提優(yōu)點11　概率與數(shù)列(含馬爾科夫鏈問題)

板塊五概率與統(tǒng)計提優(yōu)點11概率與數(shù)列(含馬爾科夫鏈問題)高考定位1.概率統(tǒng)計與數(shù)列的交匯涉及面廣，內(nèi)涵豐富，是近幾年高考追逐的熱點，主要是概率統(tǒng)計與數(shù)列的證明、求通項、求和等.2.馬爾科夫鏈 (1)性質(zhì)：對于隨機變量序列Xn，已知第n小時的狀態(tài)Xn，如果Xn＋1的隨機變化規(guī)律與前面的各項X1，X2，…，Xn－1的取值都沒有關系，那么稱隨機變量序列Xn具有馬爾科夫性.稱具有馬爾科夫性的隨機變量序列{Xn}為馬爾科夫鏈.(2)原理：利用全概率公式，我們既可以構造某些遞推關系求解概率，還可以推導經(jīng)典的一維隨機游走模型，即設數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻t＝0時，位于點X＝i(i∈N*)一個時刻，它將以概率α或者β(α∈0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)Xt＝i表示在時刻t該點位于位置X＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)另一方面，由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α，代入上式可得Pi＝αPi＋1＋βPi－1.精準強化練類型一概率與數(shù)列類型二馬爾科夫鏈模型類型突破類型一概率與數(shù)列例1由題意可知，X的取值為－1，0，1.故X的分布列如下：(2)假設該團隊連續(xù)答題n輪，各輪答題相互獨立.記pn表示“沒有出現(xiàn)連續(xù)三輪每輪得1分”的概率，pn＝apn－1＋bpn－2＋cpn－3(n≥4)，求a，b，c；并證明：答題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少于3)，出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.經(jīng)分析可得：若第n輪得1分，且第n－1輪得1分，第n－2輪沒有得1分，故pn＋1<pn(n≥4)，且p1＝p2>p3>p4，則p1＝p2>p3>p4>p5>…，所以答題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少于3)，出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.1.證明數(shù)列的單調(diào)性關鍵是證明相鄰兩項的差為正數(shù)或負數(shù)，若數(shù)列為遞推數(shù)列，則需注意尋找相鄰項的關系.2.證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列，關鍵是依據(jù)概率統(tǒng)計知識，得到數(shù)列的通項公式或遞推式，利用等差、等比數(shù)列的的定義證明.規(guī)律方法訓練1a.按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學開始第1輪初賽；b.若第i(i＝1，2，3，…，n－1)號同學未答對第一題，則第i輪比賽失敗，由第i＋1號同學繼續(xù)比賽；c.若第i(i＝1，2，3，…，n－1)號同學答對第一題，若該生答對第二題，則比賽在第i輪結束；若該生未答對第二題，則第i輪比賽失敗，由第i＋1號同學繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學不答第一題；d.若比賽進行到了第n輪，則不管第n號同學答題情況，比賽結束.(1)若隨機變量Xn表示n名同學在第Xn輪比賽結束，當n＝3時，求隨機變量X3的分布列；由題設，X3的取值為1，2，3.因此X3的分布列為Yn可取值為1，2，…，n.(2)若把比賽規(guī)則c.改為：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)號同學未答對第二題，則第i輪比賽失敗，第i＋1號同學重新從第一題開始作答.令隨機變量Yn表示n名挑戰(zhàn)者在第Yn輪比賽結束.①求隨機變量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；所以Yn＝k(1≤k≤n－1，k∈N*)時，故Yn的分布列為：②證明：E(Yn)單調(diào)遞增，且小于3.故E(Yn)＝E(Y2)＋[E(Y3)－E(Y2)]＋[E(Y4)－E(Y3)]＋…＋[E(Yn)－E(Yn－1)]，故E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y5)<…<E(Yn)<3.綜上E(Yn)單調(diào)遞增，且小于3.類型二馬爾科夫鏈模型(2024·青島調(diào)研)馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt).現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如人人唾棄的賭博.假如一名賭徒進入賭場參與賭博，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A元(A∈N*，A<B)，賭博過程如圖中的數(shù)軸所示.例2當賭徒手中有n元(0≤n≤B，n∈N)時，最終輸光的概率為P(n)，請回答下列問題：(1)請直接寫出P(0)與P(B)的數(shù)值；當n＝0時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此P(0)＝1.當n＝B時，賭徒到了停止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P(B)＝0.(2)證明{P(n)}是一個等差數(shù)列，并寫出公差d；記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元下一場贏的事件，所以P(n)－P(n－1)＝P(n＋1)－P(n)，所以{P(n)}是一個等差數(shù)列.設P(n)－P(n－1)＝d，P(n－1)－P(n－2)＝d，…，P(1)－P(0)＝d，累加得P(n)－P(0)＝nd，(3)當A＝100時，分別計算B＝200，B＝1000時，P(A)的數(shù)值，并結合實際，解釋當B→∞時，P(A)的統(tǒng)計含義.當B＝200時，P(A)＝50%，當B＝1000時，P(A)＝90%，當B→∞時，P(A)→1，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的賭博，只要賭徒一直玩下去就會有100%的概率輸光.1.馬爾科夫鏈模型的本質(zhì)是下一步的概率僅與上一步的概率有關；2.寫出概率的遞推公式，利用數(shù)學遞推公式求出通項公式，進而解決有關問題.規(guī)律方法(2024·武漢模擬)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn.(1)求X2的概率分布列并求E(X2)；訓練2X2可能取0，1，2，3.故X2的分布列為：又∵P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＋P(Xn＝3)＝1，E(Xn＋1)＝1×P(Xn＋1＝1)＋2×P(Xn＋1＝2)＋3×P(Xn＋1＝3)【精準強化練】小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏時落入B袋中，(1)求p1，p2，p3；法一游戲過程中累計得不到n分，只可能在得到(n－1)分后的一次游戲中小球落入B袋中，(2)寫出pn與pn－1(n∈N*且n≥2)之間的遞推關系，并求出{pn}的通項公式.法二游戲過程中累計得n分可以分為兩種情況：得到(n－2)分后的一次游戲中小球落入B袋中，或得到(n－1)分后的一次游戲中小球落入A袋中，下同法一.用隨機變量X表示三人合計得分，則X可能的取