中考數(shù)學(xué) 圓綜合選填壓軸40題

1/69中考數(shù)學(xué)必刷題圓綜合選填壓軸40題TOC\o"1-3"\h\u一、圓中長度問題 2二、圓中路徑長度問題 3三、圓中最值問題 5四、圓中面積問題 8五、圓與幾何綜合 10

一、圓中長度問題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，，.是邊的中點，過點作的平行線，交以為直徑的于點，交于點，連接并延長，交于點，則的長為(

)A． B． C． D．2．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測）如圖，中，，點O為的外心，，，是的內(nèi)切圓．則的長為（

）A．2 B．3 C． D．3．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，弦，，若，點是弦的中點，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為的上，為上一動點，將射線繞逆時針旋轉(zhuǎn)交于，取的中點，求在的運(yùn)動過程中的路徑長為（

）A． B． C． D．5．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，以為直徑的交于M，N，交于E，且平分，連接交于F，若，，則的長為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．4.86．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，的兩條高線交于點F，過B，C，E三點作，延長交于點G，連接．設(shè)，則下列線段中可求長度的是（）A． B． C． D．二、圓中路徑長度問題7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，，．點在以為直徑的半圓上運(yùn)動，為上一點，且，當(dāng)點P沿半圓從點A運(yùn)動至點B時，點M運(yùn)動的路徑長是（

）

A． B． C． D．8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，中，，D在線段上，連，以為的直徑交于P，，當(dāng)D在線段上自C向B運(yùn)動的過程中，點P運(yùn)動的路徑長是（

）A．3 B． C． D．9．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，為直徑，且過半徑的中點H，過點A的切線交的延長線于G，且，點E為上一動點，于點F，當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點C時，點F經(jīng)過的路徑長是（

）A．π B．π C．π D．π10．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）在矩形中，，，點、分別是邊、的中點，某一時刻，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒4個單位長度的速度向點勻速運(yùn)動；同時，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運(yùn)動，其中一點運(yùn)動到矩形頂點時，兩點同時停止運(yùn)動，連接，過點作的垂線，垂足為．在整個運(yùn)動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是．11．（2024·四川眉山·二模）個半徑均為的硬幣兩兩外切，如圖所示，若將左邊第一個硬幣沿著剩下硬幣的圓周滾動一圈回到原來的位置（其余個硬幣固定不動），那么這個硬幣在滾動時圓心移動的路徑長為（

）A． B． C． D．三、圓中最值問題12．（2024·山東淄博·二模）如圖，在中，，是以斜邊為直徑的半圓上一動點，為上一點且滿足，連接，則的最小值為．13．（2024·江蘇連云港·三模）如圖，在以為直徑半圓上，，，點是弧上的一動點，，連接，則的長的最小值是．14．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，直線與相切于點A，點C為上一動點，過點C作，垂足為B，已知的半徑為，則的最大值為．15．（2024·湖北武漢·二模）如圖，在半圓O中，直徑，點P為半圓O圓弧上一動點，則的最大值為．16．（2024·四川成都·二模）如圖，在中，，是以為直徑的圓，點D為上一點，連接，點E是的中點，連接，則的最小值是．17．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）如圖，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，D，P為上一動點，Q為弦上一點，．若點D的坐標(biāo)為，則的最小值為．18．（2024·浙江寧波·一模）如圖，是中的兩條弦，相交于點，且，點為劣弧上一動點，為中點，若，連接，則最小值為．

19．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，中，，，，以為直徑作圓，圓心為，過圓上一點作直線的垂線，垂足為，則的最大值是．20．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，是的直徑，是的弦，且與交于點，過分別作垂線，垂足記作和．現(xiàn)有下列結(jié)論：若，，則的最小值為3；若，，則；若，，則的最大值為；若，，為定值．其中正確的為（

）．A． B． C． D．四、圓中面積問題21．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，O是斜邊的中點，以點O為圓心的半圓O與相切于點D，交于點E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．22．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點D，，，，則的面積是（

）A．10 B． C． D．23．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在邊長為1的正五邊形內(nèi)，所有到點的距離大于1且到點的距離小于1的點組成圖形的面積是（

