第9講-外接球、內(nèi)切球、棱切球問題(解析版)

試卷第=page11頁，共=sectionpages5656頁第9講外接球、內(nèi)切球、棱切球問題一、單選題1．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，找到外接球的球心位置，求出外接球半徑，進(jìn)而求出表面積.【詳解】如圖所示：其中D為AB的中點(diǎn)，O為外接圓的圓心，，∴O在CD上，且，．，D為AB的中點(diǎn)，，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB．又DA，DB，平面PAB，，，．在中，，D為AB的中點(diǎn)，．．∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積．故選：B【點(diǎn)睛】三棱錐的外接球問題，要選擇一個(gè)特殊的平面，找到球心在這個(gè)平面的投影，然后找到球心的位置，利用半徑，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出半徑，進(jìn)而求出表面積或體積.2．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））直角中，，，D是斜邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，沿BD將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作，，，，設(shè)，則有，從而求解即可.【詳解】作，，，，設(shè)，，，．在中，，在中，，．當(dāng)時(shí)最?。O(shè)，的外接圓半徑分別為，∴，∴，．∴∴.故選:D．3．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖所示幾何體ABCDEF，底面ABCD為矩形，，，△ADE與△BCF是等邊三角形，，，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根據(jù)題干信息得到各邊長(zhǎng)，設(shè)出，利用半徑列出方程，求出，進(jìn)而求出半徑，外接球表面積.【詳解】連接AC，BD交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)作平面ABCD，交EF與M.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以外接球的球心在OM直線上，設(shè)為外接球的球心，取AD，BC的中點(diǎn)分別為G，H，連接EG，F(xiàn)H，因?yàn)?，，可得，因?yàn)?，為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，所以平面EFHG，因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，所以EF到平面ABCD的距離為，設(shè)，則，所以，，所以，即，解得:，所以，所以.【點(diǎn)睛】立體幾何中的外接球問題，要能畫出圖形，找到球心和球心在某些特殊平面上的投影，利用半徑建立方程，求出半徑，再求解表面積或體積.4．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出簡(jiǎn)圖，通過作圖分析出幾何體外接球的球心位置，算出半徑，即可求出表面積.【詳解】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點(diǎn).在中，，D為AC的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，則.因?yàn)槎娼鞘?50°，所以，所以，.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且D為AC的中點(diǎn)，所以.設(shè)為外接圓的圓心，則.設(shè)三棱錐外接球的球心為O，因?yàn)?，所以O(shè)在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.5．（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐S－ABC中，∠BAC=，SB⊥AB，SC⊥AC，SB=SC=3，，三棱錐體積為，則三棱錐S－ABC外接球的表面積為（

）A．5π B．20π C．25π D．100π【答案】C【解析】【分析】觀察△SBA、△SCA均為直角三角形，得到點(diǎn)P為三棱錐S－ABC外接球的球心，且棱錐P－ABC為正三棱錐，可以通過設(shè)高|PO|結(jié)合求得底面正△ABC的邊長(zhǎng)a，從而得到外接球半徑|PA|，最后求得表面積．【詳解】解：如圖，取SA中點(diǎn)P，SB⊥AB，SC⊥AC，則△SBA，△SCA均為直角三角形，PA=PB=PC=PS，即點(diǎn)P為三棱錐S－ABC外接球球心，PA即為外接球半徑，又SB=SC，故AB=AC且為等邊三角形又PA=PB=PC三棱錐P－ABC為正三棱錐；作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接OA則O為△ABC的外心，設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，則，即，外接球表面積為，故排除A；∴，故排除D；若，則，代入方程不成立，故排除B；若，則，代入方程成立，所以C正確，故選：C6．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)N，M分別為和的重心，P為線段CM上一點(diǎn)．（

