第05講空間向量及其應(yīng)用分層精練

第05講空間向量及其應(yīng)用A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·湖南衡陽·高二?？计谀┤鐖D，在四面體中，是的中點，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】故選：B2．（2023春·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線，的方向向量分別為，，若，則等于（

）A．－2 B．2 C．－10 D．10【答案】C【詳解】因為，所以，，．故選：C3．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，若，則（

）A．2 B．18 C． D．【答案】B【詳解】因為，則存在實數(shù)使得，即，解得，所以，故選：B．4．（2023春·高二課時練習(xí)）在平行六面體中，點在上，且，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】如圖，,所以，所以，故選:C.5．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義兩個向量與的向量積是一個向量，它的模，它的方向與和同時垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（

）

A． B．4 C． D．【答案】A【詳解】，，設(shè)底面△ABD的中心為O，連接CO，AO，則OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD平面ABD，故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，，，在中，，則，又的方向與相同，所以．故選：A．6．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)校考期末）設(shè)空間兩個單位向量與向量的夾角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，則，即，又，即，且，所以.故選：C7．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點M在正方體的棱上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【詳解】如圖，是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，即正方體的一條體對角線，由正方體的特征可得其外接球半徑為,設(shè)外接球球心為O，則,由于點M在正方體的棱上運動,故的最小值為球心O和棱的中點連線的長，即為正方體面對角線的一半，為，所以的最小值為，故選：C二、多選題8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間中三點，，，則（

）A．向量與互相垂直B．與方向相反的單位向量的坐標(biāo)是C．與夾角的余弦值是D．在上的投影向量的模為【答案】ABC【詳解】由已知可得，，.因為，所以與互相垂直，故A正確；，所以與方向相反的單位向量的坐標(biāo)是，故B正確；，，，所以，故C正確；在上的投影向量的模為，故D錯誤.故選：ABC9．（2023春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在自然界中，金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)．如圖1，這是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個碳原子都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認為4個碳原子分布在一個正四面體的四個頂點處，而中間的那個碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面體ABCD的棱長為4，則（

）

A．＝ B．＋＋＋C．＝0 D．＝8【答案】BCD【詳解】由題意得是正四面體ABCD外接球的球心．

設(shè)點是頂點在底面的射影，則AO是正四面體ABCD的高，OB是的外接圓半徑，取CD的中點G，AB的中點F，連接BG，GF，則O在BG上，E在FG上，則，，因為，即，則，解得．對于A，，故A錯誤；對于B，因為AG＝BG＝，F(xiàn)G⊥AB，EG⊥CD，所以，，則，又，，則，所以，故B正確；對于C，因為AE⊥底面BCD，CD?底面BCD，所以AE⊥BC，所以＝0，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確．故選：BCD.三、雙空題10．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期中）已知一個正八面體的棱長都是2（如圖），分別為的中點，則__________；若，過點的直線分別交直線于兩點，設(shè)（其中均為正數(shù)），則的最小值為__________.【答案】4【詳解】補形成正方體，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為a，則，解得則所以所以所以在平面BEF中，如圖，因為，所以又，所以因為G，N，M三點共線，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為故答案為：4；四、填空題11．（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中校考階段練習(xí)）已知，若夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】且【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以且與不共線，因為，所以，解得，當(dāng)與共線時，，即，則，解得，所以且.故答案為：且.12．（2023春·江蘇泰州·高二江蘇省興化中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直，點在上移動，點在上移動，若，則的長的最小值為_________．【答案】【詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，所以兩兩垂直.過點M作，垂足分別為G，H，連接，易證.因為，所以以B為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以當(dāng)，的長最小，且最小值為．故答案為：．五、解答題13．（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點，設(shè)．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求k的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以空間向量的夾角公式，可得，所以與的夾角的余弦值為.（2）由（1）可知，.因為向量與互相垂直，所以，所以，所以，所以，解得.14．（2023秋·浙江溫州·高二?？计谀┰谡拿骟w中，點在平面內(nèi)的投影為，點是線段的中點，過的平面分別與，，交于，，三點.(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，求的值.【答案】(1)0(2)6【詳解】（1）正四面體中，在底面內(nèi)的投影為正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因為，且，，，所以，即，因為，，，共面，所以，即.B能力提升1．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG＝3GG1，若，則為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，，則，由題設(shè)，，所以.故選：A2．（多選）（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為的中點.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】以D為坐標(biāo)原點，以為為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，，,則，故，又，所以，A正確；又，，∵，，B正確;又，故，所以，即，C錯誤；又，則，故，D正確．故選：ABD3．（2023春·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體的底面是菱形，且.當(dāng)?shù)闹禐開_____時，能使平面【答案】1【詳解】解：如圖所示：設(shè)，，則，因為平面，平面，所以，，，由，得，即，又因為，則有，即，解得或(舍去)，因此當(dāng)時，能使平面.故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，為棱的中點，，，與平面交于點，則________.【答案】【詳解】設(shè)，其中，，，，因為、、、四點共線，則向量、、共面，由共面向量定理可知，存在、使得，即，所以，，解得.故答案為：.5．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，且．(1)求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）因為，所以，使得，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，，所以，.因為，所以，即，解得.C綜合素養(yǎng)1．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則，可得，∵∴，即AP⊥BC.（2）由（1）可得，∵M是AP上一點，且AM＝3，∴，可得，設(shè)平面BMC的法向量為，則，令b＝1，則，即，顯然，故∥，∴AM⊥平面BMC.2．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：平面DEA⊥平面ECA.【答案】證明見解析【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則，所以，設(shè)平面ECA的一個法向量是，則，取，則，即，設(shè)平面DEA的一個法向量是，則，取，則，即，因為，所以，所以平面DEA⊥平面ECA.3．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.【答案】證明見解析【詳解】如圖所示，取BC的中點O，連接AO，因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，平面ABC，則，，平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1，取B1C1的中點O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，BA1∩BD＝B，平面，所以AB1⊥平面A1BD.4．（2023春·廣西柳州·高二柳州市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱⊥底面，,，，，為棱的中點，是的中點.(1)求證：∥平面；(2)求證：⊥平面；(3)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，.【詳解】（1）由已知，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，則，，，，，，∴，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面.（2）由已知，，，，，∴，，∴，，∴，，又∵，平面，平面，∴平面.（3）假設(shè)存在點，滿足題意，且（），則，，∴，∴，易知向量是平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，∵