）A． B． C． D．24．（2024·安徽滁州·模擬預(yù)測）圖1是一張圓形紙片；如圖2，將圓形紙片作兩次對折，且折痕，垂足為點；如圖3，把紙片展開后，再將圓形紙片沿弦折疊，使兩點，重合，折痕與相交于點，連接，，，．下列四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．四邊形是菱形 B．為等邊三角形C． D．25．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，點C在以為直徑的半圓上，，，點D在線段上運(yùn)動，點E與點D關(guān)于對稱，于點D，并交的延長線于點F．下列說法正確的是（）A．B．線段的最小值為C．當(dāng)時，與半圓相切D．當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點B時，線段掃過的面積是五、圓與幾何綜合26．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為．27．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在直線上，點在線段上，且，點為邊上一動點，則的最小值為．28．（2024·內(nèi)蒙古興安盟·二模）如圖，在正方形中，點M，N分別為上的動點，且，交于點E，點F為的中點，點P為上一個動點，連接，若，則的最小值為．

29．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上（不與頂點重合），且滿足，連接，交于點．，分別是邊，的中點，連結(jié)接，．若正方形的邊長為，則的最小值為．30．（2024·山東德州·三模）如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內(nèi)的動點，點P是邊上的動點，且．連接，則的最小值為．31．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，，分別是射線，射線上的點，，的垂直平分線交于點，當(dāng)點落在上時，長的最小值為．32．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，點P為邊上一動點，連接交對角線于點E，過點E作，交于點F，連接交于點G，在點P的運(yùn)動過程中，面積的最小值為．33．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，，與邊、對角線均相切，過點作的切線，切點為，則切線長的最小值為（

）A．6 B．7 C． D．34．（2024·安徽蚌埠·二模）如圖，在正方形中，，M，N分別為邊，的中點，E為邊上一動點，以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交于點F，P為的中點，Q為線段上任意一點，則長度的最小值為（

）

A． B． C． D．35．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段，點為的中點，動點到點的距離是1，連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長度的最大值是（

）A．3 B．4 C． D．36．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點是對角線上一點（點不與、重合），連接并延長交于點，過點作交于點，連接、，交于點，給出四個結(jié)論：①；②；③；④；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④37．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，的對角線交于點O，E是邊上的動點，連接交于點F．若，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A．的最小值是B．總小于C．當(dāng)點E是的中點時，的面積是D．周長的最小值是38．（2024·湖南邵陽·二模）如圖所示，在正方形中，點在邊上，連接，過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，點是線段上的一動點，連接，將沿翻折得到，連接．若，則長度的最小值是（

）A． B． C．4 D．39．（2024·安徽·三模）如圖，矩形中，，，P為邊上一點（不與A、D重合），連接，過C點作，垂足為點E，點F為的中點，則的最小值是（

）

A．3 B． C． D．40．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）動點在等邊的邊上，，連接，于，以為一邊作等邊，的延長線交于，當(dāng)取最大值時，的長為（）A．2 B． C． D．中考數(shù)學(xué)必刷題圓綜合選填壓軸40題解析一、圓中長度問題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，，.是邊的中點，過點作的平行線，交以為直徑的于點，交于點，連接并延長，交于點，則的長為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形中位線性質(zhì)，由是的直徑可得，進(jìn)而得，由平行四邊形的性質(zhì)得，，可得，四邊形是平行四邊形，得到，，，據(jù)此得為的中位線，得到，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解，掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵是的中點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，，∴為的中位線，∴，∴，故選：．2．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測）如圖，中，，點O為的外心，，，是的內(nèi)切圓．則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了直角三角形的內(nèi)心與外心．熟練掌握三角形內(nèi)心性質(zhì)，三角形外心性質(zhì)，切線長定理，勾股定理解直角三角形，是解題的關(guān)鍵．過點P作，，，根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到，根據(jù)切線長定理得到，，，得到四邊形是正方形，根據(jù)勾股定理求出，得到，求出，得到，得到，即得．【詳解】過點P作，，，∵點P是內(nèi)切圓的圓心，∴，，，，∴四邊形是正方形，∵中，，，，∴，設(shè)，，，則，，得，∴，∴，∵點O為的外心，∴，∴，∴．故選：C．3．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，弦，，若，點是弦的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，記的交點為，連接，延長交的延長線于，由是的直徑，可得，由勾股定理得，，由弦，可得，由，可求，由勾股定理得，，則，，證明，則，，由點是弦的中點，可知，即，證明，則，即，計算求解即可．【詳解】解：如圖，記的交點為，連接，延長交的延長線于，∵是的直徑，∴，由勾股定理得，，∵弦，∴，∵，∴，解得，，由勾股定理得，，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∵點是弦的中點，∴，即，又∵，∴，∴，即，解得，，故選：C．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為的上，為上一動點，將射線繞逆時針旋轉(zhuǎn)交于，取的中點，求在的運(yùn)動過程中的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理推論，圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，弧長公式，當(dāng)點重合時，，由為中點，則，當(dāng)點在運(yùn)動過程中，在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動，然后根據(jù)弧長公式即可求解，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，取圓上一點，∵，，∴，∴，如圖，當(dāng)點重合時，∵，∵為中點，∴，∴，∴為直徑，當(dāng)點在運(yùn)動過程中，在以為圓心，長度為半徑的上運(yùn)動，∵為中點，為中點，∴，∴，∴在的運(yùn)動過程中的路徑長為，故選：．5．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，以為直徑的交于M，N，交于E，且平分，連接交于F，若，，則的長為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．4.8【答案】B【分析】首先連接，根據(jù)和角平分線性質(zhì)得到，結(jié)合得到四邊形是平行四邊形，求得，由是直徑，得到，得到，由，得到，即得．【詳解】連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵在中，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．

