2.1 函數(shù)的概念及表示 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

2.1函數(shù)的概念及表示命題形式本專題內(nèi)容一般不會命制單一知識點(diǎn)的考題,常綜合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

命題,或?qū)⒑瘮?shù)的性質(zhì)融入函數(shù)的圖象進(jìn)行考查,函數(shù)的零點(diǎn)是考查的熱點(diǎn)之一,需要結(jié)

合導(dǎo)數(shù)、不等式等知識進(jìn)行求解.針對本專題的知識特點(diǎn),備考時首先將學(xué)習(xí)重點(diǎn)放在以下幾方面:函數(shù)的基本性

質(zhì)、二次函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)模型

及綜合應(yīng)用.其次對常見的結(jié)論或方法要加強(qiáng)記憶與理解,例如:①基本初等函數(shù)的解析

式;②常見函數(shù)定義域的求法;③函數(shù)解析式的求法;④函數(shù)圖象的變換;⑤周期函數(shù)的

常用結(jié)論;⑥函數(shù)零點(diǎn)的常見求法等.最后,要注重函數(shù)知識與不等式、方程、導(dǎo)數(shù)知識

的綜合問題,對于函數(shù)模型及綜合應(yīng)用,則需掌握解題思路與常見的幾類函數(shù)模型.考點(diǎn)1函數(shù)的概念及表示1.函數(shù)的有關(guān)概念函數(shù)的概念一般地,設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)函數(shù)的記法y=f(x),x∈A,x叫做自變量,與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值定義域x的取值范圍A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域值域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域提醒

直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)y=f(x)的圖象有0或1個交點(diǎn).2.函數(shù)的三要素:定義域,對應(yīng)關(guān)系,值域.提醒

1.若判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù),只要看定義域與對應(yīng)關(guān)系是否完全相同

即可.盡管有的兩個函數(shù)的值域和對應(yīng)關(guān)系相同,但兩個函數(shù)仍不是同一個函數(shù),例如,

函數(shù)f(x)=|x|,x∈[0,2]與函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-2,0].2.判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù)時,若解

析式可以化簡,則要注意化簡過程的等價性.3.函數(shù)的常用表示方法:解析法、圖象法、列表法.考點(diǎn)2分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于自變量x的不同取值區(qū)間,有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的

函數(shù)稱為分段函數(shù).提醒

分段函數(shù)是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,

值域是各段值域的并集.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)對于函數(shù)f:A→B,其值域是集合B.

(

)(2)兩個函數(shù)的定義域和值域分別對應(yīng)相同就表示同一個函數(shù).

(

)(3)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1最多有一個交點(diǎn).

(

)2.已知f(x)=

+

,若f(-2)=0,則a的值為

.3.函數(shù)f(x)=

的定義域是

.4.已知f(x)=

則f(f(-3))=

.××√1(-∞,1)

-1題型一函數(shù)的定義域角度1求給定解析式的函數(shù)的定義域以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則,列出不等式或不等式組求解.對于實(shí)際

問題,定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.典例1若函數(shù)f(x)=

的定義域?yàn)榧螹,則M=

(

)A.[2,+∞)

B.(3,+∞)C.[2,3)

D.[2,3)∪(3,+∞)D解析

由已知得

解得x≥2且x≠3,故M=[2,3)∪(3,+∞).故選D.角度2求抽象函數(shù)定義域的方法1.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出;2.若函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]上的值域.典例2若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)g(x)=f(x+2)的定義域?yàn)?/p>

(

)A.[-2,2]

B.[0,2]

C.[2,6]

D.[2,4]A解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,4],所以0≤x+2≤4,解得-2≤x≤2,所以函數(shù)g(x)=f(x+2)的定

義域?yàn)閇-2,2].故選A.變式訓(xùn)練1-1已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)y=f(2x-1)的定義域?yàn)?/p>

(

)A.

B.

C.[-1,1]

D.[3,5]B解析

由函數(shù)y=f(x+1)的定義域?yàn)閇1,2]知2≤x+1≤3.因此函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇2,3].在函數(shù)y=f(2x-1)中,2≤2x-1≤3,解得

≤x≤2,故選B.變式訓(xùn)練1-2若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,4],則y=

的定義域?yàn)?/p>

(

)A.(1,8]

B.[-4,1)∪(1,8]C.(1,2]

D.[-1,1)∪(1,2]D解析

由題意得

解得-1≤x≤2且x≠1.故選D.題型二函數(shù)的解析式函數(shù)解析式的求法1.待定系數(shù)法.若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等),則可用待定系數(shù)法.2.換元法.主要適用于求解:已知f(g(x))的解析式,求函數(shù)f(x)的解析式.其求解的步驟如

