2025年浙江桐鄉(xiāng)市高三三模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁絕密★考試結(jié)束前2025年5月桐鄉(xiāng)市高三模擬測試數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的極小值是，則實數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．44．若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列，則“，，”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)直線與函數(shù)的圖象的公共點從左至右依次為，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的最小正周期為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，，直線是的內(nèi)角平分線，，，則的離心率（

）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，4，5，6，8，10，11的下四分位數(shù)是3B．若一組樣本數(shù)據(jù)的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為C．將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變D．以擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)代換后的經(jīng)驗回歸方程為，則，10．已知四棱錐，底面是邊長為的正方形，底面，，點滿足，，下列說法正確的是（

）A．存在點，使得B．當(dāng)時，點到平面的距離為C．當(dāng)平面平面時，D．當(dāng)二面角為時，11．已知定義在上的函數(shù)，集合對于任意，在使得的所有中，下列說法正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．存在在處取到最大值 D．存在，使得在單調(diào)遞減非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，若，則．13．將個相同的球放入編號為、、的個盒子中，要求每個盒子至少放個球，且編號為的盒子中球數(shù)不超過個，則不同的放法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．記表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項和，則.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．甲、乙兩選手進行羽毛球比賽，比賽采用5局3勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，求：(1)賽完4局且甲獲勝的概率；(2)在第3局乙獲勝的情況下，最終是甲獲勝的概率．16．在銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求；(2)若，，，求的面積．17．如圖，已知，平面平面，，，，點為梯形內(nèi)（包括邊界）一個動點，且平面．(1)求點的軌跡長度；(2)當(dāng)線段最短時，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，存在，使得，求證：；(3)當(dāng)時，判斷的零點個數(shù)，并作出證明．19．在平面直角坐標(biāo)系中，將每個點繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角的變換稱為旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換后變成點，則(1)在的旋轉(zhuǎn)變換下，若點變成點，直線變成直線，求：的坐標(biāo)和直線的斜率；(2)已知曲線是由平面直角坐標(biāo)系下焦點在軸上的拋物線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜拋物線的方程．①求斜拋物線的焦準(zhǔn)距；②已知在斜拋物線上，按如下規(guī)則依次構(gòu)造點列：過點作斜率為的直線交于點，再過點作斜率為的直線交于點，記的面積為．求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】求出函數(shù)定義域化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】由，得，，而，所以.故選：A2．B【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運算求出，再求出的模.【詳解】由，得，所以.故選：B3．C【分析】分、、討論，利用導(dǎo)數(shù)求出極小值可得答案.【詳解】，令得或，當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)即時，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，得在處取得極小值，即，解得；當(dāng)即時，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，得在處取得極小值，即，不滿足題意；綜上，實數(shù).故選：C.4．D【分析】由指數(shù)運算可得，再由二次函數(shù)可得的最大值.【詳解】因為，所以即，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為，故選：D.5．A【分析】根據(jù)充分必要條件的判斷方法,分充分性和必要性,分別判斷.【詳解】充分性：若對，，都有，則令,得,即，因為為常數(shù),所以數(shù)列為等差數(shù)列;必要性:等差數(shù)列不一定滿足,,,例如:當(dāng)?shù)炔顢?shù)列通項公式為時,,,此時,所以,,”是“數(shù)列為等差數(shù)列的充分不必要條件.故選：A6．D【分析】求出當(dāng)時，的解析式，利用函數(shù)的圖象對稱性及給定等式建立方程求得值.【詳解】當(dāng)時，，，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，由，解得，由，得，整理得，而，解得.故選：D7．B【分析】根據(jù)給定條件，利用周期可得，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出，進而求出函數(shù)值.【詳解】依題意，，由為奇函數(shù)，得，且，解得，由，得，解得，因此，，所以.故選：B8．A【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合中位線可求，故可求離心率.【詳解】不妨設(shè)在右支上，則，因為，故，故，取的中點為，則，而，在直線上，而，故在的延長線上，由，可得，而為角平分線，故，故，故，故，所以即，故，故選：A.9．ACD【分析】利用下四分位數(shù)的定義可判斷A選項；利用樣本系數(shù)的定義即可判斷B選項；利用方差的性質(zhì)可判斷C選項；利用回歸分析可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，所以，這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是，故A正確；對于B選項，由題意得，其計算公式與相關(guān)系數(shù)的公式不同，則無法得到其相關(guān)系數(shù)的值，故B錯誤；對于C選項，將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，滿足方差的性質(zhì)，故C正確；對于D選項，以擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)代換后的經(jīng)驗回歸方程為，即，可得，故，，故D正確.