變量的相關關系（分層作業(yè)）-高二數學（人教A版2019選修第三冊）

8.1.1變量的相關關系（分層作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2023·高二課時練習）已知變量和滿足關系，變量與正相關，則下列結論中正確的是（

）．A．與正相關，與負相關 B．與正相關，與正相關C．與負相關，與負相關 D．與負相關，與正相關【答案】C【分析】根據可得負相關，結合正相關可得結果.【詳解】，和負相關，又和正相關，和負相關.故選：C.2．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）通過抽樣調研發(fā)現(xiàn)，當地第三季度的醫(yī)院心腦血管疾病的人數和便利店購買冷飲的人數的相關系數很高，甲認為這是巧合，兩者其實沒有關系：乙認為冷飲的某種攝入成分導致了疾?。槐J為病人對冷飲會有特別需求：丁認為兩者的相關關系是存在的，但不能視為因果，請判斷哪位成員的意見最可能成立（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】正確理解相關系數，相關關系與因果關系的區(qū)別是解題的關鍵.【詳解】當地第三季度的醫(yī)院心腦血管疾病的人數和便利店購買冷飲的人數的相關系數很高，但相關關系是一種非確定性關系，相關關系不等于因果關系，丁的意見最可能成立.故選：D.3．（2022·高一課時練習）下列關于散點圖的說法中，錯誤的是（

）A．可以通過散點圖繪制數據的頻率直方圖B．成對的數據一般適用于散點圖C．任意給定的統(tǒng)計數據，都可以繪制散點圖D．散點圖可以看出數據的分布情況【答案】C【分析】利用散點圖、頻率直方圖的定義即可判斷答案.【詳解】根據散點圖、頻率直方圖的定義，容易得到ABD正確；而對于C，散點圖只能表示兩個變量組成的數對，并不能表示任意給定的統(tǒng)計數據，故C錯誤;故選：C.4．（2022·高二課時練習）某商場五天內某種恤衫的銷售情況如下表：第天銷售量y（件）則下列說法正確的是（

）A．與負相關 B．與正相關C．與不相關 D．與成正比例關系【答案】B【分析】作出散點圖，可得出結論.【詳解】根據表格中的數據作出散點圖如圖，可知所有點都在一條直線附近波動，是線性相關的，且值隨著值的增大而增大，即與正相關，故選：B．5．（2023·全國·高二專題練習）下列說法正確的是（

）A．中的x，y是具有相關關系的兩個變量B．正四面體的體積與棱長具有相關關系C．電腦的銷售量與電腦的價格之間是一種確定性的關系D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務人員數與醫(yī)院收治的傳染病人數是具有相關關系的兩個變量【答案】D【分析】根據相關關系的定義、函數的定義即可判斷【詳解】A，B均為函數關系，故A、B錯誤；C，D為相關關系，故C錯，D對.故選：D6．（2021春·陜西漢中·高一統(tǒng)考期中）下列圖形中具有相關關系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據圖形的特點結合相關關系的概念判斷即可.【詳解】根據圖象可得選項AB中的圖形為連續(xù)曲線,變量間的關系是確定的，不是相關關系；選項C中散點分布在一條直線附近，可得其線性相關；選項D中散點分布在一個長方形區(qū)域，即其不具有相關關系．故選：C7．（2023春·上海徐匯·高二統(tǒng)考階段練習）下列關于散點圖的說法中，正確的是（