）A．的最小為2B．若DP⊥平面ABC，則C．若DP⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為D．若F為線段EN的中點(diǎn)，且，則【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)由線面垂直證得CM⊥BM，CM⊥AM，進(jìn)而由點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)即可判斷；B選項(xiàng)利用內(nèi)切球求得即可判斷；C選項(xiàng)找到球心，由勾股定理求得半徑，即可判斷；D選項(xiàng)由空間向量的線性運(yùn)算即可判斷.【詳解】易得，又，則面，又面，則，同理可得，，則CM⊥平面ABD，又平面，所以CM⊥BM，CM⊥AM．則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，取得最小值，又，則最小值為，A錯(cuò)誤．在正四面體ABCD中，因?yàn)镈P⊥平面ABC，易得在上，所以，又點(diǎn)N，M也是和的內(nèi)心，則點(diǎn)P為正四面體ABCD內(nèi)切球的球心．，．設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為r，因?yàn)椋?，解得，即，故，B錯(cuò)誤．設(shè)三棱錐P－ABC外接球的球心為O，半徑為R，易得球心在直線上，且，則，解得，故三棱錐P－ABC外接球的表面積為，C錯(cuò)誤．若F為線段EN的中點(diǎn)，則，．設(shè)，則．因?yàn)?，所以設(shè)，則解得故，D正確.故選：D.7．（2022·全國·高一單元測(cè)試）已知在矩形中，將沿對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在三棱錐中，一定不成立的是（

）A．為銳角B．C．平面D．三棱錐外接球的體積不變【答案】C【解析】【分析】A由翻折過程中，結(jié)合余弦定理即可判斷；B當(dāng)時(shí)應(yīng)用線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷；C應(yīng)用反證法，由平面可得有矛盾；D由，根據(jù)球體體積公式判斷.【詳解】在矩形中，設(shè)、，連接交于點(diǎn)，翻折后，，∴一定為銳角，A成立，當(dāng)時(shí)，、，，∴平面，又平面，∴，B成立，若平面，平面，則，所以為直角，與與一定不垂直矛盾，C不成立，∵，∴點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，外接球的直徑為，∴在翻折過程中外接球的體積不變，D成立.故選：C.8．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形為菱形，且，現(xiàn)將沿折起至，并使得與平面所成角的余弦值為，此時(shí)三棱錐外接球的體積為，則該三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)，在三棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出點(diǎn)為正的中心，可得出三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體，可求得該正四面體外接球半徑，結(jié)合球體體積公式可求得的值，由此可求得正四面體的表面積.【詳解】在菱形中，，設(shè)，則和均為邊長(zhǎng)為的正三角形．將折起后，，取的中點(diǎn)，連接、，如圖．因?yàn)?，則，，又因?yàn)?，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，平面，則，又因?yàn)?，，平面，平面，，所以，直線與平面所成角為，在中，，所以，．在中，，，所以，則，因此點(diǎn)為正的中心，所以三棱錐是棱長(zhǎng)為的正四面體．將正四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，所以，三棱錐外接球半徑為，三棱錐外接球的體積為，解得，因此，正四面體的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.9．（2022·廣東佛山·三模）已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面，且為等邊三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個(gè)平面的垂線交于點(diǎn)O，得到點(diǎn)O即為該球的球心，取線段的中點(diǎn)E，得到四邊形為矩形，分別求得，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，在四棱錐中，取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個(gè)平面的垂線交于點(diǎn)O，則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)O即為該球的球心，取線段的中點(diǎn)E，連，，，，則四邊形為矩形，在等邊中，可得，則，即，在正方形中，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：B.10．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．該幾何體外接球的表面積為B．該幾何體外接球的體積為C．該幾何體的體積與原正方體的體積比為2：3D．該幾何體的表面積比原正方體的表面積小【答案】C【解析】【分析】由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積與表面積，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1，外接球的表面積為，體積為，故A，B正確對(duì)于C，該幾何體的體積，正方體體積為，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，該幾何體有6個(gè)面為正方形，8個(gè)面為等邊三角形，故D正確故選：C11．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））直角中，是斜邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作交于，再作，使得與交于點(diǎn)，設(shè)，進(jìn)而得，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，再根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檎较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)四面體的外接球的球心為，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求球心坐標(biāo)，進(jìn)而求出四面體外接球的半徑，表面積.【詳解】解：根據(jù)題意，圖1的直角三角形沿將翻折到使二面角為直二面角，所以，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作交于，再作，使得與交于點(diǎn)，所以，由二面角為直二面角可得，設(shè)，即，則，因?yàn)?，所以，所以，在中，，在中，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，，，在圖1中，由于，即為角的角平分線，所以，即，所以，所以，，由題知，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檎较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)四面體的外接球的球心為，則，即，即，解得，，即，所以四面體的外接球的半徑為

