2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)復(fù)旦大學(xué)附中高二（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.圓C1：(x+1)2+(y?1)A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切2.已知直線l1：ax+y?1=0，直線l2：x+ay?2=0，則“a=1”是“l(fā)1//lA.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.某彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓Γ，太陽的中心是Γ的一個(gè)焦點(diǎn)，若該彗星在繞太陽運(yùn)動(dòng)的過程中，距太陽表面距離的最大值為ρ，最小值為μ，太陽半徑為r，則橢圓Γ的離心率為(

)A.ρ?μρ+μ+2r B.ρ+2r?μρ+μ C.ρ+μρ?μ+2r4.已知曲線Γ的對(duì)稱中心為O，如果對(duì)于曲線Γ上的任意一點(diǎn)A，都存在Γ上另外的兩點(diǎn)B、C，使得△ABC的垂心為O，則稱Γ為“自垂曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：

①任意雙曲線都是“自垂曲線”；

②任意橢圓都是“自垂曲線”．

則下列判斷正確的是(

)A.①是真命題，②是真命題 B.①是假命題，②是真命題

C.①是真命題，②是假命題 D.①是假命題，②是假命題二、填空題：本題共12小題，共60分。5.直線y=336.圓x2+y7.已知向量n=(366,a)為直線3x+8y+4=0的一個(gè)法向量，則a的值為______．8.已知橢圓Γ：x24+y22=1的左焦點(diǎn)為F，A、9.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，P為曲線x3+y3=810.雙曲線y22?11.已知P(x0,y0)為圓12.若橢圓x220+y24=1的一條弦AB13.已知P為拋物線y2=4x上一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l1：4x?3y+6=0的距離為d1，點(diǎn)P到直線l2：x+4=0的距離為d14.若曲線Γ：x4+y15.圓C：x2+(y?r)2=r2(r>0)與曲線16.直線l與雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于C、D兩點(diǎn)(A、C、D、B從左到右依次排列)，若OA⊥OB，且三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，拋物線Γ：y2=2px的焦點(diǎn)為F(1,0)，A、B是拋物線Γ上兩個(gè)不同的點(diǎn)．

(1)求拋物線Γ的方程；

(2)若直線AB斜率為1，且過點(diǎn)F，求線段AB的長度；

(3)設(shè)直線OA、OB的斜率為kOA、kOB，若kOA18.(本小題14分)

如圖所示，A1、A2分別為橢圓Γ：x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)，直線l的方程為x+2y?4=0.過原點(diǎn)O作直線l的平行線與橢圓Γ交于M、N兩點(diǎn)．

(1)求證：直線l與橢圓Γ有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，并求該公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)記(1)中的公共點(diǎn)為P，求證：P、M、19.(本小題14分)

學(xué)校在操場開展春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，如圖所示，操場由長100米、寬60米的長方形ABCD及兩個(gè)以長方形寬為直徑的半圓M、半圓N拼接而成，整個(gè)操場關(guān)于中軸線OO′對(duì)稱.現(xiàn)有P、Q兩位同學(xué)分別在左右兩個(gè)半圓弧上值勤，并要求P、Q的距離盡可能遠(yuǎn)．

(1)P、Q兩位同學(xué)應(yīng)處在什么位置？請(qǐng)說明理由；

(2)若要在操場邊界上關(guān)于中軸線對(duì)稱的兩點(diǎn)R、S處分別放置兩個(gè)音箱(R、S兩點(diǎn)在線段AB上)，要求兩個(gè)音箱間的距離盡可能大，同時(shí)P、Q兩位同學(xué)聽到兩個(gè)音箱傳來的聲音時(shí)間差不超過0.2秒(聲音在空氣中的傳播速度為340米/秒)，求音箱距中軸線的距離(精確到0.1米)．20.(本小題14分)

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)P(x,y)是角α終邊上的點(diǎn)(異于原點(diǎn))，設(shè)|OP|=r，將點(diǎn)P繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后得到P′(x′,y′)．

