第5章函數(shù)的概念性質(zhì)及應(yīng)用

第5章函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用【單元提升卷】（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共21題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一．填空題（共12小題）1．函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣1，1]．．【分析】由題意，利用偶次根式的性質(zhì)，求出函數(shù)的定義域．【解答】解：根據(jù)函數(shù)，可得1﹣|x|≥0，∴|x|≤1，∴﹣1≤x≤1，故答案為：[﹣1，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查偶次根式的性質(zhì)，求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．2．函數(shù)，當(dāng)x＝2時(shí)沒有意義，則a＝1．【分析】由題意，利用分式的性質(zhì)，求得a的值．【解答】解：由于函數(shù)，當(dāng)x＝2時(shí)沒有意義，故2﹣2a＝0，求得a＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x≥1}．【分析】由函數(shù)的解析式和偶次根號(hào)下被開方數(shù)大于等于0，列出不等式求出x即可．【解答】解：要是函數(shù)有意義，須x﹣1≥0，解得x≥1，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥1}．故答案為：{x|x≥1}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)定義域的主要方法，屬于簡單題．4．已知函數(shù)，，則f（x）?g（x）＝2x（x＞1）．【分析】先求出函數(shù)的定義域，利用因式乘法性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：要使函數(shù)f（x）有意義，則x﹣1≥0得x≥1，即f（x）的定義域?yàn)閇1，+∞），要使函數(shù)g（x）有意義，則x﹣1＞0得x＞1，即g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），則f（x）g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），則f（x）?g（x）＝x?＝2x，（x＞1），故答案為：f（x）?g（x）＝2x（x＞1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)解析式的求解，先求出函數(shù)的定義域，然后利用因式成績進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．5．函數(shù)y＝的遞增區(qū)間是（﹣∞，1）．【分析】函數(shù)y＝的遞增區(qū)間，即函數(shù)t＝|x﹣1|在t≠0時(shí)的減區(qū)間，利用絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)y＝的遞增區(qū)間，即函數(shù)t＝|x﹣1|在t≠0時(shí)的減區(qū)間，而函數(shù)t＝|x﹣1|在t≠0時(shí)的減區(qū)間為（﹣∞，1），故答案為：（﹣∞，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，根式函數(shù)、含絕對(duì)值的函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．6．定義在R上的奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的圖象如圖所示，則不等式xf（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【分析】由f（x）是奇函數(shù)得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可畫出y軸左側(cè)的圖象，利用兩因式異號(hào)相乘得負(fù)，得出f（x）的正負(fù)，由圖象可求出x的范圍得結(jié)果．【解答】解：（1）x＞0時(shí)，f（x）＜0，∴x＞2，（2）x＜0時(shí)，f（x）＞0，∴x＜﹣2，∴不等式xf（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的應(yīng)用．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱．7．某客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是：如果行程不超過100公里，票價(jià)是每公里0.5元，如果超過100公里，超過部分按每公里0.4元定價(jià)，則客運(yùn)票價(jià)y（元）與行程公里數(shù)x（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式是．【分析】設(shè)運(yùn)輸里程為xkm，運(yùn)費(fèi)為y元，當(dāng)0≤x≤100時(shí)，y＝0.5x；當(dāng)x＞100時(shí)，y＝0.5×100+0.4（x﹣100），由此得出函數(shù)關(guān)系式即可．【解答】解：設(shè)運(yùn)輸里程為xkm，運(yùn)費(fèi)為y元，則，即，故答案：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的解析式表示法中的分段函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．8．若函數(shù)f（x）＝log3（x+a）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則實(shí)數(shù)a＝1．【分析】反函數(shù)圖象過（1，2），等價(jià)于原函數(shù)的圖象過（2，1），代點(diǎn)即可求得．【解答】解：依題意f（x）＝log3（x+a）的圖象過（2，1），∴l(xiāng)og3（2+a）＝1，解得a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)．屬基礎(chǔ)題．9．若函數(shù)y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的反函數(shù)的圖象都過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，﹣2）．【分析】計(jì)算函數(shù)y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（﹣2，0），再根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值和應(yīng)變量y的值相反可得答案，【解答】解：函數(shù)y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)為當(dāng)x+3＝1時(shí)，即x＝﹣2時(shí)，y＝0，即恒過定點(diǎn)（﹣2，0），由原函數(shù)和反函數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值和應(yīng)變量y的值相反，函數(shù)y＝loga（x+3）（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（﹣2，0），則函數(shù)的反函數(shù)的圖象都過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，﹣2），故答案為：（0，﹣2），【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．已知f（x）＝x3，則f﹣1（x）＝．【分析】利用反函數(shù)的定義，將x用y表示，即可得到反函數(shù)的解析式．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝x3，所以，故f﹣1（x）＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)解析式的求解，解題的關(guān)鍵是掌握反函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．11．設(shè)函數(shù)f（x）＝log2（3x﹣1）的反函數(shù)為f﹣1（x），若f﹣1（a）＝3，則a＝3．【分析】由互為反函數(shù)的性質(zhì)可得，直接求出a的值．【解答】解：由互為反函數(shù)的性質(zhì)可得：由題意可得：若f﹣1（a）＝3，即a＝f（3）＝log2（3×3﹣1）＝log28＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】考查互為反函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．函數(shù)f（x）＝的反函數(shù)是f﹣1（x）＝x2﹣1（x≥0）．【分析】將y＝轉(zhuǎn)化為用y表示x的算式，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由y＝可得：x＝y(tǒng)2﹣1，y≥0，∴f（x）＝的反函數(shù)是：f﹣1（x）＝x2﹣1（x≥0），故答案為：f﹣1（x）＝x2﹣1（x≥0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．二．選擇題（共4小題）13．下列各圖中，可表示函數(shù)y＝f（x）圖象的是（）A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)的定義解答本題．【解答】解：由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)圖象與一條平行于y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，所以只有A選項(xiàng)滿足，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．