋1二、填空題7．…笑笑像這樣擺10個，需要()根小棒。8．如下表所示，用若干個相同的小正方體擺在一起，按照這樣的擺法，請完成下表。正方體個數(shù)1234…n（n＞3）圖形

……

露在外面小正方形的個數(shù)5913()…()9．觀察下面每個圖中圓的排列規(guī)律，再填空。1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝()＝()×()。10．先觀察下列圖形的規(guī)律，再填空。第8個圖形由（

）個小三角形組成的。11．如下圖是用棋子擺成的“上”字，如果照這樣的規(guī)律擺下去，擺第5個“上”字需要()枚棋子，擺第20個“上”需要()枚棋子，126枚棋子擺的是第()個“上”字。12．填一填。(1)觀察下面每個圖形中小正方形的排列規(guī)律，并填空。

1＋2＋1＝4＝2×2

1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝()＝()×()(2)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算1＋2＋3＋4＋…＋48＋49＋50＋49＋48＋…＋4＋3＋2＋1＝()。13．一列分數(shù)：、、、、、、…，按規(guī)律，是這列分數(shù)中的第()個。14．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖?！?jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（6）多出()個“樹枝”。三、解答題15．如果每個正方形的邊長均為3厘米，那么如下圖搭6層后圖形的周長是多少？如果搭20層，那么周長又是多少呢？16．餐桌中的規(guī)律?！?）根據(jù)擺放規(guī)律完成。桌子張數(shù)1234…7可坐人數(shù)（

）（

）（

）（

）…（

）（2）按照上面的擺放規(guī)律，28人聚餐，應擺放多少張桌子？17．用小棒按照下圖中的方式擺圖形。（1）擺1個八邊形需要多少根小棒？擺2個呢？擺3個呢？（2）照這樣擺下去，擺20個八邊形需要多少根小棒？（3）295根小棒可以擺多少個八邊形？18．按下圖中的方式擺放三角形積木，如果最下層放21塊，那么共需放幾層？19．淘氣和笑笑用小棒按下圖的順序擺八邊形。