，所以四面體的外接球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何折疊問題中的距離最值問題，幾何體的外接內(nèi)切問題，考查空間想象能力，運(yùn)算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于由二面角為直二面角構(gòu)造輔助線（過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作交于，再作，使得與交于點(diǎn)），進(jìn)而通過表示，空間幾何體的外接球的半徑的求解利用坐標(biāo)法求解即可.12．（2022·新疆昌吉·二模（文））在三棱錐中，，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】本題結(jié)合球的基本性質(zhì)可知：過三棱錐其中兩個(gè)面的三角形的外接圓圓心，作該面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為三棱錐的球心，結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)分析求得三棱錐的外接球的半徑．【詳解】如圖、分別為Rt△PAC、△ABC的外接圓圓心，作平面PAB，平面ABC，則O為三棱錐的外接球的球心．在△ABC中，，即，可得：．由正弦定理可得：，即，又∵為線段AC的中點(diǎn)，則可得，且，∴二面角的大小的平面角即為∠，則∠．∴三棱錐的外接球的半徑R=，則三棱錐的外接球體積為V=．故選：Ａ．13．（2022·遼寧·大連市普蘭店區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體中，根據(jù)已知條件建立關(guān)于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高的邊長(zhǎng)a，b，c的方程組，求解得，進(jìn)而可得外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，，則平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體中，如圖：易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：C.14．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P、A、B、C是球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為，M是AP的中點(diǎn)，記過點(diǎn)M與平面ABC平行的平面，則球O被平面截得的截面面積等于(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)PA、PB、PC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為可求球O的半徑.連接OP，交平面ABC于點(diǎn)E，交平面于點(diǎn)F，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可求OE、PE、PF，從而可求OF，于是可求截面圓的半徑和面積．【詳解】∵PA、PB、PC兩兩垂直且長(zhǎng)度均為，∴球O為棱長(zhǎng)是的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為R，則．連接OP，交平面ABC于點(diǎn)E，交平面于點(diǎn)F，則OP為正方體體對(duì)角線的一半，則易證平面ABC，則平面，，易知△ABC為等邊三角形，E為△ABC的中心，CE=，OE=，∵M(jìn)是AP的中點(diǎn)，平面∥平面，∴，，即球心O到平面的距離為2，∴截面圓的半徑，∴截面面積為．故選：A．15．（2022·四川成都·三模（理））已知三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，和分別是邊長(zhǎng)為和的正三角形，則球O的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分別求出正三棱臺(tái)的上下兩個(gè)底面的外接圓的半徑，然后由球的性質(zhì)得：，，解出，即可求得球O的體積.【詳解】設(shè)點(diǎn)，分別是正，的中心，球的半徑為，且，，三點(diǎn)共線，正三棱臺(tái)的高為，在等邊中，由，由正弦定理可得：，得，在等邊中，由，由正弦定理可得：，得，如下圖，過點(diǎn)作，則在三角形中，，所以，所以正三棱臺(tái)的高為3，在中，，即，在中，，即，兩式解得：，所以球O的體積為：.故選：B.16．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校三模（理））函數(shù)，設(shè)球O的半徑為，則（

