2.6 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

2.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)1對(duì)數(shù)及其運(yùn)算1.對(duì)數(shù)的定義一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)

數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則性質(zhì)loga1=0;logaa=1

=N;logaan=n(a>0且a≠1,N>0,n∈R)換底公式logbN=

(a,b均大于0且不等于1,N>0)相關(guān)結(jié)論:logab=

;logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)運(yùn)算法則條件a>0且a≠1,M>0,N>0結(jié)論loga(MN)=logaM+logaNloga

=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是(0,+∞).提醒

對(duì)數(shù)函數(shù)的3個(gè)特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)自變量x>0;(3)系數(shù)為1.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象

性質(zhì)定義域:(0,+∞)值域:R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即恒有l(wèi)oga1=0當(dāng)x>1時(shí),恒有y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),恒

有y<0當(dāng)x>1時(shí),恒有y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),恒

有y>0在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)3.反函數(shù)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的

定義域與值域正好互換,圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

知識(shí)拓展

對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較如圖,作直線y=1,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0<c<d<1<a<

b.

由此可得到:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaN.

(

)(2)log3x2=2log3x.

(

)(3)若a>0,且a≠1,b>0,m,n∈R,n≠0,則lo

bm=

logab.

(

)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1).

(

)2.已知log7[log3(log2x)]=0,那么x等于

.3.已知a=log0.23,b=20.3,c=0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系為

.4.設(shè)alog29=3,則3-2a=

.××√×8a<c<b題型一對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例1在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=a-x,y=logax+a(a>0,且a≠1)的圖象可能是

(

)

A解析

對(duì)于A、B,若y=a-x=

的圖象正確,則0<a<1,所以y=logax+a單調(diào)遞減,又x=1時(shí),y=loga1+a=a>0,所以A正確、B錯(cuò)誤;對(duì)于C、D,若y=a-x=

的圖象正確,則a>1,所以y=logax+a單調(diào)遞增,所以C、D均錯(cuò)誤.故選A.變式訓(xùn)練1-1

(關(guān)鍵元素變式)若不等式(x-1)2<logax(a>0,且a≠1)對(duì)任意x∈(1,2]恒成立,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

(

)A.(1,2]

B.(1,2)

C.(1,

]

D.(1,

)B解析

若0<a<1,則當(dāng)x∈(1,2]時(shí),logax<0,又當(dāng)x∈(1,2]時(shí),(x-1)2>0,所以(x-1)2<logax無(wú)解;若a>1,則

當(dāng)x∈(1,2]時(shí),logax>0,且當(dāng)x∈(1,2]時(shí),(x-1)2>0,令f(x)=logax(a>1),g(x)=(x-1)2,畫出兩函數(shù)

的圖象,如圖所示,

因?yàn)?x-1)2<logax對(duì)任意x∈(1,2]恒成立,所以loga2>1,所以1<a<2.綜上可得,a的取值范圍為(1,2).故選B.題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1解對(duì)數(shù)方程、不等式典例2滿足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合為

.解析

因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在(0,+∞)上是增函數(shù),所以

解得

<x<2.所以滿足要求的x的取值集合為

.歸納總結(jié)

1.對(duì)數(shù)不等式的類型及解法不等式a>10<a<1logaf(x)>logag(x)

logaf(x)>b=logaabf(x)>ab0<f(x)<ab2.對(duì)數(shù)方程的類型及解法方程logaf(x)=logag(x)logaf(x)=b解法

f(x)=ab變式訓(xùn)練2-1

(設(shè)問條件變式)(2025屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)開學(xué)考,4)已知函數(shù)f(x)=|log3x|,

若a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是

(

)A.[2

,+∞)

B.(2

,+∞)C.[3,+∞)

D.(3,+∞)D解析

f(x)=|log3x|=

若0<a<b且f(a)=f(b),則必有0<a<1<b,(先確定a、b的范圍)則有f(a)=-log3a,f(b)=log3b,(由a、b的范圍確定f(a)、f(b)的表達(dá)式)又由f(a)=f(b),得-log3a=log3b,則log3a+log3b=log3(ab)=0,必有ab=1,則a+2b=a+

,y=a+

在(0,1)上單調(diào)遞減,所以y>1+

=3,即a+2b>3,因此a+2b的取值范圍是(3,+∞).故選D.角度2對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用典例3

(2025屆山東德州期中聯(lián)考,6)已知關(guān)于x的函數(shù)y=lo

(x2+ax+a-1)在[-3,-2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A.(-∞,4]

B.(-∞,4)

C.(-∞,3]

D.(-∞,3)D解析

令t=x2+ax+a-1,則函數(shù)y=lo

(x2+ax+a-1)由函數(shù)y=lo

t和t=x2+ax+a-1復(fù)合而成,y=lo

t在定義域上單調(diào)遞減,t=x2+ax+a-1在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,則有

解得a<3.故選D.歸納總結(jié)

求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有

問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由

哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”在解題中的應(yīng)

用.變式訓(xùn)練2-2

(命題推廣變式)(多選)(2025屆河南洛陽(yáng)一高開學(xué)考,9)關(guān)于函數(shù)f(x)=log3

,下列結(jié)論正確的是

(

)A.定義域?yàn)?-∞,-1)∪(3,+∞)B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱D.f(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞增ACD解析

對(duì)于A,由

>0得x<-1或x>3,故定義域?yàn)?-∞,-1)∪(3,+∞),A正確;對(duì)于B,因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)不是偶函數(shù),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)閒(1-x)+f(1+x)=log3

+log3

=log3

+log3

=log3

=log31=0,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,C正確;對(duì)于D,f(x)=log3

=log3

,因?yàn)楹瘮?shù)t=1-

在區(qū)間(3,+∞)上單調(diào)遞增,且y=log3x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,(同增異減)所以f(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞增,D正確.故選ACD.題型三指數(shù)式、對(duì)數(shù)式大小的比較1.比較指數(shù)式大小的常用方法一是單調(diào)性法,不同底的指數(shù)式化同底后應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,所以能夠化

為同底的盡可能化為同底;二是取中間值法,不同底、不同指數(shù)的指數(shù)式比較大小時(shí),先與中間值(特別是0,1)比較

大小,然后得出大小關(guān)系;三是圖解法,根據(jù)指數(shù)式的特征,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象,借助圖

象比較大小.2.比較對(duì)數(shù)式大小的類型及相應(yīng)方法

典例4

(2019課標(biāo)Ⅰ,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則

(

)A