（1）根據(jù)上圖填表。八邊形的數(shù)量12345…n小棒的數(shù)量81522（

）（

）…（

）（2）如果擺成7個八邊形，需要（

）根小棒。（3）當n＝20時，需要多少根小棒？用85根小棒能擺多少個八邊形？20．點陣中的規(guī)律。

第1個

第2個

第3個

第4個

第5個2×1

2×2

2×3

（

）

（

）（1）請畫出后面的圖形并填空。（2）想一想，第12個圖形一共有（

）個點。（3）是否存在某個圖形有62個點，若存在，求出是第幾個圖形；若不存在，請說明理由。

參考答案：1．B【分析】觀察可知，點陣有3行，下邊1行比上邊1行多1個點，第幾個點陣就從幾開始依次3個數(shù)相加，據(jù)此分析?！驹斀狻?＋6＋7＝18（個）第5個點陣有18個點。故答案為：B【點睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應的變化規(guī)律。2．A【分析】通過觀察，一個“金魚”用2＋6＝8（根）火柴棒，兩個“金魚”用2＋6＋6＝14（根）火柴棒，三個“金魚”用2＋6＋6＋6＝20（根）火柴棒，……以此類推，即可得解。【詳解】按照以上規(guī)律，擺n個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（2＋6n）；所以擺8條“金魚”需要火柴棒：2＋6×8＝2＋48＝50（根）擺8條“金魚”需要50根火柴棒。故答案為：A【點睛】認真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決此題的關鍵。3．D【分析】由圖可知，第一個圖案有6個白色地磚，第二個圖案有6＋4個白色地磚，第三個圖案有6＋4＋4個地磚，據(jù)此可以推斷每次只需要增加4個白色地磚，第n個圖案需要6＋4（n－1）個白色地磚?！驹斀狻?＋4（n－1）＝6＋4n－4＝4n＋2（個）擺第n幅圖案共用（4n＋2）個白色地磚故答案為：D【點睛】此題考查學生的歸納總結能力以及含有字母的式子的化簡。4．C【分析】觀察圖形，第1幅圖搭一個小正方形需要4根小棒，第2幅圖搭兩個小正方形需要（4＋3）根小棒，第3幅圖搭三個小正方形需要（4＋3×2）根小棒，每搭一個正方形，小棒數(shù)量比前一個多3根，依次類推，求出第n幅圖搭n個這樣的小正方形需要[4＋3×（n?1）]根小棒?！驹斀狻?＋3×（n?1）＝4＋3n－3×1＝4－3＋3n＝（3n＋1）根即第n幅圖需要小棒（3n＋1）根。故答案為：C【點睛】此題的解題關鍵是利用數(shù)與形的結合，通過觀察圖形，把圖形中變化的規(guī)律轉化成數(shù)字，多多練習，培養(yǎng)數(shù)感。5．B【分析】觀察圖形可知，擺1個三角形用3根小棒，3＝1＋1×2；擺2個三角形用5根小棒，5＝1＋2×2；擺3個三角形用7根小棒，7＝1＋3×2；擺4個三角形用9根小棒，9＝1＋4×2……，由此可得：小棒的根數(shù)＝1＋三角形的個數(shù)×2，據(jù)此解答?！驹斀狻啃“舻母鶖?shù)＝1＋三角形的個數(shù)×2，則擺a個三角形共用：（1＋2a）或（2a＋1）根小棒。故答案為：B【點睛】本題考查數(shù)形結合問題。通過觀察分析，發(fā)現(xiàn)小棒的根數(shù)和三角形的個數(shù)之間的關系是解題的關鍵。6．D【分析】看圖，每多擺一個五邊形，需要再加4根小棒。擺一個五邊形需要1＋4×1＝5（根）小棒，擺2個五邊形需要1＋4×2＝9（根）小棒，擺3個五邊形需要1＋4×3＝13（根）小棒，那么可以推測，擺n個五邊形需要（1＋4n）根小棒?！驹斀狻?＋4×n＝4n＋1所以，照這樣擺下去，擺n個五邊形需要（4n＋1）根小棒。故答案為：D【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，有一定觀察總結能力是解題的關鍵。7．31【分析】擺需要1＋3＝4（根）小棒；擺需要1＋3×2＝7（根）小棒；擺需要1＋3×3＝10（根）小棒；……由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：擺n個需要（1＋3n）根小棒。所以求擺10個需要的小棒根數(shù)，列式為1＋3×10?！驹斀狻?＋3×10＝1＋30＝31（根）所以擺10個需要31根小棒。【點睛】在運用數(shù)形結合的方法探究數(shù)學規(guī)律時，一定要把圖形和數(shù)一一對應。8．174n＋1【分析】觀察可知，1個小正方體露出5個小正方形，2個小正方體露出（5＋4）個小正方形，3個小正方體露出（5＋4×2）個小正方形……每增加1個小正方體就增加4個小正方形，那么n個小正方體露出[5＋4×（n－1）]個小正方形，最后求出n＝4時式子的值，據(jù)此解答?！驹斀狻縩個小正方體露出小正方形的數(shù)量：5＋4×（n－1）＝5＋4n－4＝4n＋5－4＝（4n＋1）個當n＝4時。4n＋1＝4×4＋1＝16＋1＝17（個）正方體個數(shù)1234…n（n＞3）圖形