）A．任意給定統(tǒng)計數據，都可以繪制散點圖 B．從散點圖中可以看出兩個量是否具有一定的關系C．從散點圖中可以看出兩個量的因果關系 D．從散點圖中無法看出數據的分布情況【答案】B【分析】根據散點圖的概念判斷即可.【詳解】散點圖不適合用于展示百分比占比的數據，另外數據量較少的數據也不適合用散點圖表示，故A錯誤；散點圖能看出兩個量是否具有一定關系，但是并一定是因果關系，故B正確，C錯誤；散點圖中能看出數據的分布情況，故D錯誤.故選：B8．（2023·全國·高二專題練習）經濟學專業(yè)的學生們?yōu)檠芯苛魍ㄙM率y和銷售額x（單位：千萬元）的關系，對同類型10家企業(yè)的相關數據（）進行整理，并得到如下散點圖：由此散點圖，在2千萬元至1億元之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為流通費率y和銷售額x的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據散點圖的變化趨勢，分析各選項中方程表示的曲線的特點，看是否合乎題意，即可得答案.【詳解】根據散點圖，可以知道各點基本上是沿著一條具有遞減趨勢的曲線分布，并且變化趨勢較平緩，A中表示直線，變化趨勢是定的，不合題意；B中表示的曲線既有上升又有下降部分，不合題意；C中表示的曲線不論是上升還是下降，都將比較快，曲線較“陡峭”，不合題意，D中表示的曲線不論是上升還是下降，都將比較平緩，合乎題意，故選：D．9．（2022·高二課時練習）下列變量之間的關系是相關關系的是（）A．正方體的表面積與體積B．光照時間與果樹的產量C．勻速行駛車輛的行駛距離與時間D．某運動會中某代表團的足球隊的比賽成績與乒乓球隊的比賽成績【答案】B【分析】A與C是一種函數關系，D不具備相關關系，B滿足相關關系.【詳解】對于A，正方體的體積確定，則表面積隨之確定，是一種確定性關系，A錯誤；對于B，光照時間越長，果樹的產量相對越大，是一種線性相關關系，B正確；對于C，行駛速度與時間是一種確定的函數關系，C錯誤；對于D，足球比賽成績與乒乓球比賽成績沒有關系，不具有相關關系，D錯誤.故選：B二、多選題10．（2022·高二課時練習）下列變量間可能用直線擬合的是（

）A．光照時間與大棚內蔬菜的產量 B．某正方形的邊長與此正方形的面積C．舉重運動員所能舉起的最大重量與他的體重 D．某人的身高與視力【答案】AC【分析】判斷兩個變量之間是否有線性相關性進行求解.【詳解】對于選項A，光照時間與大棚內蔬菜的產量中的兩個變量之間均存在某種關系，若存在線性關系就可用直線擬合，故A正確；對于選項B，某正方形的邊長與此正方形的面積這兩個變量之間是確定的函數關系，不能用直線擬合，故B錯誤；對于選項C，舉重運動員所能舉起的最大重量與他的體重中的兩個變量之間均存在某種關系，若存在線性關系就可用直線擬合，故C正確；對于選項D，某人的身高與視力這兩個變量之間無任何關系，不能用直線擬合，故D錯誤．故選：AC.三、填空題11．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）以下兩個變量成負相關的是_____．①學生的學籍號與學生的數學成績；②堅持每天吃早餐的人數與患胃病的人數；③氣溫與冷飲銷售量；④電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量．【答案】②【分析】根據相關關系的知識確定正確答案.【詳解】①無相關關系；②負相關；③④正相關.故答案為：②12．（2022·高二課時練習）給出下列關系，其中具有相關關系的是________．①考試號與考生考試成績；②勤能補拙；③水稻產量與氣候；④正方形的邊長與正方形的面積．【答案】②③##【分析】利用相關關系的定義直接判斷即可得出結果.【詳解】對于①，考試號只是確定考生考試的位置，與考試成績無關，①不滿足；對于②，勤能補拙具有相關關系，②滿足；對于③，水稻產量與氣候具有相關關系，③滿足；對于④，正方形的邊長與正方形的面積是函數關系，④不滿足.故答案為：②③.13．（2022·高二課時練習）有幾組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學習時間和平均學習成績；③立方體的棱長和體積．其中兩個變量成正相關的是________．【答案】②【分析】結合已知條件，利用相關關系和函數關系的概念以及二者之間的區(qū)別即可求解.【詳解】對于①，汽車重量和汽車每小號1升汽油所行駛的平均路程是負相關的關系，故①錯誤；對于②，平均日學習時間和平均學習成績的關系是一個正相關關系，故②正確；對于③，立方體的棱長和體積是函數關系，不是相關關系，故③錯誤.故答案為：②.四、雙空題14．（2023·高二課時練習）對變量有觀測數據（），得表1；對變量有觀測數據（），得表2．由這兩個表可以判斷：變量x與y______，變量u與v______．（填寫“正相關”或“負相關”）表1x12345y2.93.33.64.45.1表2u12345v2520211513【答案】