下:(1)先令g(x)=t,求出t的取值范圍;(2)反解出x,用含t的代數(shù)式表示x;(3)將f(g(x))中的x換為用t來表示,可求得f(t)的解析式,從而求得f(x).3.配湊法.由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),

便得f(x)的解析式.4.方程組法.主要適用于:已知f(x)與f(-x)、f

、f

等之間的關(guān)系,求f(x)解析式.例如:若條件是關(guān)于f(x)與f

的方程式,把

替代x得到第二個式子,與原式聯(lián)立,通過解方程組的方法,求出f(x)的解析式.5.賦值法.f(x)是關(guān)于x,y兩個變量的方程式,可對變量賦值求出f(x).典例3

(1)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則f(x)=

.(2)若f(

+1)=x+2

,則f(x)的解析式為

.x2-x+1f(x)=x2-1(x≥1)解析

(1)由f(x)是二次函數(shù)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,則有

解得

所以f(x)=x2-x+1.(2)解法一:換元法令

+1=t,則x=(t-1)2,t≥1.所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).解法二:配湊法f(

+1)=x+2

=x+2

+1-1=(

+1)2-1.因?yàn)?/p>

+1≥1,所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).變式訓(xùn)練2-1

(方程組法)已知函數(shù)f(x)對不為0的實(shí)數(shù)x均滿足2f(x)+f

=3x,則f(x)的

解析式為

.

f(x)=2x-

(x≠0)解析

由2f(x)+f

=3x(x≠0)①,得2f

+f(x)=

(x≠0)②,由2×①-②得3f(x)=6x-

(x≠0),所以f(x)=2x-

(x≠0).變式訓(xùn)練2-2

(賦值法)已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)對任意實(shí)數(shù)x,y恒成立,且f(0)=1,則f(x)

的解析式為

.f(x)=x2+x+1解析

令y=x,則f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1),因?yàn)閒(0)=1,所以f(x)-x(x+1)=1,所以f(x)=x2+x+1.題型三分段函數(shù)的解題策略角度1分段函數(shù)的求值問題1.已知自變量求函數(shù)值:判斷自變量所在區(qū)間,然后代入對應(yīng)的解析式.2.已知函數(shù)值求自變量:根據(jù)自變量x的取值范圍選擇解析式,利用函數(shù)值列方程求解.典例4設(shè)f(x)=

則f(9)的值為

(

)A.9

B.11

C.28

D.14B解析

f(9)=f(f(14))=f(2×14-15)=f(13)=2×13-15=11.故選B.變式訓(xùn)練3-1函數(shù)f(x)=

當(dāng)f(f(a))=8時,實(shí)數(shù)a=

.8解析

令f(a)=t,當(dāng)t≤1時,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去),當(dāng)t>1時,

-5=8,解得t=

(舍去),因此t=-4,所以f(a)=-4,當(dāng)a≤1時,a2+2a=(a+1)2-1≥-1,故a2+2a=-4無解,舍去,當(dāng)a>1時,

-5=-4,解得a=8,符合題意.綜上所述,a=8.角度2與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式求解.典例5已知f(x)=

則使f(x)≥-1成立的x的取值范圍是

(

)A.[-2,2]

B.[-2,0]

C.[-2,2)

D.(0,2]A解析

當(dāng)x≤0時,f(x)=2x+3,不等式f(x)≥-1可化為2x+3≥-1,解得x≥-2,又x≤0,所以-2≤x≤0;當(dāng)

x>0時,f(x)=-(x-1)2,不等式f(x)≥-1可化為-(x-1)2≥-1,解得0≤x≤2,又x>0,所以0<x≤2.綜

上,使不等式f(x)≥-1成立的x的取值范圍是[-2,2].故選A.變式訓(xùn)練3-2已知a≠0,f(x)=

若f(1-a)=f(1+a),則a的值為

.-

解析

f(1-a)=f(1+a)可化為

或

解得

或

因此a=-

.故實(shí)數(shù)a的值為-

.角度3分段函數(shù)值域的求法1.根據(jù)自變量的不同范圍,求出每段函數(shù)的值域,每段函數(shù)的值域的并集就是函數(shù)的值

域.2.借助函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的值域,解含有參數(shù)的值域問題常用此法.典例6

已知函數(shù)f(x)=

在[0,a]上的值域?yàn)閇0,1],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.[1,1+

]解析

f(x)=

的圖象如圖,

由x2-2x