）A．球O的表面積隨x增大而增大 B．球O的體積隨x增大而減小C．球O的表面積最小值為 D．球O的體積最大值為【答案】D【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而判斷的單調(diào)性，進(jìn)而判斷球O的半徑的單調(diào)性，由此可判斷A,B,結(jié)合單調(diào)性可求得球的表面積以及體積的最值，判斷C,D.【詳解】令，則，故函數(shù)，，即為單調(diào)增函數(shù)，而在上遞增，在上遞減，故在上遞增，在上遞減，又在上遞增，在上遞減，且是正值，也是正值，故在上遞增，在上遞減，即球O的半徑在上遞增，在上遞減，故A，B錯(cuò)誤；由以上分析可知當(dāng)時(shí)，球O的半徑取到最大值為，故球O的表面積最大值為，無最小值，故C錯(cuò)誤；同時(shí)球O的體積最大值為，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題將球的相關(guān)計(jì)算和導(dǎo)數(shù)綜合在一起考查，綜合性較強(qiáng)，考查綜合分析，解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及能力，解答的關(guān)鍵是要判斷球的半徑的變化規(guī)律，也就是要結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.二、多選題17．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知在平行四邊形ABCD中，，，，把△ABD沿BD折起使得A點(diǎn)變?yōu)?，則（

）A．B．三棱錐體積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用余弦定理進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，先得到當(dāng)平面平面BCD時(shí)，三棱錐的體積最大，利用等體積法求出點(diǎn)到平面BCD的距離，從而求出最大體積；C選項(xiàng)，對(duì)棱相等的三棱錐可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的一半即為外接球半徑，設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，列出方程組，進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，由余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由余弦定理得，∴，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)平面平面BCD時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)此時(shí)點(diǎn)到平面BCD的距離為h，則，解得：∴三棱錐體積的最大值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為x，y，z，外接球的半徑為R，則，∴，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由，且，得，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】對(duì)于對(duì)棱相等的三棱錐的外接球問題，要將此三棱錐的棱長(zhǎng)對(duì)應(yīng)某一個(gè)長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，此時(shí)長(zhǎng)方體的外接球即為次三棱錐的外接球.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知梯形，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)；將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．不論何時(shí)，與都不可能垂直B．存在某個(gè)位置，使得平面C．直線與平面所成角存在最大值D．四面體的外接球的表面積的最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用反證法可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分別取、的中點(diǎn)、，連接、，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)四面體的外接球心為，求出四面體外接球半徑的最小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在梯形中，，，，，且，則，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，，，若，且，平面，平面，，事?shí)上，矛盾，故不論何時(shí)，與都不可能垂直，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若平面，平面，則，所以，，而，，即，則、、無法構(gòu)成三角形，不合乎題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，則，，，則，，為的中點(diǎn)，則，，故平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，，設(shè)三棱錐的球心為，由可得，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，四面體的外接球的表面積的最小值為，D選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，易知平面的一個(gè)法向量為，，而，即當(dāng)時(shí)，無最大值，進(jìn)而可知直線與平面所成角無最大值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.19．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，底面ABC是等邊三角形，，點(diǎn)H為的垂心，且側(cè)面MBC，則下列說法正確的是（

