2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.2.2.2組合的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

PAGE1-課時(shí)作業(yè)6組合的應(yīng)用學(xué)問(wèn)點(diǎn)一無(wú)限制條件的組合問(wèn)題1.某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有()A．Ceq\o\al(3,10)種 B．Aeq\o\al(3,10)種C．Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種 D．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)種答案D解析每個(gè)被選的人都無(wú)依次差別，是組合問(wèn)題．分兩步完成：第一步，選女工，有Ceq\o\al(1,3)種選法；其次步，選男工，有Ceq\o\al(2,7)種選法．故共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)種不同的選法.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二有限制條件的組合問(wèn)題2.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參與某次社區(qū)服務(wù)，假如要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為()A．14B．24C．28D．48答案A解析6人中選4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15(種)，沒(méi)有女生的方案只有一種，所以滿(mǎn)意要求的方案總數(shù)有14種．3．某市踐行“干部村村行”活動(dòng)，現(xiàn)有3名干部可供選派，下鄉(xiāng)到5個(gè)村蹲點(diǎn)指導(dǎo)工作，每個(gè)村至少有1名干部，每個(gè)干部至多住3個(gè)村，則不同的選派方案共()A．243種B．210種C．150種D．125種答案C解析3名干部可供選派，下鄉(xiāng)到5個(gè)村蹲點(diǎn)指導(dǎo)工作，每個(gè)村至少有1名干部，每個(gè)干部至多住3個(gè)村，于是可以把5個(gè)村為(1,1,3)和(1,2,2)兩組，當(dāng)為(1,1,3)時(shí)，有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，當(dāng)為(1,2,2)時(shí)，有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得60＋90＝150(種).學(xué)問(wèn)點(diǎn)三排列與組合的綜合應(yīng)用4.要排出某班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)排在上午(前4節(jié))，體育排在下午(后2節(jié))，不同的排法種數(shù)是________．答案192解析由題意，要求數(shù)學(xué)課排在上午(前4節(jié))，體育課排在下午(后2節(jié))，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8(種)．再排其余4節(jié)，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)，依據(jù)乘法原理，共有8×24＝192(種)方法．5．用0到9這10個(gè)數(shù)字，(1)可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？在這些四位數(shù)中，奇數(shù)有多少個(gè)？(2)可以組成多少個(gè)只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)？解(1)可以組成9Aeq\o\al(3,9)＝4536個(gè)四位數(shù)．適合題意的四位奇數(shù)共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(2,8)＝2240個(gè)．(2)0到9這10個(gè)數(shù)字構(gòu)成的三位數(shù)共有Aeq\o\al(1,9)·Aeq\o\al(1,10)·Aeq\o\al(1,10)＝900個(gè)，分為三類(lèi)：第1類(lèi)：三位數(shù)字全相同，如111,222，…，999，共9個(gè)；第2類(lèi)：三位數(shù)字全不同，共648個(gè)；第3類(lèi)：由間接法可求出，只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)，共有900－9－648＝243個(gè)．6．假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中隨意抽取5件，求下列抽取方法各有多少種．(1)沒(méi)有次品．(2)恰有2件是次品．(3)至少有2件是次品．解(1)沒(méi)有次品的抽法就是從97件正品中抽取5件的抽法，共有Ceq\o\al(5,97)＝64446024種．(2)恰有2件是次品的抽法就是從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽2件的抽法，共有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)＝442320種．(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件數(shù)來(lái)分，有二類(lèi)：第一類(lèi)，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)種．其次類(lèi)，從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有Ceq\o\al(2,97)Ceq\o\al(3,3)種．按分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,97)Ceq\o\al(3,3)＝446976種．一、選擇題1．從2,3，…，8七個(gè)自然數(shù)中任取三個(gè)數(shù)組成有序數(shù)組a，b，c且a<b<c，則不同的數(shù)組有()A．35組B．42組C．105組D．210組答案A解析不同的數(shù)組，有Ceq\o\al(3,7)＝35(組)．2．將4名新來(lái)的學(xué)生分到高三兩個(gè)班，每班至少一人，不同的安排方法數(shù)為()A．12B．16C．14D．18答案C解析每個(gè)班至少分到一名學(xué)生有兩種狀況：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個(gè)班的方法數(shù)是Ceq\o\al(2,4)＝6；有三名學(xué)生分在一個(gè)班的方法數(shù)是Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(2,2)＝8.∴不同的安排方法數(shù)為6＋8＝14.故選C.3．凸十邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)為()A．10B．35C．45D．90答案B解析Ceq\o\al(2,10)－10＝35(條)．故選B.4．某地招募了20名志愿者，他們編號(hào)分別為1號(hào)，2號(hào)，…，19號(hào)，20號(hào)，假如要從中隨意選取4人再按編號(hào)大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作，其中兩個(gè)編號(hào)較小的人在一組，兩個(gè)編號(hào)較大的人在另一組，那么確保5號(hào)與14號(hào)入選并被安排到同一組的選取種數(shù)是()A．16B．21C．24D．90答案B解析第1類(lèi)，5號(hào)與14號(hào)為編號(hào)較大的一組，則另一組編號(hào)較小的有Ceq\o\al(2,4)＝6種選取方法．第2類(lèi)，5號(hào)與14號(hào)為編號(hào)較小的一組，則編號(hào)較大的一組有Ceq\o\al(2,6)＝15種選取方法．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，共有Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)＝6＋15＝21(種)選取方法．5．由0,1,2,3,5這5個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．16B．18C．24D．36答案B解析由題意知，滿(mǎn)意條件的三位數(shù)可分為兩類(lèi)：第一類(lèi)：三個(gè)數(shù)字中一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)個(gè)不同的三位數(shù)；其次類(lèi)：三個(gè)數(shù)字均為奇數(shù)有Aeq\o\al(3,3)個(gè)不同的三位數(shù)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)意條件的三位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝18個(gè)，故選B.二、填空題6．有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有________種．答案75解析第一步，先從6名男醫(yī)生中選出2名男醫(yī)生有Ceq\o\al(2,6)＝15種選法；其次步，從5名女醫(yī)生中選出1名有Ceq\o\al(1,5)＝5種選法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組的不同選法共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,5)＝15×5＝75種．7．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員，現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參與團(tuán)體競(jìng)賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1,2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．答案48解析兩老一新時(shí)，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12(種)排法；兩新一老時(shí)，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)排法．故共有48種排法．8．藝術(shù)節(jié)期間，秘書(shū)處派甲、乙、丙、丁四名工作人員分別到A、B、C三個(gè)不同的演出場(chǎng)館工作，每個(gè)演出場(chǎng)館至少派一人．若要求甲、乙兩人不能到同一演出場(chǎng)館工作，則不同的分派方案有______種．答案30解析(間接法)四個(gè)人分別到三個(gè)不同的演出場(chǎng)館工作，每個(gè)演出場(chǎng)館至少派一人的方法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，甲、乙兩人在同一演出場(chǎng)館工作的方法數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＝6，故不同的分派方案有36－6＝30種．三、解答題9．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，求不同取法的種數(shù)．解若沒(méi)有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64(種)，若2張同色，則有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144(種)，若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192(種)，剩余2張同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72(種)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(種)不同的取法．10．高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參與活動(dòng)．(1)其中某一女生必需在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34名學(xué)生中選取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)．∴不同的取法有561種．(2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有Ceq\o\al(3,34)種，或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984(種)．∴不同的取法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(種)．∴不同的取法有2100種．(4)選取2名女生有Ceq\o\al(1,2