正相關

負相關【分析】根據圖表判斷變量之間的變化關系，即可判斷兩變量間的“正相關”或“負相關”關系.【詳解】由圖表可知隨著x的增大，相應的y值也增大，其散點圖將呈上升趨勢，故變量正相關，隨著的增大，相應的值整體上是減小的，其散點圖將呈下降趨勢，故變量負相關，故答案為：正相關；負相關五、解答題15．（2022·高二課時練習）某零售店近5個月的銷售額和利潤額資料如下表所示：商店名稱銷售額/千萬元35679利潤額/百萬元23345(1)根據上表數據作出散點圖；(2)觀察散點判斷利潤額關于銷售額是否具有線性相關關系．如果具有線性相關關系，那么是正相關還是負相關？【答案】(1)散點圖見解析(2)利潤額與銷售額是線性相關關系，正相關【分析】（1）根據表格作出散點圖即可；（2）根據散點圖即可得出結論.(1)解：散點圖如圖所示：(2)解：由散點圖可知，所有散點接近一條直線排列，所以利潤額與銷售額是線性相關關系，由圖可知當銷售額增加時，利潤額呈現(xiàn)增加的趨勢，所以是正相關．16．（2023·全國·高二專題練習）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數據如下表所示：使用年限（單位：年）24568失效費（單位：萬元）34567根據上表數據，計算與的相關系數，并說明與的線性相關性的強弱．（已知若，則認為與線性相關性很強；若，則認為與線性相關性一般；若，則認為與線性相關性較弱）附：．【答案】，與的線性相關性很強【分析】先求得與的相關系數，再去判斷與的線性相關性的強弱．【詳解】由題表知，，，，，，所以，因為，所以認為與的線性相關性很強．17．（2022·高二課時練習）基于移動互聯(lián)技術的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時間內就風靡全國，帶給人們新的出行體驗，某共享單車運營公司的市場研究人員為了解公司的經營狀況，對該公司最近六個月的市場占有率進行了統(tǒng)計，結果如表：月份月份代碼x123456y111316152021(1)請用相關系數說明能否用線性回歸模型擬合y與月份代碼x之間的關系.(2)根據調研數據，公司決定再采購一批單車擴大市場，現(xiàn)有采購成本分別為1000元輛和800元輛的A，B兩款車型，報廢年限各不相同考慮公司的經濟效益，該公司決定對兩款單車進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數表如表：報廢年限車型1年2年3年4年總計A10304020100測算，平均每輛單車每年可以為公司帶來收入500元不考慮除采購成本以外的其他成本，假設每輛單車的使用壽命都是整數年，用頻率估計每輛車使用壽命的概率，分別以這100輛單車所產生的平均利潤作為決策依據，如果你是該公司的負責人，會選擇采購哪款車型？參考數據：，，參考公式：相關系數回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】(1)答案見解析(2)選擇采購B款車型【分析】（1）求出相關系數，判斷即可；（2）分別求出的平均利潤，判斷即可.(1)，故，故，故兩變量之間有較強的相關關系，故可用線性回歸模型擬合y與月份代碼x之間的關系；(2)用頻率估計概率，這100輛A款單車的平均利率為：元，這100輛B款車的平均利潤為：元，故會選擇采購B款車型.18．（2022·高二課時練習）為測定湖中水的清潔程度，將一有刻度線的玻璃片放入水中直至完全看不見刻度線，此時它與水表面的距離稱為“Secchi深度”．為了測量湖水被水藻污染的程度，科學家要確定水中葉綠素的總濃度．在某一湖中，從四月至九月每周四中午都測量Secchi深度和葉綠素的總濃度．這兩個變量間是正相關還是負相關?簡要說明理由．【答案】負相關【分析】利用正相關和負相關的定義判斷.【詳解】因為Secchi深度越大說明湖水越清潔，湖水被水藻污染的程度越小，而葉綠素的總濃度越大湖水被被水藻污染的程度越大，所以Secchi深度和葉綠素的總濃度，這兩個變量間是負相關.19．（2022·高二課時練習）統(tǒng)計表明，世界各國人均擁有電視機的數與人均壽命有著較高的正相關的相關系數．這是否說明：國家的人均壽命與人均擁有電視機的多少有關？運送一大批電視機到某人均壽命低的國家是否能延長該國人的壽命？【答案】答案見解析.【分析】從線性相關的角度解釋即可.【詳解】世界各國人均擁有電視機的數與人均壽命有著較高的正相關的相關系數可以說明國家的人均壽命與人均擁有電視機的多少有關；運送一大批電視機到某人均壽命低的國家不一定能延長該國人的壽命，因為一個國家的人均壽命除了與人均擁有電視機的數有關，還要受其他很多因素的影響.【能力提升】一、單選題1．（2022春·河南南陽·高二?？茧A段練習）袁隆平院士是我國的雜交水稻之父，他一生致力于雜交水稻的研究，為解決中國人民的溫飽和保障國家糧食安全做出了重大的貢獻.某雜交水稻研究小組先培育出第一代雜交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此類推.已知第一代至第四代雜交水稻的每穗總粒數分別為197粒，193粒，201粒，209粒，且親代與子代的每穗總粒數成線性相關.根據以上信息，預測第五代雜交水稻每穗的總粒數為（