函數(shù)f（x）＝|x3+1|+|x3﹣1|，則函數(shù)f（x）圖象（）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)f（x）的定義域，求出f（﹣x）的表達(dá)式可得f（﹣x）＝f（x），即可得f（x）為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的定義可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝|x3+1|+|x3﹣1|，其定義域?yàn)镽，有f（﹣x）＝|（﹣x）3+1|+|（﹣x）3﹣1|＝|x3+1|+|x3﹣1|＝f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性，注意分析f（﹣x）與f（x）的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．函數(shù)f（x）＝﹣+log2x的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，要驗(yàn)證函數(shù)的零點(diǎn)的位置，只要求出函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值，得到結(jié)果．【解答】解：由f（1）?f（2）＜0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理得到f（x）在（1，2）有一個(gè)零點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，本題解題的關(guān)鍵是做出區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．16．設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f（x）＝xax﹣1和g（x）＝xlogax﹣1的零點(diǎn)（其中a＞1），則x1+2x2的取值范圍是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）【分析】（法一）根據(jù)圖象的對(duì)稱關(guān)系求解：設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)函數(shù)y＝ax與y＝logax的圖象以及圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則有，進(jìn)而可得取值范圍；（法二）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義法求解：根據(jù)零點(diǎn)定義可知x1，是函數(shù)的零點(diǎn)．再由函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而可求得取值范圍【解答】解：（法一）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可知函數(shù)y＝ax與的圖象交點(diǎn)為，同理可得函數(shù)y＝logax與的圖象交點(diǎn)為．又因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax與y＝logax的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，函數(shù)的圖象也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以．由a＞1可知x2＞1，所以在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以x1+2x2＞3，（法二）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可知x1是方程的根，所以x1也是函數(shù)的零點(diǎn)．同理可得x2是方程的根，即，所以，所以也是函數(shù)的零點(diǎn)．又a＞1，所以函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以．由a＞1可知x2＞1，所以在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以x1+2x2＞3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）17．已知函數(shù)．（1）求f（x）的定義域；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）由題意知，，解之即可；（2）將兩邊平方化簡整理后得，f2（x）＝4+4，結(jié)合f（x）的定義域和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解．【解答】解：（1）由題意知，，解得1≤x≤3，故f（x）的定義域?yàn)閇1，3]．（2）易知f（x）≥0，將兩邊平方得，＝，∵f（x）的定義域?yàn)閇1，3]，∴f2（x）∈[4，8]，故f（x）的值域?yàn)椋军c(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域和值域，通過平方處理將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，4），對(duì)任意x滿足f（3﹣x）＝f（x），且有最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）在區(qū)間[﹣1，3]上，y＝f（x）的圖象恒在函數(shù)y＝2x+m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍．【分析】（1）求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝，又最小值是，設(shè)f（x）＝a+（a≠0），圖象過點(diǎn)（0，4），求出a，然后求解函數(shù)的解析式．（2）已知轉(zhuǎn)化為f（x）＞2x+m對(duì)x∈[﹣1，3]恒成立，分離變量，求解的最值即可．【解答】解：（1）由題意知，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝，又最小值是，則可設(shè)f（x）＝a+（a≠0），又圖象過點(diǎn)（0，4），則a+＝4，解得a＝1，∴f（x）＝+＝x2﹣3x+4．（2）由已知，f（x）＞2x+m對(duì)x∈[﹣1，3]恒成立，∴m＜x2﹣5x+4對(duì)x∈[﹣1，3]恒成立，∴m＜（x2﹣5x+4）min（x∈[﹣1，3]），∵g（x）＝x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值為g＝﹣．∴m＜﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．19．已知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）+f（y），又當(dāng)x2＞x1＞0時(shí)，f（x2）＞f（x1）．（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；（2）若有f（x）﹣f（x﹣2）＞3成立，求x的取值范圍．【分析】（1）由題意得：f（1）＝f（1×1）＝f（1）+f（1）＝2f（1），f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝2f（2），f（8）＝f（4×2）＝f（4）+f（2）＝f（2×2）+f（2）＝f（2）+f（2）+f（2）＝3f（2），由此能求出f（2），f（4），f（8）的值．（2）不等式化為f（x）＞f（x﹣2）+3，由f（8）＝3，得f（x）＞f（x﹣2）+f（8）＝f（8x﹣16），再由f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，能求出x的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（2）＝1，f（xy）＝f（x）+f（y），又當(dāng)x2＞x1＞0時(shí)，f（x2）＞f（x1）．∴由題意得：f（1）＝f（1×1）＝f（1）+f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0，f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝2f（2），f（8）＝f（4×2）＝f（4）+f（2）＝f（2×2）+f（2）＝f（2）+f（2）+f（2）＝3f（2），又∵f（2）＝1，∴f（4）＝2，f（8）＝3；（2）不等式化為f（x）＞f（x﹣2）+3，∵f（8）＝3，∴f（x）＞f（x﹣2）+f（8）＝f（8x﹣16），∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，∴，解得．∴x的取值范圍是（2，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．20．某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x（x∈N*）名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元（a＞0），剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.2x%．（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？（2）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下，若要求調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？【分析】（1）根據(jù)題意可列出10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，進(jìn)而解不等式求得x的范圍，確定問題的答案．（2）根據(jù)題意分別表示出從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤和從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤，進(jìn)而根據(jù)題意建立不等式，根據(jù)均值不等式求得求a的范圍．【解答】解：（1）由題意，得10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè)．（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，所以≤，所以，即恒成立．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即x＝500時(shí)等號(hào)