9.2 二項(xiàng)式定理 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)

9.2二項(xiàng)式定理考點(diǎn)二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理:(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*).2.二項(xiàng)式系數(shù):

(k=0,1,2,…,n).3.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng):Tk+1=

an-kbk,它表示展開(kāi)式的第k+1項(xiàng).4.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性:與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即

=

.(2)增減性與最大值①增減性:當(dāng)k<

(n∈N*)時(shí),

隨k的增加而增大,由對(duì)稱(chēng)性知,二項(xiàng)式系數(shù)的后半部分

隨k的增加而減小.②最大值:(i)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)

取得最大值;(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)

與

相等,且同時(shí)取得最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和①(a+b)n展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即

+

+

+…+

=2n;②在(a+b)n的展開(kāi)式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)

an-kbk是(a+b)n的展開(kāi)式中的第k項(xiàng).

(

)(2)(a+b)n的展開(kāi)式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,b無(wú)關(guān).

(

)(3)(a+b)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=

an-kbk中的a和b不能互換.

(

)(4)二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)就是二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng).

(

)2.若(x+2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則

=

.3.

的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

(用數(shù)字作答).×√√×60題型一二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)和特定項(xiàng)的系數(shù)典例1

(2025屆安徽蚌埠開(kāi)學(xué)調(diào)研,13)

(2x-y)5的展開(kāi)式中x2y4的系數(shù)為

.80解析

(2x-y)5=

(2x-y)5-2y(2x-y)5,二項(xiàng)式(2x-y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=

(2x)5-k(-y)k=

·25-k·(-1)kx5-kyk,令k=3,得T4=

·22·(-1)3x2y3=-40x2y3,∴

(2x-y)5的展開(kāi)式中x2y4的系數(shù)為-2×(-40)=80.解題技巧

若要出現(xiàn)x2y4,則可能是

·x3y4或(-2y)·x2y3,而(2x-y)5的展開(kāi)式中x,y的指數(shù)和只能是5,所以排除

·x3y4.變式訓(xùn)練1-1

(設(shè)問(wèn)條件變式)(2025屆江蘇南京六校調(diào)研,12)已知

(n∈N*)的展開(kāi)式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

.135解析

依題意知

=6,解得n=6,

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=

(3x)6-k

=36-k

,令6-

=0,得k=4,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為36-4

=135.變式訓(xùn)練1-2

(2025屆湖南師大附中月考,12)(x+3y-1)6的展開(kāi)式中x2y的系數(shù)為

.-180解析

(x+3y-1)6=[(x+3y)-1]6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為

(x+3y)6-r(-1)r,令6-r=n,則(x+3y)n=

xn-t3tyt,令

則n=3,即6-r=3,即r=3,則展開(kāi)式中含x2y的項(xiàng)為

·(-1)3·

·3x2y=-180x2y,故x2y的系數(shù)為-180.歸納總結(jié)

(a+b+c)n的展開(kāi)式中特定項(xiàng)(特定項(xiàng)系數(shù))的求解方法

題型二二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和典例2

(多選)(2025屆浙江杭州十四中月考,6)已知(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,則

(

)A.a1=-18B.a9=-29C.a1+a2+…+a9=-1D.a1+a3+a5+a7+a9=-

ABD解析

A、B選項(xiàng),(1-2x)9的通項(xiàng)為T(mén)k+1=

(-2)kxk,當(dāng)k=1時(shí),a1=

(-2)1=-18,當(dāng)k=9時(shí),a9=

(-2)9=-29,A、B正確;C選項(xiàng),在(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中,令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=(1-2)9=-1,令x=0,得a0=(1-0)9=1,故a1+a2+…+a9=-1-1=-2,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng),在(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9=(1+2)9=39,又a0+a1+a2+…+a9=(1-2)9=-1,故a1+a3+a5+a7+a9=-

,D正確.故選ABD.歸納總結(jié)

1.(a+b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.可由展開(kāi)式求二項(xiàng)式系數(shù)

的和或已知二項(xiàng)式系數(shù)的值反求n.2.賦值法求各項(xiàng)系數(shù)的和(1)對(duì)形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,對(duì)于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的

系數(shù)的和為g(1),奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

[g(1)+g(-1)],偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

[g(1)-g(-1)].變式訓(xùn)練2-1

(已知條件變式)(2024山東青島質(zhì)檢,13)設(shè)m為整數(shù),(x+y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)

式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若11a=6b,則m=

.5解析

(x+y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a=

,(x+y)2m+1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b=

=

,因?yàn)?1a=6b,所以11

=6

,即11×

=6×

,解得m=5.變式訓(xùn)練2-2

(關(guān)鍵元素變式)(多選)(2024重慶七校聯(lián)考,11)已知(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+

…+a2023x2023+a2024x2024,則

(

)A.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.

+

+

+…+

+

=-1D.a1+2a2+3a3+…+2023a2023+2024a2024=4048BCD解析

對(duì)于A,由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可知二項(xiàng)式(1-2x)2024的系數(shù)最大為

,易知應(yīng)為第1013項(xiàng),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,令x=1,可得(1-2)2024=a0+a1+a2+…+a2023+a2024=1,即展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1,B

正確;對(duì)于C,令x=0,可得a0=1,令x=

,可得

=a0+

+

+…+

+

=0,所以

+

+

+…+

+

=-1,C正確;對(duì)于D,將等式(1-2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2023x