）（注：①親代是產生后一代生物的生物，對后代生物來說是親代，所產生的后一代叫子代：②，）A．211 B．212 C．213 D．214【答案】C【分析】利用最小二乘法求得親代與子代的每穗總粒數之間的線性回歸方程，進而得解.【詳解】由題意，設親代每穗總粒數，子代的每穗總粒數，則，，所以線性回歸方程為當時，預測第五代雜交水稻每穗的總粒數為213故選：C2．（2022·全國·高一專題練習）如圖是國家統(tǒng)計周公布的2020年下半年快遞運輸量情況，請根據圖中信息選出錯誤的選項（

）A．2020年下半年，同城和異地快遞量最高均出現(xiàn)在11月B．2020年10月份異地快遞增長率小于9月份的異地快遞增長率(注.增長率指相對前一個月而言)C．2020年下半年，異地快遞量與月份呈正相關關系D．2020年下半年，每個月的異地快遞量都是同城快遞量的6倍以上【答案】D【分析】根據統(tǒng)計圖表中的數據計算可得答案.【詳解】對于A，由圖可看出，同城和異地快遞量最高都在11月份，故A正確；對于B，因為，9月異地快遞增長率明顯高于10月異地快遞增長率，故B正確；對于C，由圖可看出，除2020年12月異地快遞量較11月略少，其余都有較明顯增加，因此可以判斷異地快遞量與月份呈正相關關系，故C正確；對于D，2020年7月的異地快遞量為572812.9萬件，同城快遞量為105191.1萬件，異地快遞量不到同城快遞量的6倍，故D不正確.故選：D.3．（2022·高二課時練習）已知r1表示變量X與Y之間的線性相關系數，r2表示變量U與V之間的線性相關系數，且r1＝0.837，r2＝﹣0.957，則（

）A．變量X與Y之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性B．變量X與Y之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性強于U與V之間的相關性C．變量U與V之間呈負相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性D．變量U與V之間呈正相關關系，且X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性【答案】C【分析】根據線性相關系數|r|越接近1，表示兩個變量之間的相關性越強，線性相關系數r的正負表示兩個變量之間呈正相關關系或負相關關系.【詳解】因為線性相關系數r1＝0.837，r2＝﹣0.957，所以變量X與Y之間呈正相關關系，變量U與V之間呈負相關關系，X與Y之間的相關性弱于U與V之間的相關性.故選：C二、多選題4．（2023·全國·高二專題練習）某校高三1班48名物理方向的學生在一次質量檢測中，語文成績、數學成績與六科總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，“”表示的是該班甲、乙、丙三位同學對應的點.從這次考試的成績看，下列結論正確的是（