故選：ACD.10．AC【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用空間向量法逐項判斷即可.【詳解】因為底面，，底面是邊長為的正方形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，其中，故點，對于A選項，，，若存在點，使得，則，解得，合乎題意，所以，存在點，使得，A對；對于B選項，當(dāng)時，點，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，可得，且，所以，點到平面的距離為，B錯；對于C選項，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，則，若平面平面，則，解得，C對；對于D選項，平面的一個法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，則，若二面角為，則，解得，D錯.故選：AC.11．ABC【分析】利用題中集合的定義可判斷A選項；利用函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷B選項；構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合可判斷C選項；利用函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合題中定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，且，根據(jù)題中定義可得，A對；對于B選項，任取、且，則存在，則，根據(jù)題意，對任意的，，則，同理，對任意的，，即，故，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B對；對于C選項，若存在函數(shù)在處取到最大值，構(gòu)造函數(shù)，如下圖所示：由圖可知，函數(shù)在處取得最大值，且對任意的，當(dāng)時，，合乎題意，C對；對于D選項，若存在，使得在單調(diào)遞減，對任意的，當(dāng)時，，所以，與已知條件矛盾，D錯.故選：ABC.12．【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式可求的值.【詳解】因為，故，即，故答案為：13．【分析】對編號為的盒子中球數(shù)進行分類討論，確定編號為的盒子中的球數(shù)，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若編號為的盒子中球數(shù)為，則編號為的盒子中的球數(shù)可以為、、、，有種情況，若編號為的盒子中球數(shù)為，則編號為的盒子中的球數(shù)可以為、、，有種情況，綜上所述，不同的放法種數(shù)為種.故答案為：.14．【分析】分析得出，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，可化簡數(shù)列的表達式，求出，結(jié)合題中定義可求得的值.【詳解】因為數(shù)列滿足，且，則，當(dāng)且時，，也滿足，故對任意的，，故，，當(dāng)時，，則，所以，此時，，所以，，故.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)第4局甲勝，前3局甲勝兩局可求概率；（2）先求第3局乙獲勝的概率，再求出第3局乙獲勝且甲最終獲勝的概率，從而可得所求的條件概率.【詳解】（1）賽完4局，甲獲勝，則第4局甲勝，前3局甲勝兩局，設(shè)事件為“賽完4局且甲獲勝”，則.（2）設(shè)為“甲獲勝”，為“第3局乙獲勝”，則，事件包含兩種情況，第3局乙獲勝，第4局比賽后最終甲獲勝和第3局乙獲勝，第5局比賽后最終甲獲勝，其中第3局乙獲勝，第4局比賽后最終甲獲勝，則乙只在第3局獲勝，概率為，第3局乙獲勝，第5局比賽后最終甲獲勝，則第1,2,4局中，有1局乙獲勝，有2局甲獲勝，第5局甲獲勝，概率為，而，故.16．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡得出，結(jié)合正弦定理可求得結(jié)果；（2）由平面向量的減法可得出，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合與余弦定理可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由及正弦定理可得，即，即，即，因為為銳角，故，可得，由正弦定理得，故.（2）因為，則，故，所以，即，即①，由余弦定理可得，即②，聯(lián)立①②可得，，故，因此，.17．(1)(2)或.【分析】（1）利用空間中的垂直關(guān)系可得平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系后利用直線的方向向量和平面的法向量可求的軌跡方程，從而可求軌跡長度；（2）利用向量法結(jié)合直線與平面所成角的正弦值為求得的長度，再結(jié)合向量法可求到直線的距離，從而可求體積.【詳解】（1）因為平面平面，，平面平面，平面，故平面，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，因點為梯形內(nèi)（包括邊界）一個動點，可設(shè)，則，又，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，因平面，則，故，即，取，則，取，則，故的軌跡長度為.（2）取的中點為，連接，連，由（1）可得的軌跡為.又由（1）可得平面，而平面，故，因，若線段最短，則最短，此時有，而，故點為的中點，故，設(shè)平面的法向量為，而，，故，故可取，因直線與平面所成角的正弦值為，而，則得，故，故或，易得平面，則點到平面的距離為或，又，，故到直線的距離為，易得，故，故三棱錐的體積為或者為.18．(1)(2)證明見解析(3)2，證明見解析【分析】（1）先求出曲線的方程，然后求導(dǎo)得到切線斜率，進而求出切線方程.（2）根據(jù)已知條件得到關(guān)于的等式，然后進行化簡，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明答案.（3）根據(jù)已知條件求出函數(shù)的表達式，然后對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求出函數(shù)的最小值是否小于0，從而判斷出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，對函數(shù)求導(dǎo)得，則曲線在處的切線斜率為.而，得到曲線在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，.因為存在，使得.所以，化簡得：，，可求得，.將代入得：，化簡得.進一步化簡得：，令，，令，則，令，，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即得證，因為，所以令，故.（3）因為，所以.對函數(shù)求導(dǎo)得：.令，解得，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在處取極小值為.令，，對求導(dǎo)：.在上恒成立，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以有兩個零點.19．(1)，(2)①焦準(zhǔn)距為；②證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中旋轉(zhuǎn)變換公式可求及.（2）①根據(jù)題設(shè)中變換公式得旋轉(zhuǎn)前的曲線方程為，故可求焦準(zhǔn)距；②根據(jù)題設(shè)中的旋轉(zhuǎn)變換得旋轉(zhuǎn)前后直線的斜率關(guān)系，以旋轉(zhuǎn)前的拋物線為研究對象，通過斜率關(guān)系得的橫坐標(biāo)滿足，再結(jié)合距離公式等得面積，求和后