專題01幾何最值之將軍飲馬模型

專題01幾何最值之將軍飲馬模型模型一、兩定一動(dòng)模型模型二、一定兩動(dòng)模型模型說明：將軍飲馬模型在近幾年中考中常常與幾何圖形（三角形、四邊形）聯(lián)系考查，出現(xiàn)在選填題；而與反比例函數(shù)或二次函數(shù)的綜合出現(xiàn)在解答題。解決這類問題的思路主要是作點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱，利用三點(diǎn)共線求最值。例1．（2022·四川成都）如圖，在菱形中，過點(diǎn)作交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，，則的最大值為_________．【答案】【詳解】延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)在EF上．由點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點(diǎn)Q，B，共線時(shí)，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)F重合時(shí)，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點(diǎn)O．∵AE=14,CE=18，

∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，

解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．例2．（2019·四川成都）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為____.【答案】【詳解】如圖，過C點(diǎn)作BD的平行線，以為對(duì)稱軸作B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)根據(jù)平移和對(duì)稱可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為例3．（2019·四川內(nèi)江）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，的面積為4．（1）分別求出和的值；（2）結(jié)合圖象直接寫出的解集；（3）在軸上取點(diǎn)，使取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）或；（3）【詳解】（1）∵點(diǎn)，∴，∵，即，∴，∵點(diǎn)在第二象限，∴

，將代入得：，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：，把代入得：，∴因此，；（2）由圖象可以看出的解集為：或；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與軸交于，此時(shí)最大，∵，∴設(shè)直線的關(guān)系式為，將，代入得：解得：，，∴直線的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，即，解得，∴例4．（2022·四川涼山）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【解析】（1）解：將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，將點(diǎn)代入得：，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則將其先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在原點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且，，即，恰好在對(duì)稱軸直線上，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時(shí)的值最小，即的值最小，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，故在軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練1】（2022·四川自貢）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為____________．【答案】【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=41=3，∴，即的最小值為．故答案為：【變式訓(xùn)練2】（2022·四川內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【詳解】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【變式訓(xùn)練3】（2022·四川眉山）如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為________．【答案】6【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，交AC于點(diǎn)F，連接交AC于點(diǎn)P，則的最小值為的長(zhǎng)度；∵AC是矩形的對(duì)角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對(duì)稱的性質(zhì)，得，，∴∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【變式訓(xùn)練4】（2019·四川成都）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為____.【答案】【詳解】如圖，過C點(diǎn)作BD的平行線，以為對(duì)稱軸作B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)根據(jù)平移和對(duì)稱可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為【變式訓(xùn)練5】（2022·四川資陽(yáng)）如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作交AB于點(diǎn)F，∵A與關(guān)于BC對(duì)稱，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，O，E在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)，∵正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∴，∵對(duì)稱，∴，∴，在中，，故選：D．課后訓(xùn)練1．（2022·四川德陽(yáng)·二模）如圖，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，點(diǎn)E以0.5cm/s的速度從點(diǎn)B到點(diǎn)C，同時(shí)點(diǎn)F以0.4cm/s的速度從點(diǎn)D到點(diǎn)B，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，則運(yùn)動(dòng)停止，點(diǎn)P是邊CD上一點(diǎn)，且CP=1，且Q是線段EF的中點(diǎn)，則線段QD+QP的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接QB，PB．∵四邊形ABDC是矩形，∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（3，0），B（0，4），∵∠CDB=90°，∴BC==5（cm），∵EH∥CD，∴△BEH∽△BCD，∴，∴，∴EH=0.3t，BH=0.4t，∴E（0.3t，40.4t），∵F（0，0.4t），∵QE=QF，∴Q（t，2），∴點(diǎn)Q在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，∵B，D關(guān)于直線y=2對(duì)稱，∴QD=QB，∴QP+QD=QB+QP，∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)，∴QP+QD≥2，∴QP+QD的最小值為2．故選：A．2．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長(zhǎng)為4，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值是（

）A．11 B．13 C．9 D．8【答案】A【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴，解得AD=9，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴CM=AM，∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，∵AM+DM≥AD，∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長(zhǎng)最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．故選：A．3．（2022·四川廣元·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為16，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的最小值為（