）A．該班六科總成績排名前6的同學語文成績比數學成績排名更好B．在語文和數學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是語文C．數學成績與六科總成績的相關性比語文成績與六科總成績的相關性更強D．在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其六科總成績名次靠前的學生是甲【答案】BCD【分析】結合圖形可分析出答案.【詳解】由圖可得，該班六科總成績排名前6的同學數學成績比語文成績排名更好，故A錯誤；由右圖可得丙同學的總成績排在班上倒數第三名，其語文成績排在250到300名之間，從左圖可得其數學成績排在400名左右，故B正確；數學成績與六科總成績的相關性比語文成績與六科總成績的相關性更強，因為右圖的點的分布較左圖更分散，故C正確；由左圖可得甲的總成績排在班上第7名，年級名次100多一點，對應到右圖可得，其語文成績排在年級近100名，故甲的語文成績名次比其六科總成績名次靠前，由左圖可得甲的總成績排在班上第27名，年級名次接近250名，對應到右圖可得，其語文成績排在年級250名之后，故乙的語文成績名次比其六科總成績名次靠后，故D正確；故選：BCD三、填空題5．（2023·全國·高三專題練習）和的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為______.①，是負相關關系；②，之間不能建立線性回歸方程；③在該相關關系中，若用擬合時的相關指數為，用擬合時的相關指數為，則.【答案】①③【分析】由圖可知，散點圖呈整體下降趨勢，據此判斷①的正誤；由試驗數據得到的點將散布在某一直線周圍，因此，可以認為關于的回歸函數的類型為線性函數，據此判斷②的正誤；根據散點圖比較兩個方程的擬合效果，比較那個擬合效果更好，據此判斷③；.【詳解】在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此，是負相關關系，故①正確；x,，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故②錯誤；由散點圖知用擬合比用擬合效果要好，則，故③正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查由散點圖反應兩個變量的相關關系，散點圖中如果所有的樣本點都落在某一函數的曲線附近，變量之間就有相關關系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系.若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關，屬于中檔題.6．（2020春·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考期末）下列說法正確的是__________（填序號）（1）已知相關變量滿足回歸方程，若變量增加一個單位，則平均增加個單位（2）若為兩個命題，則“”為假命題是“”為假命題的充分不必要條件（3）若命題，，則，（4）已知隨機變量，若，則【答案】【分析】（1）由回歸方程知相關變量與成負相關，（2）“”為假命題則同時為假命題，“”為假命題則中至少有一假命題（3）全稱命題與特稱命題轉換條件不變，結論變相反（4）由正態(tài)曲線的對稱性可解.【詳解】（1）由回歸方程知相關變量與成負相關，若變量增加一個單位，則平均增加個單位，故（1）錯誤（2）“”為假命題則同時為假命題，“”為假命題則中至少有一假命題，所以“”為假命題是“”為假命題的充分不必要條件是正確的.故（2）正確（3）全稱命題與特稱命題轉換條件不變，結論變相反，故（3）錯誤（4）由正態(tài)曲線的對稱性知，隨機變量，若，對稱軸是，則，故（4）錯誤.故答案為;【點睛】利用正態(tài)曲線的對稱性求概率是常見的正態(tài)分布應用問題．解題的關鍵是利用對稱軸確定所求概率對應的隨機變量的區(qū)間與已知概率對應的隨機變量的區(qū)間的關系，必要時可借助圖形判斷．對于正態(tài)分布，由是正態(tài)曲線的對稱軸知：(1)對任意的，有；(2);(3)．四、解答題7．（2022·高二課時練習）某公司為了準確地把握市場，做好產品生產計劃，對過去四年的數據進行整理得到了第年與年銷量（單位：萬件）之間的關系如表：123412284256在圖中畫出表中數據的散點圖，推斷兩個變量是否線性相關，計算樣本相關系數，并估計它們的相關程度．附注：參考數據：，，．參考公式：相關系數【答案】作圖見解析；與的相關系數近似為0.9997，可以推斷該公司的年銷量與第年呈正線性相關，且線性相關程度很強．【分析】由已知數據作出散點圖，由圖像可以看出推斷與線性相關，再由公式計算可得結論．【詳解】解：作出散點圖如圖：由散點圖可知，各點大致分布在一條直線附近，由此推斷與線性相關．由題中所給表格及參考數據得：，，，，，，，．∵與的相關系數近似為0.9997，可以推斷該公司的年銷量與第年呈正線性相關，且線性相關程度很強．8．（2021·湖南邵陽·武岡市第二中學?？寄M預測）某地一公司的市場研究人員為了解公司生產的某產品的使用情況，從兩個方面進行了調查統(tǒng)計，一是產品的質量參數x，二是產品的使用時間t（單位：千小時），經統(tǒng)計分析，質量參數x服從正態(tài)分布，使用時間t與質量參數x之間有如下關系：質量參數x0.650.700.750.800.850.900.95使用時間t2.602.813.053.103.253.353.54（1）該地監(jiān)管部門對該公司的該產品進行檢查，要求質量參數在0.785以上的產品為合格產品．現(xiàn)抽取20件該產品進行校驗，求合格產品的件數的數學期望；（2）該公司研究人員根據最小二乘法求得線性回歸方程為，請用相關系數說明使用時間t與質量參數x之間的關系是否可用線性回歸模型擬合．附：參考數據：．若，則參考公式：相關系數；回歸直線方程為，其中．【答案】（1）；（2）答案見解析．【分析】（1）先根據正態(tài)分布求得一件產品的質量參數在0.785以上的概率，再判斷出抽取20件該產品中為合格產品的件數服從二項分布，最后根據二項分布的期望公式求得結果；（2）根據參考數據求得相關系數，最后根據，得到結果即可.【詳解】解：（1）一件產品的質量參數在0.785以上的概率，設抽取20件該產品中為合格產品的件數為，則，則．（2），同理，，，，所以使用時間與質量參數之間具有較強的線性相關關系，可用線性回歸模型擬合.【點睛】在判斷兩個變量間的線性相關性，一般采用相關系數來判斷，相關系數的取值為，當，兩變量間成負線性相關；當，兩變量間成正線性相關，當時，我們說兩變量間有很強的線性相關性.9．（2022春·全國·高三專題練習）某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習慣，很快找到寶寶想聽的內容.同時提供快樂兒歌、國學經典、啟蒙英語等早期