）A．B．平面ABHC．MA，MB，MC互不相等D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的體積為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，延長(zhǎng)MH交BC于點(diǎn)D，連接AD，由線面垂直的性質(zhì)可判斷；對(duì)于B，連接BH并延長(zhǎng)交MC于點(diǎn)E，連接AE，由線面垂直的判定可判斷；對(duì)于C，過M作，垂足為O，則平面ABC，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)F，連接MF，可得，由此可判斷；對(duì)于D，由三棱錐為正三棱錐，得時(shí)，的面積最大，平面MBC時(shí)，三棱錐的體積最大，將三棱錐補(bǔ)成正方體，求得三棱錐的外接球半徑R，由球體的體積公式計(jì)算可判斷．【詳解】解：對(duì)于A，如圖，延長(zhǎng)MH交BC于點(diǎn)D，連接AD，因?yàn)镠為的垂心，則，又平面MBC，平面MBC，所以，又，所以平面MAD，又平面MAD，所以，A項(xiàng)正確；對(duì)于B，因?yàn)?，又為等邊三角形，所以D為BC的中點(diǎn)，連接BH并延長(zhǎng)交MC于點(diǎn)E，連接AE，則，因?yàn)槠矫鍹BC，平面MBC，所以，又，所以平面ABH，B項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍭BE，所以，過M作，垂足為O，則平面ABC，又平面ABC，所以，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)F，連接MF，因?yàn)?，所以平面MCF，因?yàn)镸F，平面MCF，則，，得，所以，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，當(dāng)時(shí)，的面積最大，當(dāng)平面MBC時(shí)，三棱錐的體積最大，將三棱錐補(bǔ)成正方體，此時(shí)正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為三棱錐的外接球的直徑，設(shè)三棱錐的外接球直徑為2R，則，即，因此三棱錐的外接球的體積，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB．三、雙空題20．（2022·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）已知等邊的邊長(zhǎng)為2，將其繞著BC邊旋轉(zhuǎn)角度，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到位置．記四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為r，R，當(dāng)四面體的表面積最大時(shí)，______，______．【答案】

##【解析】【分析】先判斷出當(dāng)時(shí)四面體的表面積最大，即可求得；先求出表面積，再得到的中點(diǎn)O為四面體的外接球球心，即可求得，再求出四面體的體積，由即可求得，即可求解.【詳解】易得的面積為定值，又，顯然當(dāng)時(shí)，此時(shí)面積最大，即四面體的表面積最大，此時(shí)；當(dāng)四面體的表面積最大時(shí)，易知四面體的表面積最大值為，設(shè)的中點(diǎn)為O，易知，∴，即O為四面體的外接球球心，∴四面體的外接球半徑，∵，且，∴，∴，由，平面，，可得平面，∴四面體的體積為，又，∴，解得，∴.故答案為：；．21．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，過點(diǎn)作垂直于的平面，記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，設(shè).（1）下列說法中，正確的編號(hào)為________．①截面多邊形可能為四邊形；②；③函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱.（2）當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為_________．【答案】

②③

【解析】【分析】（1）連接，證明平面，探討x取值范圍所對(duì)應(yīng)截面形狀及的表達(dá)式即可求解作答.（2）點(diǎn)P為中點(diǎn)，利用球面的性質(zhì)求出三棱錐的外接球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】（1）在正方體中，連接，如圖，平面，平面，則，，平面，因此，平面，平面，，同理，而，平面，則平面，連接，同理平面，又，當(dāng)平面為平面時(shí)，，解得，當(dāng)平面為平面時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，平面與正方體共點(diǎn)的三個(gè)面相交，截面為三角形，當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得截面為正，令，由得：，解得，則，當(dāng)時(shí)，同理得，當(dāng)時(shí)，平面與正方體的六個(gè)面相交，截面為六邊形，令，則，有，因此，平面截正方體所得截面為三角形或六邊形，①不正確；，，②正確；顯然，有恒成立，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，③正確.（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為中點(diǎn)，令，連，顯然平面，三棱錐的外接球截平面所得小圓圓心為點(diǎn)O，此小圓半徑為，則有三棱錐的外接球球心在直線上，設(shè)球半徑為r，而，球心到平面的距離，于是有：，即，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：②③；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置或者球半徑是解題的關(guān)鍵.22．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，側(cè)面底面ABCD，，若四棱錐存在內(nèi)切球，則內(nèi)切球的體積為_______，此時(shí)四棱錐的體積為_______．【答案】