）A．16 B． C．20 D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，連接BD、BM，則BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC=16，CM=164=12，根據(jù)勾股定理得：BM==20，即DN+MN的最小值是20；故選：C．4．（2022·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為（）A．3 B．4 C．2 D．5【答案】B【詳解】，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G則此時(shí)的值最小，最小值為的長(zhǎng)即的最小值為4故選：B．5．（2019·四川內(nèi)江·一模）如圖，已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn)．若⊙O的半徑為l，則AP+BP的最小值為（）A．2 B． C． D．1【答案】C【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交MN于點(diǎn)P，則PA+PB最小，連接OA′，AA′，OB，∵點(diǎn)A與A′關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故選C．6．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4），點(diǎn)C，D分別是OA，AB的中點(diǎn)，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△DPC周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．【答案】（0，1）【詳解】解：如圖：作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接DC′交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD＋PC的值最小，∵DC長(zhǎng)為定值，∴當(dāng)PD＋PC的值最小時(shí)，△DPC周長(zhǎng)最小，∵A（2，0），B（0，4），點(diǎn)C，D分別是OA，AB的中點(diǎn)，∴C（1，0），D（1，2），∴C′（?1，0），設(shè)直線DC′為：y＝kx＋b，把C′（?1，0），D（1，2），代入得，，解得：，∴y＝x＋1，令x＝0，∴y＝1，∴P（0，1），故答案為：（0，1）．7．（2021·四川省內(nèi)江市二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則線段AF的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BF的長(zhǎng)為_____．【答案】【詳解】解：由題意得：DF=DB，∴點(diǎn)F在以D為圓心，BD為半徑的圓上，作⊙D；連接AD交⊙D于點(diǎn)F，此時(shí)AF值最小，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得：AD2=AC2+CD2∴AD=5，而FD=3，∴FA=5﹣3=2，即線段AF長(zhǎng)的最小值是2，連接BF，過F作FH⊥BC于H，∵∠ACB=90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△ADC，∴，∴HF=，DH=，∴BH=，∴BF==．故答案為：8．（2022·仁壽縣長(zhǎng)平初級(jí)中學(xué)校一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右邊）．①若連結(jié)AP、PE，則PE＋AP的最小值為______；②連結(jié)QE，若PQ＝3，當(dāng)CQ＝______時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小．【答案】

10

【詳解】解：①延長(zhǎng)AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對(duì)稱，∴AP＝PM，連接EM，交BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP＋PE的值最小，∴AP＋PE＝PM＋EP＝EM，過點(diǎn)M作MN⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，∵∠MND＝90°，∴四邊形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，∵E為CD的中點(diǎn)，

∴EC＝CD＝2，∴EN＝EC＋CN＝6，∴，∴PE＋AP的最小值為10，故答案為：10；②點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位到點(diǎn)G，點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接GF，交BC于點(diǎn)Q，∴EQ＝FQ，∴GQ＋EQ＝GQ＋FQ＝FG，此時(shí)GQ＋QE的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四邊形APQG是平行四邊形，∴AP＝GQ，∴GQ＋EQ＝AP＋EQ＝FG，∵AE，PQ的值是定值，∴要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，只要AP＋EQ的值最小即可，設(shè)CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，∴，∴，∴x＝，∴當(dāng)CQ＝時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，故答案為：．9．（2022·四川眉山·二模）如圖，在菱形ABCD中，，，Q為AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_____________．【答案】【詳解】解：連接AC，CQ，∵四邊形ABCD是菱形，∴A、C關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴CQ的長(zhǎng)即為AP+PQ的最小值，∵∠BCD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵Q是AB的中點(diǎn)，∴CQ⊥AB，BQ=BC=×2=1，∴CQ=．故答案為：．10．（2020·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值是__．【答案】2【詳解】解：連接DE，∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴∠DAB＝60°，AE＝BE＝2，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，∴DE⊥AB，∵AB∥CD，∴DE⊥CD，連接EC，與BD交于點(diǎn)P，連接AC，此時(shí)PA+PE＝CP+EP＝CE值最小，∵DE＝AD＝2，∴CE＝＝＝2，∴PA+PE的最小值是2，故答案為：2．11．（2022·四川德陽(yáng)·二模）已知：如圖，△ABC中，∠A=45°，AB=6，AC=，點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】【詳解】解：如圖，作E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由對(duì)稱性可知：DE=DM，F(xiàn)E=FN，AE=AM=AN，∴△DEF的周長(zhǎng)DE+EF+FD=DM+DF+FN，∴當(dāng)點(diǎn)E固定時(shí)，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，∵∠BAC=45°，∠BAE=∠BAM，∠CAE=∠CAN，∴∠MAN=90°，∴△MNA是等腰直角三角形，∴MN=AE，∴當(dāng)AE的值最小時(shí)，MN的值最小，∵AC=4，∴AK=KC=4，∵AB=6，∴BK=ABAK=2，在Rt△BKC中，∵∠BKC=90°，BK=2，CK=4，∴BC==2，∵?BC?AH=?AB?CK，∴AH=，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)AE與AH重合時(shí)，AE的值最小，最小值為，∴MN的最小值為，∴△DEF的周長(zhǎng)的最小值為．故答案為．12．（2020·四川成都·一模）如圖，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直線y=x上的一條動(dòng)線段且PQ=（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為______．【答案】（，）【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B'（0，1），過點(diǎn)A作直線MN∥PQ，并沿MN把點(diǎn)A向下平移單位后得A'（2，0），連接A'B'交直線y=x于點(diǎn)Q，如圖，∵AA'=PQ=，AA'∥PQ，∴四邊形APQA'是平行四邊形．∴AP=A'Q．∵AP+PQ+QB=B'Q+A'Q+PQ且PQ=．∴當(dāng)A'Q+B'Q值最小時(shí)，AP+PQ+QB值最?。鶕?jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即A'，Q，B'三點(diǎn)共線時(shí)A'Q+B'Q值最?。連'（0，1），