【點睛】本題主要考查了圓與三角形綜合．熟練掌握圓周角定理及推論，角平分線定義，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，是解決問題的關(guān)鍵．6．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，的兩條高線交于點F，過B，C，E三點作，延長交于點G，連接．設(shè)，則下列線段中可求長度的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．連接交于點，則，設(shè)，則，設(shè)的半徑為，則，在中，得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接交于點，根據(jù)題意得，點F為的垂心，則，又，∴為直徑，∴，故點在上，設(shè)，∴在中，，∴①，依題意，，∴，∴，設(shè)的半徑為，則，∴，在中，；∵，∴，∴，∴，故選：B．二、圓中路徑長度問題7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，，．點在以為直徑的半圓上運(yùn)動，為上一點，且，當(dāng)點P沿半圓從點A運(yùn)動至點B時，點M運(yùn)動的路徑長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了動點的運(yùn)動軌跡長度，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等等．如圖所示，在上取一點使得，在上取一點使得，連接，，，，，取中點，連接，證明，得到，同理可證，即可得到，則點在以為圓心，以的長為半徑的圓弧上運(yùn)動，根據(jù)三線合一定理得到，，求出，又當(dāng)點沿半圓從點運(yùn)動至點時，點從點沿半圓運(yùn)動到點，可得點運(yùn)動的路徑長．【詳解】解：如圖所示，在上取一點使得，在上取一點使得，連接，，，，，取中點，連接，

點在以為直徑的半圓上運(yùn)動，，∵，，，又，，，同理可證，，點在以為圓心，以的長為半徑的圓弧上運(yùn)動，，，，，，當(dāng)點沿半圓從點運(yùn)動至點時，點從點沿半圓運(yùn)動到點，點運(yùn)動的路徑長為，故選：A．8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，中，，D在線段上，連，以為的直徑交于P，，當(dāng)D在線段上自C向B運(yùn)動的過程中，點P運(yùn)動的路徑長是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及動點軌跡：點按一定規(guī)律運(yùn)動所形成的圖形為點運(yùn)動的軌跡．解決此題的關(guān)鍵是利用圓周角定理確定P點的軌跡．連接，由，可得點P是在以為直徑的弧上運(yùn)動，當(dāng)D在線段上自C向B運(yùn)動的過程中，點P運(yùn)動的路徑是的長，據(jù)此求解即可．【詳解】如圖，連接，是的直徑，，點P是在以為直徑的弧上運(yùn)動，當(dāng)D在線段上自C向B運(yùn)動的過程中，點P運(yùn)動的路徑是的長，，中，，，故選：C9．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，為直徑，且過半徑的中點H，過點A的切線交的延長線于G，且，點E為上一動點，于點F，當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點C時，點F經(jīng)過的路徑長是（

）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】連接，，由，利用垂徑定理得到H為的中點，證明，可求圓的半徑，在直角三角形中，由與的長，利用勾股定理求出的長，進(jìn)而確定出的長，由求出的長，在直角三角形中，利用勾股定理求出的長，由垂直于，得到三角形始終為直角三角形，點F的運(yùn)動軌跡為以為直徑的圓上，當(dāng)E位于點B時，，此時F與H重合；當(dāng)E位于點C時，此時F與C重合，可得出當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點C時，點F所經(jīng)過的路徑長的長，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義求出的度數(shù)，進(jìn)而確定出所對圓心角的度數(shù)，再由的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長，即可求出點F所經(jīng)過的路徑長．【詳解】解：連接，，∵，∴H為的中點，即，∵是的切線，∴，又，∴，∴即，