……

露在外面小正方形的個數(shù)591317…4n＋1【點睛】本題主要考查數(shù)形結合思想的應用，找出小正方體的數(shù)量和露出小正方形的數(shù)量之間的關系是解答題目的關鍵。9．4977【分析】第一幅圖有1個圓，用1＝1×1表示；第二幅圖有4個圓，由第一幅圖加3個圓，用1＋3＝4＝2×2表示；第三幅圖9個圓，由第二幅圖加5個圓，用1＋3＋5＝9＝3×3表示……。由此可知，第n幅圖有（n×n）個圓。根據(jù)加數(shù)的個數(shù)，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是第7幅，有（7×7）個圓。【詳解】通過分析可得：第n幅圖有（n×n）個圓，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是第7幅，有（7×7）個圓。則1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49＝7×7?！军c睛】本題考查數(shù)形結合問題。結合圖形和算式，發(fā)現(xiàn)圖形的序數(shù)與圓的個數(shù)之間的關系是解題的關鍵。10．5；5；7；64【分析】觀察圖形可知，第一個圖中有1個三角形，可以寫成12；第二個圖形有1＋3＝4個三角形，可以寫成22；第三個圖形有1＋3＋5＝9個三角形，可以寫成32；第四個圖形中有1＋3＋5＋7＝16個三角形，可以寫成42…第n個圖形有n2個三角形，據(jù)此解答即可。【詳解】由分析可知：第3個圖形：1＋3＋5；第4個圖形：1＋3＋5＋7；第8個圖形：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82＝64（個）【點睛】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力。對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。11．228231【分析】第1個圖形中有6枚棋子；第2個圖形中有6＋4＝10枚棋子；第3個圖形中有6＋2×4＝14枚棋子；據(jù)此歸納出一般規(guī)律，解答即可?！驹斀狻康?個圖形中有6枚棋子；第2個圖形中有6＋4＝10枚棋子；第3個圖形中有6＋2×4＝14枚棋子；第4個圖形中有6＋3×4＝18枚棋子；第5個圖形中有6＋4×4＝22枚棋子；第n個圖形中有6＋（n－1）×4＝4n＋2；第20個圖形中有4×20＋2＝80＋2＝82（枚）4n＋2＝1264n＝124n＝31【點睛】考查圖形的規(guī)律性問題；判斷出變化的量及不變的量是解決本題的突破點。12．(1)1644(2)2500【分析】1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3由此可知，從1開始，連續(xù)自然數(shù)升序排列后再降序排列，它們的和是算式中最大自然數(shù)的平方，由此進行解答?！驹斀狻浚?）1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，最大的是4；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4（2）1＋2＋3＋4＋…＋48＋49＋50＋49＋48＋…＋4＋3＋2＋1中，最大的數(shù)是50；1＋2＋3＋4＋…＋48＋49＋50＋49＋48＋…＋4＋3＋2＋1＝2500【點睛】根據(jù)圖形和算式，找出它們的規(guī)律是解答本題的關鍵。13．28【分析】觀察數(shù)列可知，分母是2的分數(shù)有1個，分母是3的分數(shù)有2個，分母是4的分數(shù)有3個，發(fā)現(xiàn)分母是n的分數(shù)有（n－1）個，分子從1到n－1依次排列，據(jù)此解答即可。【詳解】由分析可知：分母是2的分數(shù)有1個，分母是3的分數(shù)有2個，分母是4的分數(shù)有3個，分母是5的分數(shù)有4個，分母是6的分數(shù)有5個，分母是7的分數(shù)有6個，分母是8的分數(shù)有7個；1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5）＝10＋10＋8＝20＋8＝28則按規(guī)律，是這列分數(shù)中的第28個?！军c睛】本題考查數(shù)列的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律是解題的關鍵。14．80【分析】由于圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，5＝2×2＋1；圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，10＝2×2×2＋2，即24－1＋23－3則圖（5）比圖（4）會多出：2×2×2×2＋2×1＝20個即25－1＋25－3；由此即可知道圖（7）比圖（6）多出：27－1＋27－3，據(jù)此即可求解。【詳解】由分析可知：圖（7）比圖（6）多出27－1＋27－3＝26＋24＝80（個）所以圖（7）比圖（6）多出80個樹枝?！