##

【解析】【分析】過點(diǎn)P作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半徑計(jì)算作答.【詳解】取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，連接PM，PN，MN，如圖，因是正三角形，則，又ABCD是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，即有，，平面，有平面，平面，，而，則，顯然，由球的對(duì)稱性及四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球O得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切MN，PM分別于E，F(xiàn)，有四邊形為正方形，令，而，，則球半徑，四棱錐的表面積為，由得：，整理得：，即，解得，因此，，內(nèi)切球的體積，四棱錐體積.故答案為：；【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個(gè)多面體的表面積為S，如果這個(gè)多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：.23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義：若，，，為球面上四點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，則把以為直徑的球稱為，的“伴隨球”已知，，，是半徑為的球面上四點(diǎn)，，則，的“伴隨球”的直徑取值范圍為______；若，，，不共面，則四面體體積的最大值為______．【答案】

4【解析】【分析】設(shè)為所在球面的球心，則由題可知E、F均是以O(shè)為球心，1為半徑的球面上的點(diǎn)，據(jù)此即可求出EF范圍；根據(jù)(d為點(diǎn)到平面距離，)，求出的最大值即可得體積最大值.【詳解】解：設(shè)為，，，所在球面的球心，．，且，分別是，的中點(diǎn)，，，且，，則、均是以為球心，為半徑的球面上的點(diǎn)，若以為直徑作球，則，即，的伴隨球的直徑取值范圍是；是中點(diǎn)，，為點(diǎn)到平面距離，，又，為點(diǎn)到距離，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定E和F的軌跡，數(shù)形結(jié)合可得EF的范圍；根據(jù)E是AB中點(diǎn)，則A與B到平面CDE的距離相等，據(jù)此將三棱錐A－BCD的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A－CDE體積的2倍，再數(shù)形結(jié)合即可求得最值.對(duì)空間想象能力的要求很高，屬于難題.四、填空題24．（2022·重慶·高二期末）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作，垂足為，設(shè)，利用三角形的邊角關(guān)系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可．【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，所以，所以，EH=，因?yàn)槿忮F的體積為，所以，解得：，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點(diǎn)O作OF⊥AH于點(diǎn)F，則，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，25．（2022·河南·高三開學(xué)考試（理））如圖，在中，，，是的角平分線，沿將折起到的位置，使得平面平面．若，則三棱錐外接球的表面積是________．【答案】【解析】【分析】先利用角平分線及求出各邊長(zhǎng)，進(jìn)而找到球心及球心在平面BCD上的投影，利用半徑相等列出方程，求出半徑，進(jìn)而求出外接球表面積.【詳解】過點(diǎn)作，連接.設(shè)，則，，．在中，由余弦定理可得．因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為CD，所以平面，因?yàn)锽E平面BCD，所以，則，解得：，從而．在中，由余弦定理可得．因?yàn)镃D是∠ACB的角平分線，所以，由正弦定理得：，，而，所以，．因?yàn)?，且，所以．設(shè)外接圓的圓心為，半徑為r，則，點(diǎn)到直線的距離．設(shè)三棱錐外接球的球心為O，半徑為R，則，即，解得：，故三棱錐外接球的表面積是．【點(diǎn)睛】三棱錐的外接球問題，需要先找到球心在一個(gè)平面上的投影，即三角形的外心，進(jìn)而利用半徑相等列出等量關(guān)系，求出答案.26．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，異面直線PA，BC所成角為，，，則該三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到球心的位置，求出半徑，利用外接球表面積公式進(jìn)行求解，注意存在兩種情況，需要分類討論..【詳解】過點(diǎn)A作AD∥BC，過點(diǎn)C作CD∥AB，AD與CD相交于點(diǎn)D，連接PD，因?yàn)锳B⊥BC，所以AD⊥CD，又，所以四邊形ABCD為正方形，所以CD=AD=4，異面直線PA，BC所成角為∠PAD，所以或，因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥AD，又因?yàn)椋?，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)槠矫鍼AD，所以AB⊥PD，故，因?yàn)镻C=8，由勾股定理得：，當(dāng)時(shí)，如圖，在△PAD中，由余弦定理得：，解得：，則，所以，因?yàn)椋訮D⊥平面ABCD，取PB中點(diǎn)O，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，則E為BD中點(diǎn)，連接OE，則OE∥PD，所以O(shè)E⊥平面ABCD，則點(diǎn)O即為該三棱錐外接球的球心，其中，EB=，由勾股定理得：，即半徑，外接球表面積為.當(dāng)時(shí)，如圖，在△PAD中，由余弦定理得：，解得：，則過點(diǎn)P作PN⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠PAN=，故，，因?yàn)锳B⊥平面PAD，平面PAD，所以AB⊥PN，因?yàn)?