∴，∴或（不符合題意，舍去）∴，，∴，∵，

∴始終為直角三角形，點F的運(yùn)動軌跡為以為直徑的圓上，當(dāng)E位于點B時，，此時F與H重合；當(dāng)E位于點C時，此時F與C重合，∴當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點C時，點F所經(jīng)過的路徑長的長，在中，，∴，∴，∴所對圓心角的度數(shù)為，∵直徑，∴的長，則當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點C時，點F所經(jīng)過的路徑長的長為．故選：B．【點睛】此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到當(dāng)點E從點B出發(fā)逆時針運(yùn)動到點C時，點F所經(jīng)過的路徑長為的長是解本題的關(guān)鍵．10．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）在矩形中，，，點、分別是邊、的中點，某一時刻，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒4個單位長度的速度向點勻速運(yùn)動；同時，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運(yùn)動，其中一點運(yùn)動到矩形頂點時，兩點同時停止運(yùn)動，連接，過點作的垂線，垂足為．在整個運(yùn)動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是．【答案】【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)、中點性質(zhì)即可求得，如圖1中，連接交于點，連接，首先證明，利用勾股定理求出．由，推出點在為直徑的上運(yùn)動，當(dāng)點與重合時，如圖2中，連接，．點的運(yùn)動軌跡是，求出，再利用弧長公式求解．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點、分別是邊、的中點，，，連接交于點，連接，如圖1，四邊形是矩形，，，，，，在中，，，，點在為直徑的上運(yùn)動，當(dāng)點與重合時，如圖2中，連接，．點的運(yùn)動軌跡是，此時，，，，，平分，，，，點的運(yùn)動軌跡的長．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．11．（2024·四川眉山·二模）個半徑均為的硬幣兩兩外切，如圖所示，若將左邊第一個硬幣沿著剩下硬幣的圓周滾動一圈回到原來的位置（其余個硬幣固定不動），那么這個硬幣在滾動時圓心移動的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了弧長的計算的應(yīng)用等知識點，根據(jù)題意確定運(yùn)動路徑是由由4個孤1與8個孤2組成，然后利用弧長公式計算即可得解，熟練掌握弧長的計算是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，該硬幣圓心路徑由4個孤1與8個孤2組成，∴由圓半徑相等得，，∴為等邊三角形，∴，∴，，∴弧1的長，弧2的長，∴總路徑長，故選：C．三、圓中最值問題12．（2024·山東淄博·二模）如圖，在中，，是以斜邊為直徑的半圓上一動點，為上一點且滿足，連接，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，取的中點，連接，在上取一點，使得，連接，過點作，先根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)中點定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，再證是等邊三角形，得，，，-由勾股定理得在證明，得點在以為半徑，點為圓心的圓上，當(dāng)、、三點共線，連接交于點，則的最小值的長度即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，在上取一點，使得，連接，過點作，∵在中，，，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴∵，，∴，∴，，∴-∴∵，，∴，，∴∴，∴∴∴點在以為半徑，點為圓心的圓上，當(dāng)、、三點共線，連接交于點，則的最小值的長度即為，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，確定點M的運(yùn)動路線以及利用隱形圓求解線段最值問題是解答的關(guān)鍵．13．（2024·江蘇連云港·三模）如圖，在以為直徑半圓上，，，點是弧上的一動點，，連接，則的長的最小值是．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，求到圓上一點的最小距離，斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角函數(shù)，勾股定理，求得點的軌跡是解題的關(guān)鍵．取中點，連接，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，點在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，進(jìn)而解求得，即可求解．【詳解】解：取中點，連接，如圖，∵，，∴，即點在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，∵，∴，在中，，∴的長最小是，故答案為：．14．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，直線與相切于點A，點C為上一動點，過點C作，垂足為B，已知的半徑為，則的最大值為．【答案】/【分析】過點A作直線，交的延長線于點D，交于點N，且，則即，從而把轉(zhuǎn)化為，過點C作于點H，結(jié)合，設(shè)，則，得到，繼而得到，即，把的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)解答即可．【詳解】過點A作直線，交的延長線于點D，交于點N，且，則即，∴，過點C作于點H，∵，設(shè)，則，∴，∴，即，∵直徑是圓中最大的弦，∴經(jīng)過圓心O時，的值是最大的，∵直線與相切于點A，∴，∴，∴，∴，∵的半徑為，∴，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑是圓中最大的弦，解直角三角形的應(yīng)用計算，切線性質(zhì)，熟練掌握直徑是圓中最大的弦，解直角三角形的應(yīng)用計算，切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2024·湖北武漢·二模）如圖，在半圓O中，直徑，點P為半圓O圓弧上一動點，則的最大值為．【答案】【分析】延長至點C，使得，連接，作的外接圓，連接，并延長交于點D，連接，則的值即為的值，當(dāng)點C與點D重合時，有最大值，即為的值，的直徑，解直角三角形求出，利用圓周角定理得到，由為的直徑，得到，再利用直角三角形中，含角所對的邊是斜邊的一半，即可求解．【詳解】解：延長至點C，使得，連接，作的外接圓，連接，并延長交于點D，連接，則的值即為的值，當(dāng)點C與點D重合時，有最大值，即為的值，的直徑，，，，，，，為的直徑，，，，的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，直角三角形的特征，三角形外接圓，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2024·四川成都·二模）如圖，在中，，是以為直徑的圓，點D為上一點，連接，點E是的中點，連接，則的最小值是．【答案】【分析】題目主要考查圓的綜合問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，根據(jù)題意構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．連接，取的中點H，確定一點G，連接，使得，連接，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，再由三角形中位線確定，得出當(dāng)點H、E、G三點共線時，取得最小值，即取得最小值，過點H作于點F，連接，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，取的中點H，確定一點G，連接，使得，連接，如圖所示：根據(jù)題意得：，∵點E是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∵點H為的中點，∴，∴，當(dāng)點H、E、G三點共線時，取得最小值，即取得最小值，過點H作于點F，連接，如圖所示：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴則的最小值是，故答案為：．17．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）如圖，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，D，P為上一動點，Q為弦上一點，．若點D的坐標(biāo)為，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是作出輔助圓，當(dāng)Q與重合時，最?。B接，過Q作，交于M，以M為圓心，為半徑作圓，連接交于，得到，求出的長，推出，由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：連接，過Q作，交于M，以M為圓心，為半徑作圓，連接交于，∴，∵，∴，∵D的坐標(biāo)是，∴，∴，∵，∴，∵，∴P，∴，∴，∴Q在M上，∴當(dāng)Q與重合時，最小，∵，，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．18．（2024·浙江寧波·一模）如圖，是中的兩條弦，相交于點，且，點為劣弧上一動點，為中點，若，連接，則最小值為．