军c睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，關鍵是找準它的變化規(guī)律是解題的關鍵。15．72厘米；240厘米【分析】通過平移的方法求周長，根據(jù)可知，1層的周長是由邊長為3厘米的正方形周長組成，2層的周長是由邊長為（3×2）厘米的正方形周長組成，3層的周長是由邊長為（3×3）厘米的正方形周長組成，……以此類推，n層的周長是由邊長為（3×n）厘米的正方形周長組成。根據(jù)正方形的周長公式，用3×n×4即可求出n層的周長，據(jù)此解答。【詳解】3×n×4＝12n（厘米）根據(jù)題意可知，n層的周長是12n厘米。當n＝6時，12×6＝72（厘米）當n＝20時，12×20＝240（厘米）答：搭6層后圖形的周長是72厘米；如果搭20層，那么周長是240厘米?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，關鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。16．（1）見詳解（2）12張【分析】（1）根據(jù)圖示，第一張桌子，有6個座位，第二張桌子，有8個座位，第三張桌子有10個座位，之后每增加一張桌子就增加2個座位，由此可得規(guī)律進行計算即可；（2）將28人代入上一問求出的規(guī)律，進行計算即可?！驹斀狻坑煞治隹傻茫海?）第一張桌子座位數(shù)：6個第二張桌子座位數(shù)：6＋（2－1）×2＝6＋1×2＝6＋2＝8（個）第三張桌子座位數(shù)：6＋（3－1）×2＝6＋2×2＝6＋4＝10（個）第四張桌子座位數(shù)：6＋（4－1）×2＝6＋3×2＝6＋6＝12（個）由此得出規(guī)律，桌子數(shù)量為：6＋（n－1）×2＝6＋2n－2＝2n＋4據(jù)此填表：桌子張數(shù)1234…7可坐人數(shù)681012…2n＋4（2）28人聚餐，所以需要28個座位，即：2n＋4＝282n＋4－4＝28－42n＝242n÷2＝24÷2n＝12答：應擺放12張桌子?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)座位個數(shù)的變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律去解決問題。17．（1）8根；15根；22根；（2）141根；（3）42個【分析】根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)：擺1個八邊形需要小棒：8根；擺2個八邊形需要小棒（8＋7）根；擺3個八邊形需要小棒（8＋7＋7）根；……擺n個八邊形需要小棒的根數(shù)是8＋7（n－1）。據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）8＋7＝15（根）15＋7＝22（根）答：擺1個八邊形需要小棒8根；擺2個八邊形需要小棒15根；擺3個八邊形需要小棒22根。（2）根據(jù)分析可知，擺n個八邊形需要小棒：8＋7（n－1）＝8＋7n－7＝（7n＋1）根當n＝20時，20×7＋1＝140＋1＝141（根）答：擺20個八邊形需要141根小棒。（3）7n＋1＝295解：7n＋1－1＝295－17n＝2947n÷7＝294÷7n＝42答：295根小棒可以擺42個八邊形?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，關鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。18．11層【分析】觀察題意可知，2層的最下層有（2＋1）個小三角形，3層的最下層有（3＋2）個三角形；4層的最下層有（4＋3）個小三角形……以此類推，n層的最下層小三角形個數(shù)是n＋（n－1）。據(jù)此解答?！驹斀狻縩＋（n－1）＝n＋n－1＝（2n－1）個根據(jù)分析可知，n層的最下層是（2n－1）個小三角形。2n－1＝21解：2n－1＋1＝21＋12n＝222n÷2＝22÷2n＝11答：共需放11層?！军c睛】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，關鍵根據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)這組圖形的規(guī)律，并運用規(guī)律做題。19．（1）見詳解（2）50（3）141根；12個【分析】（1）根據(jù)圖分析，擺一個八邊形用了8根小棒，擺兩個八邊形就多用了7根小棒，擺三個八邊形就多了（7×2）根小棒，由此找到規(guī)律，據(jù)此填表；（2）7個八邊形，就是n＝7，將其代入規(guī)律計算即可；（3）當n＝20時，將其代入規(guī)律計算即可；把85代入計算即可。【詳解】由分析可得：（1）1個八邊形小棒數(shù)量：8根2個八邊形小棒數(shù)量：8＋7＝15（根）3個八邊形小棒數(shù)量：8＋7×2＝8＋14＝22（根）……n個八邊形小棒數(shù)量：8＋7（n－1）＝8＋7n－7＝7n＋14個八邊形，即n＝4，代入7n＋1：7×4＋1＝28＋1＝29（根）5個八邊形，即n＝5，代入