，所以PN⊥平面ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，根據(jù)△ABC為直角三角形，AC為斜邊，故E為球心O在平面ABC的投影，即OE⊥平面ABCD，過點(diǎn)O作OM⊥PN于點(diǎn)M，連接EN，OP，OC，則OM=EN，OE=MN，OC=OP且為外接球半徑，其中，由余弦定理得：，設(shè)OE=MN=h，由勾股定理得：，即，解得：，代入上式，解得，即半徑，外接球表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】對(duì)于求解立體幾何的外接球問題，需要先找到球心的位置，結(jié)合立體幾何的特征來求解，比如棱柱和圓柱的外接球球心在其中心位置，而稍微難一些的棱柱的外接球問題，需要先找到一個(gè)特殊的平面，找到球心在這個(gè)平面的投影，再找到球心的位置，結(jié)合題干條件求出半徑即可.27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐中，為邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，，，且面面，則三棱錐的外接球的體積為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出DC⊥平面ABC，進(jìn)而找到三角形ABC的外心O1與三角形BCD的外心O2，然后過O1作平面ABC的垂線，過O2作平面BCD的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為外接球心，最后解出答案.【詳解】如圖，因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，且交于BC，而DC⊥BC，所以DC⊥平面ABC，取正三角形ABC的外心（也為重心）O1，過O1引平面ABC的垂線，取直角三角形BCD的外心O1，則O1為BD中點(diǎn)，過O2引平面BCD的垂線，設(shè)兩條垂線交于O，則O為三棱錐的A-BCD的外接球心.取BC中點(diǎn)D，連接AO1,OO2,O2D,O1D，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥DC，且，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以∥.易知三點(diǎn)共線，且AD⊥BC，又因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，且交于BC，所以AD⊥平面BCD，而OO2⊥平面BCD，所以O(shè)1D∥OO2，于是四邊形是矩形，且.連接，在正三角形ABC中，其邊長(zhǎng)為3，所以，由勾股定理：外接球半徑，所以外接球體積.故答案為：.【點(diǎn)睛】多面體外接球心比較常見的一種找法是選取多面體的兩個(gè)特殊面（通常為等邊三角形、等腰三角形和直角三角形），然后找到兩個(gè)面的外心，進(jìn)而通過外心引各自所在面的垂線，垂線的交點(diǎn)即為球心，然后構(gòu)造幾何圖形求出外接球半徑即可，本題比較典型，可以作為范題進(jìn)行總結(jié).28．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】先由平面，得出點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，再由正方體中是等腰直角三角形，設(shè)是中點(diǎn)，則是的外心，取是中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的球心在直線上，計(jì)算出和后得在的延長(zhǎng)線上，求得球半徑后可得表面積．【詳解】解：如圖所示：平面，連接，又為正方形，點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則是等腰直角三角形，是直角頂點(diǎn)，設(shè)是中點(diǎn)，則是的外心，取是中點(diǎn)，則，而平面，平面，三棱錐的外接球的球心在直線上，由已知可計(jì)算，，在的延長(zhǎng)線上，設(shè)，則由得，解得，，外接球表面積：．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求球的表面積，關(guān)鍵是確定球心位置求得球半徑．利用三棱錐的性質(zhì)可得球心位置，三棱錐外接球心一定在過各面外心且與該面垂直的直線上．29．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐中，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】由條件可知和為以為斜邊的直角三角形，則的中點(diǎn)為外接球的球心.過做平面，垂足為，由三棱錐的體積可求出高，根據(jù)三角形全等可證明在的角平分線上，即，由線面垂直的定理可知，從而可計(jì)算，勾股可知的長(zhǎng)，從而計(jì)算外接球的半徑和表面積.【詳解】因?yàn)椋院蜑橐詾樾边叺闹苯侨切?，則的中點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，則為外接球的球心.即為直徑.過做平面，垂足為，連結(jié)，，則，解得：.，，，，則分別為在平面內(nèi)的射影，所以有，又，為公共邊，所以，則，所以在的角平分線上，，，，，所以有平面，平面，則有，因?yàn)?，，所以，則，則故外接球的表面積為.故答案為：30．（2022·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面底面，，，則該三棱錐的外接球表面積為______．【答案】【解析】【詳解】如圖，是三棱錐外接球的球心，是外接圓的圓心，由球的性質(zhì)可得平面；又平面平面，取的中點(diǎn)，連接，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故且,又平面平面，平面，平面，，連結(jié)過點(diǎn)作所以四邊形是平行四邊形，；在中，由正弦定理可得即：設(shè)三棱錐外接球的半徑為在中，故在中，且是的中點(diǎn)，故在中，故在中，故兩邊平方得：解得：所以三棱錐外接球的表面積為故答案為：31．（2022·云南曲靖·二模（文））已知三棱錐三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且，M，N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)間距離的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)成正方體，計(jì)算出內(nèi)切球的半徑以及點(diǎn)到平面的距離，即可求得、兩點(diǎn)間距離的最小值.