【答案】【分析】本題考查的重點是垂徑定理，解直角三角形，中位線等知識，難點是找點的運(yùn)動軌跡，當(dāng)找到點的運(yùn)動軌跡以后再利用兩點之間直線最短就可以計算出的最小值．連接，過點作，交于點，，交于點，構(gòu)造正方形，計算圓的半徑，然后作的中點，連接，連接，推導(dǎo)出點的運(yùn)動軌跡是以為圓心的圓，連接與圓的交點就是的最小值．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作，交于點，，交于點，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，如圖所示，作的中點，連接，連接，

∵點是的中點，為中點，∴，∴點在以點為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動，連接交于點，過點作，∴當(dāng)點三點共線時，即點和點重合時，的值最小，∵點是的中點，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，，∴的最小值為，故答案為：．19．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，中，，，，以為直徑作圓，圓心為，過圓上一點作直線的垂線，垂足為，則的最大值是．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，圓的有關(guān)計算，勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，利用特殊角度度角的正切值為切入點，構(gòu)造出一個特殊的度角將所需求的兩個線段的最大值轉(zhuǎn)化為一條線段，此時點與點重合，進(jìn)而求出所需要的最大值，解題的關(guān)鍵熟練掌握知識點的應(yīng)用及正確添加輔助線．【詳解】如圖，作，過點作于點，延長交于點，過點作垂足為點，過點作于點，延長交于點，當(dāng)點與點重合，點在點處時，取得最大值，理由：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴或（舍去），∴，∵，∴，在上取不同于點的一點，過點作于點，過點作所在的直線于點，并延長交于點，∵，，∴，則或，∵，，∴，，∴，，由圖可知：，∴，∴當(dāng)點在點處時，取得最大值，最大值為的長，∵，∴取得最大值，故答案為：．20．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，是的直徑，是的弦，且與交于點，過分別作垂線，垂足記作和．現(xiàn)有下列結(jié)論：若，，則的最小值為3；若，，則；若，，則的最大值為；若，，為定值．其中正確的為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解題的關(guān)鍵．①如圖：過O作,連接，先說明當(dāng)H和C重合時，最小，且最小值為，然后根據(jù)垂徑定理、勾股定理解答即可；②如圖：過O作,連接，根據(jù)圓周角定理、垂徑定理可得，然后根據(jù)正弦的定義計算判斷即可；③設(shè)，運(yùn)用含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理表示出，然后列出函數(shù)解析式，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；先求出，設(shè),則，再通過證明相似三角形得到，,然后作差判斷即可．【詳解】解：①：如圖：過O作,連接，易得：，即當(dāng)H和C重合時，最小，且最小值為，∵，，，∴，∴,即最小值為3，①正確；②如圖：連接,∵，∴,∵∴,∴，即②正確；③設(shè)∵，，∴，則，∴，∵，,∴，∴，∴,∴設(shè)，則拋物線的對稱軸為：，∵，∴當(dāng)時，y由最大值，即的最大值為，即③錯誤；④∵，，∴，∴,設(shè),則，∵,∴,∴，∴,即，解得：；同理可得：,∴，即④正確．綜上，正確的有①②④．故選D．四、圓中面積問題21．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，O是斜邊的中點，以點O為圓心的半圓O與相切于點D，交于點E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、扇形面積的計算、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識點，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可解答．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∵O是斜邊的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：A．22．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點D，，，，則的面積是（