(1)求證：x′=xcosθ?ysinθy′=xsinθ+ycosθ；

(2)已知曲線Γ1是函數(shù)y=33x+1x的圖像，曲線Γ2繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3后得到Γ1，求Γ2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)已知曲線Γ3：x2+y2?xy=3表示一個(gè)中心在原點(diǎn)的橢圓，Q為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且在橢圓Γ3的長軸上，滿足|OQ|=2，過點(diǎn)Q作直線l1交曲線Γ3于點(diǎn)21.(本小題14分)

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于△ABC及直線l，記d1(A)、d1(B)、d1(C)分別表示A、B、C到l的距離，且S1=[d1(A)]2+[d1(B)]2+[d1(C)]2，對(duì)于給定的△ABC，記S1的最小值為m△ABC．

(1)已知定點(diǎn)A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，直線l的方程為x+7y+9=0，求S1的值；

參考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.π66.(250,0)

7.976

8.8

9.x310.4511.8

12.y=213.5

14.2

15.(216.[17.解：(1)因?yàn)閽佄锞€Γ：y2=2px的焦點(diǎn)為F(1,0)，

所以p2=1，所以p=2，

所以拋物線為y2=4x；

(2)若直線AB斜率為1，且過點(diǎn)F，

則l的方程為y=x?1，

聯(lián)立y2=4x,y=x?1，得x2?6x+1=0，

則Δ=32>0，設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB)，

則由求根公式可得|xA?xB|=Δ|1|=42，

所以|AB|=2|xA?x18.解：(1)證明：聯(lián)立x+2y?4=0x24+y23=1，消去y并整理得4x2?8x+4=0，

解得x=1，

則橢圓Γ與直線l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P(1,32)；

(2)證明：易知直線MN的方程為y=?12x，

聯(lián)立y=?12xx24+y23=1，

解得x=±3，

即M(?3,32)，N(3,?32)，

因?yàn)镻(1,32)，A1(?2,0)19.解：(1)由題意得，|PQ|≤|PM|+|MN|+|NQ|=30+100+30=160，

當(dāng)P、M、N、Q四點(diǎn)共線時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離最大，

此時(shí)P、Q兩點(diǎn)分別在圓弧的中點(diǎn)，距離為160米．

(2)以CD所在的直線為x軸，以中軸線O1O2為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A(?80,?30)，B(80,?30)，根據(jù)題意可得||AC|?|BC||=0.2×340=68，

則A、B兩點(diǎn)在以C、D為焦點(diǎn)的雙曲線上，2a=68，解得a=34，

設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b2=1，則640034220.解：(1)證明：經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到P′后，角α+θ終邊與OP′重合，

所以x′=rcos(α+θ)=rcosαcosθ?rsinαsinθ=xcosθ?ysinθ，

y′=rsin(α+θ)=rsinαcosθ+rcosαsinθ=ycosθ+xsinθ，得證．

(2)設(shè)曲線Γ2上一點(diǎn)為P(x,y)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3后的點(diǎn)P′(x′,y′)在y=33x+1x的圖像上，

則y′=33x′+1x′，即3y′=x′+3x′，

由(1)知：x′=cosπ3x?sinπ3y，y′=sinπ3x+cosπ3y，即x′=12x?32y，y′=12y+32x，

代入3y′=x′+3x′得3(12y+32x)=12x?32y+112x?32y，

化簡即得曲線Γ2的方程為x223?3y22=1．

(3)設(shè)長軸在x軸上的橢圓Γ4：x2a2+y2b2=1上一點(diǎn)為P(x,y)，

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0<θ<π)得到點(diǎn)P′(x′,y′)在Γ3的圖像上，

由(1)知x′=xcosθ?ysinθ，y′=ycosθ+xsinθ，滿足x′2+y′2?x′y′=3，

所以(xcosθ?ysinθ)2+(ycosθ+xsinθ)2?(xcosθ?ysinθ)(ycosθ+xsinθ)=3，

化簡得(1?sinθcosθ)x2+(1+sinθcosθ)y2+xy(sin2θ?cos2θ)=3．

因此sinθcosθ>0sin2θ=cos2θ，由此得θ=π4，