吉林省吉林市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

吉林省吉林市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在正方形中，（

）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形4．已知平面向量，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．已知圓錐的母線長為3，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．6．在中，，，滿足此條件的有兩解，則邊長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）.A． B． C． D．8．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知是空間兩個不同的平面，是空間兩條不同的直線，則給出的下列說法中正確的是（

）A．，，且，則 B．，，且，則C．，，且，則 D．，，且，則10．已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．11．如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是長方體的棱CD上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，且滿足，有下列結(jié)論：（

）A．⊥平面；B．三棱錐體積為定值；C．平面；D．平面⊥平面．三、填空題12．已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，其中，則的值為．13．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為．14．正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則.四、解答題15．在△中，內(nèi)角的對邊分別為．(1)求；(2)若△的面積為，求邊上的中線的長．16．如圖，在四棱錐中，，，，設(shè)，，分別為，，的中點(diǎn)，(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．17．在四邊形中，四點(diǎn)共圓，，，．(1)若，求的長；(2)求四邊形周長的最大值．18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值.19．如圖，三棱柱中，，且與均為等腰直角三角形，．(1)若為等邊三角形，證明：平面平面；(2)若二面角的平面角為，求以下各值：①求點(diǎn)到平面的距離；②求平面與平面所成角的余弦值．參考答案1．A【分析】由共軛復(fù)數(shù)，及復(fù)數(shù)幾何意義可得答案.【詳解】因，則，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A2．C【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算法則計算可得.【詳解】解：.故選：C.3．B【分析】在中利用余弦定理化簡題干信息即可.【詳解】在中利用余弦定理，則，得，則為直角三角形.故選：B4．C【分析】由題目條件可求得，再由向量模長公式結(jié)合數(shù)量積代入即可得出答案.【詳解】由平面向量，可得，由，可得，即，則，，故選：C.5．B【分析】求得圓錐的底面半徑，進(jìn)而求得圓錐的表面積.【詳解】依題意，圓錐的母線長為3，軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑為，所以圓錐的表面積為.故選：B6．B【分析】直接由可得解.【詳解】作，在的一條邊上取，過點(diǎn)作垂直于的另一邊，垂足為.則,以點(diǎn)為圓心，2為半徑畫圓弧，因為，即，所以圓弧與的另一邊有兩個交點(diǎn)所以均滿足條件，所以滿足條件的三角形有兩個.故選：B.7．C【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，，由題意可知，即異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接，，因為為棱的中點(diǎn)，所以，即異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：.8．D【分析】連接，，，，可證得平面，求出和，利用勾股定理表示，得到點(diǎn)的軌跡，即可求解.【詳解】設(shè)平面，連接，，，，因為，，所以三棱錐為正三棱錐，因為平面，平面，所以，因為，，所以平面，又平面，所以，同理可證，又，平面，所以平面，則為正三角形的中心，則，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以，即，，因為，即，因為，解得，所以點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，所以點(diǎn)的軌跡長度是.故選：.9．CD【分析】利用空間線面、面面平行、垂直的性質(zhì)定理和判定定理分別分析四個命題，即可得到正確答案.【詳解】A選項，若，，且，則可能相交或平行，故A錯誤；B選項，若，，且，則可能相交，也可能平行，故B錯誤；C選項，若，，則，又，則；即C正確；D選項，若，，則或；又，根據(jù)面面垂直的判定定理可得：，即D正確.故選：CD.10．ABD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，向量共享定理的推論，得出為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，對選項進(jìn)行判斷，得出答案.【詳解】對于A選項，，故A正確；對于B選項，因為為等邊三角形，，為中點(diǎn)，所以，所以，即，所以，故B正確；對于C選項，設(shè)，由（1）得，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，故C錯誤；對于D，，設(shè)，則，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為中點(diǎn)，所以，故D正確，故選：ABD.11．BD【分析】A根據(jù)點(diǎn)線、線面及點(diǎn)面關(guān)系判斷；B由，結(jié)合已知判斷是否為定值；C由，結(jié)合與面位置關(guān)系判斷；D利用長方體性質(zhì)及面面垂直的判定判斷.【詳解】A：在直線上，而面，即面，又面，故平面，錯誤；B：由，而長度為定值，故△面積為定值，又到△所在面距離為定值，故三棱錐體積為定值，正確；C：由，而面，故與平面不平行，錯誤；D：由直線即為直線，由長方體性質(zhì)有面，而面，故平面⊥平面，正確.故選：BD12．【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法，將化簡，再結(jié)合對應(yīng)關(guān)系求出，即可求解【詳解】由，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)值，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題13．54m【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：54m.14．1【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的一個基底表示，再利用數(shù)量積運(yùn)算律計算作答.【詳解】正八面體ABCDEF中，不共面，而P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，有，，則，，.故答案為：115．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合平面向量加法的幾何意義、數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，由余弦定理得：，又，所以．（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，則，即.故邊上的中線的長為.16．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由圖形的幾何關(guān)系證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理可得；（2）結(jié)合（1）再利用線面平行的判定定理證明平面，然后由面面平行的判定定理可得.【詳解】（1）在四棱錐中，連接，由，分別為，的中點(diǎn)，得，而，，則，四邊形為平行四邊形，因此，而平面，平面，所以平面．（2）由是中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，則，又平面，平面，于是平面，由（1）知，，而平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面．17．(1)(2)【分析】（1）由四點(diǎn)共圓求出，在中，由余弦定理求出，在中，由正弦定理求出；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，結(jié)合余弦定理和基本不等式得到，從而得到周長的最大值.【詳解】（1）因為四點(diǎn)共圓，所以，因為，所以，因為，故，在中，由余弦定理得：，故，在中，由正弦定理得：，即，解得：；（2）由（1）知：，，在中，由余弦定理得：，整理得：，故，其中，故，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故四邊形周長的最大值為.18．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定推理即得.（2）取中點(diǎn)，證明平面平面，利用幾何法求出線面角的正弦即得.【詳解】（1）在四棱錐中，由，為的中點(diǎn)，得，而，平面，所以平面.（2）取中點(diǎn)，連接，由是正方形，為的中點(diǎn)，得，而，則，由（1）知平面，平面，則，

而平面，于是平面，又平面，則平面平面，因此在平面上的射影為平面與平面的交線，則為直線和平面所成的角，由，，為的中點(diǎn)，得，由平面，平面，得，，所以直線和平面所成的角的正弦值為.19．(1)證明見解析(2)①，②【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)可得各邊長，再根據(jù)勾股定理證明線線垂直，根據(jù)線線垂直可證線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直；（2）根據(jù)二面角的定義可值為等邊三角形，①利用等體積轉(zhuǎn)化法可得點(diǎn)到平面距離；②根據(jù)二面角的定義可得兩平面夾角.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，如圖所示，因為與均為等腰直角三角形，，故，，且，，因為為等邊三角形，故，故，即，又，平面，，故平面，且平面，故平面平面；（2）①由（1）知，，，且平面平