）A．10 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的外接圓圓心為點O，作圓的直徑，交圓于點G，連接，且與的交點為H，利用圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：設(shè)的外接圓圓心為點O，作圓的直徑，交圓于點G，連接，且與的交點為H，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵點是的內(nèi)心，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵點是的內(nèi)心，∴，∴，∴是等邊三角形，過點B作于點M,則，∴，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在邊長為1的正五邊形內(nèi)，所有到點的距離大于1且到點的距離小于1的點組成圖形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計算以及解直角三角形，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，扇形面積的計算方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及圖形中各個部分面積之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.【詳解】如圖，以點為圓心，以為半徑畫弧與以點為圓心，以為半徑畫弧交于點，連接,過點作于點，∵五邊形是正五邊形，，由正五邊形的對稱性可知，在中,，，在中，，，∴，.故選:B.24．（2024·安徽滁州·模擬預(yù)測）圖1是一張圓形紙片；如圖2，將圓形紙片作兩次對折，且折痕，垂足為點；如圖3，把紙片展開后，再將圓形紙片沿弦折疊，使兩點，重合，折痕與相交于點，連接，，，．下列四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．四邊形是菱形 B．為等邊三角形C． D．【答案】D【分析】由翻折性質(zhì)以及垂徑定理證明菱形即可判斷A；由等邊對等角作出判斷即可；先判斷為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；利用扇形面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，．由垂徑定理知垂直平分，，互相垂直平分，四邊形是菱形，故選項A正確，不符合題意；，，．，，，．同理可得，，是等邊三角形，故選項B正確，不符合題意；，，，．，，是等邊三角形，，，，故選項C正確，不符合題意；設(shè)圓的半徑為，則，，，故選項D錯誤，符合題意．故選：D【點睛】本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．25．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，點C在以為直徑的半圓上，，，點D在線段上運(yùn)動，點E與點D關(guān)于對稱，于點D，并交的延長線于點F．下列說法正確的是（）A．B．線段的最小值為C．當(dāng)時，與半圓相切D．當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點B時，線段掃過的面積是【答案】D【分析】A、由對稱證明出，得到只有當(dāng)時，；B、由點E與點D關(guān)于對稱可得，再根據(jù)即可證到；根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得時最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值；C、連接，易證是等邊三角形，，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出，進(jìn)而可求出，從而得到與半圓相切；D、首先根據(jù)對稱性確定線段掃過的圖形，然后探究出該圖形與的關(guān)系，就可求出線段掃過的面積．【詳解】解：連接，如圖1所示．∵點E與點D關(guān)于對稱，∴．∴．∵，∴．∴．∴．只有當(dāng)時，，故A錯誤，不符合題意；∵，∴，∴．則，當(dāng)時，如圖2所示．∵是半圓的直徑∴，∵，∴，∵，∴，根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得：點D在線段上運(yùn)動時，的最小值為．∵．∴線段的最小值為．故B錯誤，不符合題意；當(dāng)與半圓相切時，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵點E與點D關(guān)于對稱，∴，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，故C錯誤，不符合題意；∴，∵,∴點D與點F關(guān)于對稱，∵點D與點E關(guān)于對稱，∴當(dāng)點D從點A運(yùn)動到點B時，點E的運(yùn)動路徑與關(guān)于對稱，點F的運(yùn)動路徑與關(guān)于對稱．∴掃過的圖形就是圖5中陰影部分．∴．故D正確，符合題意．