【詳解】由已知可將該三棱錐補(bǔ)成正方體，連接，如圖所示.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為，外接球球心為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為，易知、、三點(diǎn)均在上，在正方體中，平面，平面，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，，平面，平面，則，同理可證，，平面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則.由等體積法可得，即，由等體積法可得，得，、兩點(diǎn)間距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將三棱錐置入正方體中，數(shù)形結(jié)合得到外接球和內(nèi)切球半徑，是一道有一定難度的題.32．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一期中）已知正三棱錐，球O與三棱錐的所有棱相切，則球O的表面積為_________．【答案】##【解析】【分析】畫出圖形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半徑，求出表面積【詳解】取等邊△ABC的中心E，連接SE，則SE⊥平面ABC，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D，則D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，在SE上找到棱切球的球心O，連接OD，則OD即為棱切球的半徑，過點(diǎn)O作OF⊥SA于點(diǎn)F，則OF也是棱切球的半徑，設(shè)，因?yàn)?，所以求得，由勾股定理得：，且∠ASE=30°，設(shè)OE=h，，SO=3-h，，由題意得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)球O的表面積為；當(dāng)棱切球的半徑最大時(shí)，切點(diǎn)為A，B，C，由于∠ASE=30°，，可求得最大半徑，而當(dāng)時(shí)，，顯然不成立，故舍去，綜上：球O的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】對(duì)于立體幾何中內(nèi)切球，外接球或棱切球問題，要畫出圖形，找到球心和球心在一些特殊平面的投影，利用半徑列出方程，求出半徑，從而求出體積或表面積.33．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的表面上，，，，．若三棱錐的體積為，則球的表面積為__________．【答案】或【解析】【分析】為中點(diǎn)，連接，根據(jù)已知條件可知外接球的球心在過垂直于面的直線上，并求得到面的距離，應(yīng)用線面垂直、面面垂直判定可得面面，則有在面上的射影落在直線上，進(jìn)而可得、兩種情況，分別求出外接球半徑，即可求其表面積.【詳解】由，，則△為等腰直角三角形，若為中點(diǎn)，連接，則，且為面的外接圓圓心，所以外接球的球心在過垂直于面的直線上，由三棱錐的體積為，且，故到面的距離，又，，則面，又面，所以面面，且面面，則在面上的射影落在直線上，又，則或，若外接球的半徑為，，當(dāng)，如下圖示：，，易知，則，所以，可得，即，所以，此時(shí)外接球表面積為；當(dāng)，如下圖示：，，易知，所以，可得，即，所以，此時(shí)外接球表面積為；綜上，外接球表面積為或.故答案為：或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由底面是等腰直角三角形確定棱錐球心的位置，根據(jù)體積求到面的距離，結(jié)合判斷的位置情況，根據(jù)已知條件求出外接球半徑.34．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（理））勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是___________．①勒洛四面體被平面截得的截面面積是②勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是③勒洛四面體的截面面積的最大值為④勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】③④【解析】【分析】求出勒洛四面體被平面截得的截面面積判斷①，③；求出勒洛四面體內(nèi)切球的半徑判斷②，④作答.【詳解】觀察幾何體知，勒洛四面體的最大截面是經(jīng)過正四面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)的平面截勒洛四面體而得，勒洛四面體被平面截得的截面是正及外面拼接上以各邊為弦的三個(gè)弓形，弓形弧是以正各頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑且所含圓心角為的扇形弧，如圖，因此，截面面積為：，①不正確，③正確；由對(duì)稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，如圖，正外接圓半徑，正四面體的高，令正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，②不正確，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，④正確.故答案為：③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.35．（2022·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））以為底的兩個(gè)正三棱錐和內(nèi)接于同一個(gè)球，并且正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為45°，記正三棱錐和正三棱錐的體積分別為和，則__________【答案】##【解析】【分析】作圖后由二面角的定義與勾股定理，列方程求出正三棱錐高與球的半徑