故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對稱的性質(zhì)、含角的直角三角形、垂線段最短等知識，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，第五個問題解題的關(guān)鍵是通過特殊點探究的運(yùn)動軌跡，屬于中考壓軸題．五、圓與幾何綜合26．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為．【答案】2【分析】證明，則，，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，證明，則，即，由，可得當(dāng)三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，則，，，則，即，可得，即，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，∵，，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，，由勾股定理得，，故答案為：2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵．27．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在直線上，點在線段上，且，點為邊上一動點，則的最小值為．【答案】/【分析】證明可知點在以為直徑的上，作點關(guān)于的對稱點，連接，與交于點，與交于點，當(dāng)點分別位于點時，根據(jù)兩點之間線段最短，可知的最小值，即為線段的長度，利用勾股定理求出，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點在以為直徑的上，作點關(guān)于的對稱點，連接，與交于點，與交于點，當(dāng)點分別位于點時，根據(jù)兩點之間線段最短，可知的最小值，即為線段的長度，∵，，點為的中點，∴，的半徑，∴，∴，∴，∴的最小值為為，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱最短線段問題，確定出點的位置是解題的關(guān)鍵．28．（2024·內(nèi)蒙古興安盟·二模）如圖，在正方形中，點M，N分別為上的動點，且，交于點E，點F為的中點，點P為上一個動點，連接，若，則的最小值為．

【答案】【分析】證明，則，，如圖，取的中點，則在以為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動，作關(guān)于對稱的點，連接，連接交于，則，由，可知當(dāng)四點共線時，最小為，由勾股定理得，，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：∵正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，如圖，取的中點，則在以為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動，作關(guān)于對稱的點，連接，連接交于，

∴，∴，∴當(dāng)四點共線時，最小為，由勾股定理得，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角所對的弦為直徑，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角所對的弦為直徑，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．29．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上（不與頂點重合），且滿足，連接，交于點．，分別是邊，的中點，連結(jié)接，．若正方形的邊長為，則的最小值為．【答案】【分析】由四邊形是正方形，得，，證明，根據(jù)性質(zhì)得出，點無論在何處，均有，即點在以中點為圓心，為直徑的圓上，用點表示的中點，連接，用點表示的中點，用點表示的中點，連接，以為圓心，為半徑畫圓，然后證明，則，故的最小值也就是的最小值，當(dāng)點三點共線時，最小，最小值為線段的長度，最后由勾股定理即可求解．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點無論在何處，均有，即點在以中點為圓心，為直徑的圓上，用點表示的中點，連接，用點表示的中點，用點表示的中點，連接，以為圓心，為半徑畫圓，如圖中的，∵在上運(yùn)動且不與重合，∴點的軌跡就是，不與重合，∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴的最小值也就是的最小值，∵點在上，∴當(dāng)點三點共線時，最小，最小值為線段的長度，∵點分別是正方形邊的中點，∴四邊形是矩形，∵點分別是矩形邊的中點，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴在中，由勾股定理得，即：的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，兩點之間線段最短，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．30．（2024·山東德州·三模）如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內(nèi)的動點，點P是邊上的動點，且．連接，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查最短路徑問題，涉及到知識點有圓周角定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理．先證明得到點E在以為直徑的半圓上移動，再作點D關(guān)于直線的對應(yīng)點是F，即可得，求出的長度即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵∴，∴，∴點E在以為直徑的半圓上移動，如圖，設(shè)的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應(yīng)點是F，連接交于，交半圓O于E'，連接，則，根據(jù)對稱性有：，則有，∴的最小值為，∵，∴，∴，∴，故的長度最小值為．故答案為：．31．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，，分別是射線，射線上的點，，的垂直平分線交于點，當(dāng)點落在上時，長的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形等知識點，正確作出輔助圓、應(yīng)用圓周角定理得到是關(guān)鍵．以O(shè)為圓心，長為半徑作外接圓，連接，由圓周角定理推出是等腰直角三角形，得到，當(dāng)時，長最小，由銳角的正弦求出長即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點O，∴，∴點O是外接圓的圓心，如圖：以O(shè)為圓心，長為半徑作外接圓，連接，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)長最小時長最小，當(dāng)時，長最小，∵，∴，∴，∴長的最小值是．故答案為：．32．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，點P為邊上一動點，連接交對角線于點E，過點E作，交于點F，連接交于點G，在點P的運(yùn)動過程中，面積的最小值為．【答案】【分析】由勾股定理得，，由，可知四點共圓，則，如圖，作的外接圓，過作于，過作于，連接，由，可求，由，可得，則，，設(shè)，則，，由勾股定理得，，由，可得，可求，則，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：∵矩形，∴，，由勾股定理得，，∵，∴，∴四點共圓，∴，如圖，作的外接圓，過作于，過作于，連接，∴，即，解得，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，由勾股定理得，，∵，∴，解得，，∴，∴，∴在點P的運(yùn)動過程中，面積的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，四點共圓，同弧所對的圓周角相等，外接圓，圓周角定理，垂徑定理，正切等知識．熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，四點共圓，同弧所對的圓周角相等，外接圓，圓周角定理，垂徑定理，正切是解題的關(guān)鍵．33．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，，與邊、對角線均相切，過點作的切線，切點為，則切線長的最小值為（

）A．6 B．7 C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．設(shè)與、分別相切于點G、H，連接、、、，連接并延長交于E，過點E作于F，過點O作于K，設(shè)，則，可證得，得出，即，求得，再運(yùn)用勾股定理可得，故當(dāng)時，．【詳解】設(shè)與、分別相切于點G、H，連接、、、，連接并延長交于E，過點E作于F，過點O作于K，如圖，則，，，，，平分，，四邊形是矩形，，，，，，平分，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，即，，，，，設(shè)的半徑為r，則，，，，，即，，，四邊形是矩形，，，，，是的切線，，，當(dāng)時，．故選：D．34．（2024·安徽蚌埠·二模）如圖，在正方形中，，M，N分別為邊，的中點，E為邊上一動點，以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交于點F，P為的中點，Q為線段上任意一點，則長度的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，為的中點，可得，則在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動，當(dāng)四點共線時，最小，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵正方形，，∴，，∵分別，的中點，∴，，∵為的中點，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動，當(dāng)四點共線時，最小，此時，，∴，∴，即的最小值為：，故選B【點睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓的確定，熟練的確定P的運(yùn)動軌跡是解本題的關(guān)鍵．35．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段，點為的中點，動點到點的距離是1，連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長度的最大值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】以為斜邊向上作等腰直角，連接，．利用相似三角形的性質(zhì)證明，推出點的運(yùn)動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，根據(jù)，可得結(jié)論．【詳解】解：以為斜邊向上作等腰直角，連接，．，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，∴，同理，，，，，，，點的運(yùn)動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，，，故線段長度的最大值為．故選：D．【點睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，點與圓的位置關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．36．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點是對角線上一點（點不與、重合），連接并延長交于點，過點作交于點，連接、，交于點，給出四個結(jié)論：①；②；③；④；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】取的中點，連接，利用直角三角形性質(zhì)可得，即，四點共圓，再運(yùn)用勾股定理即可判斷結(jié)論①；將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，可證得，即可判斷結(jié)論②；連接，過點作于，過點作于，則四邊形是矩形，可證得，再結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)即可判斷結(jié)論③；④分當(dāng)點P不與點D重合時，當(dāng)點P與點D重合時，兩種情況討論，延長至，使，連接，取的中點，連接，，可證得，，進(jìn)而可證得，再利用相似三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：如圖1，取的中點，連接，∵，四邊形是正方形，，，，四點共圓，，在中，，在中，，∴；故①正確；將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖2，，，共線，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；故②正確；連接，過點作于，過點作于，則四邊形是矩形，如圖3，在和中，，，，，，，，，，故③正確；④當(dāng)點P不與點D重合時，延長至，使，連接，取的中點，連接，，如圖4，四邊形是正方形，，，又，，，，，，是的中點，，，，，四點共圓，，由②得，，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，如圖，當(dāng)點P與點D重合時，此時點重合，點重