小奧四年級(jí)標(biāo)數(shù)法

四年級(jí)計(jì)數(shù)問題：標(biāo)數(shù)法

難度：高難度

如圖，某城市的街道由5條東西向公路和7條南北向公路組成，現(xiàn)在要從西南角內(nèi)處

沿最短的路途走到東北角出，由于修路，十字路口不能通過，那么共有種不同走

法.

解答:

四年級(jí)計(jì)數(shù)問題：標(biāo)數(shù)法

難度：中難度如圖為一幅街道圖，從A動(dòng)身經(jīng)過十字路口13,但不經(jīng)過C走到D的

不同的最短路途有條.

解答：

18種：1

計(jì)數(shù)習(xí)題標(biāo)數(shù)法和加法原理的綜合應(yīng)用

（★★★★）有20個(gè)相同的棋子，一個(gè)人分若干次取，每次可取1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)或4個(gè)，

但要求每次取之后留下的棋子數(shù)不是3或4的倍數(shù)，有（）種不同的方法取完這堆棋

子.

【分析】把20、0和20以內(nèi)不是3或4的倍數(shù)的數(shù)寫成一串，用標(biāo)號(hào)法把全部的方

法數(shù)寫出來：

考點(diǎn)說明：本題主要考察學(xué)生對(duì)于歸納遞推思想的理解，詳細(xì)來說就是列表標(biāo)數(shù)法的運(yùn)

用，難度一般，只要發(fā)覺了題目中的限制條件，寫出符合條件的剩余棋子數(shù)，然后進(jìn)行遞推

就可以了。

〈評(píng)價(jià)》：計(jì)數(shù)問題在各大考試中所占的重量越來越重，計(jì)數(shù)的學(xué)問也學(xué)習(xí)的比較早，

標(biāo)號(hào)法是加乘原理中加法原理的內(nèi)容，在四年級(jí)以前已經(jīng)學(xué)習(xí)過，但是敏捷應(yīng)用學(xué)習(xí)過的學(xué)

問才是學(xué)習(xí)最重要的意義，六年級(jí)上（第十一級(jí)）第10講會(huì)將計(jì)數(shù)問題與應(yīng)用題或者最值

問題進(jìn)行綜合學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)后實(shí)力會(huì)有進(jìn)一步的提高。

計(jì)數(shù)方法與技巧（標(biāo)數(shù)法例題1）

5.如圖所示，沿線段從/到方有多少條最短路線?

【分析】圖中5在/的右上方，因此從/出發(fā)，只能向上或者向右才能使路線

最短，那么反過來想，如果到達(dá)了某一個(gè)點(diǎn)，也只有兩種可能：要么是

從這個(gè)點(diǎn)左邊的點(diǎn)來的，要么是從這個(gè)點(diǎn)下邊的點(diǎn)來的.

那么，如果最后到達(dá)了方，只有兩種可能：或者經(jīng)過°來到6點(diǎn)，或者

經(jīng)“來到萬點(diǎn)，因此，到達(dá)3的走法數(shù)E就應(yīng)該是到達(dá)C點(diǎn)的走法數(shù)和

到達(dá)D點(diǎn)的走法數(shù)之和；而對(duì)于到達(dá)C出走法，又等于到達(dá)￡和到達(dá),

的走法之和，到達(dá)◎的走法也等于到達(dá)尸和到達(dá)G的走法之和，這樣我

們就歸納出：到達(dá)任何一點(diǎn)的走法都等于到它左側(cè)點(diǎn)走法數(shù)與到它下側(cè)

點(diǎn)、走法數(shù)之和，根據(jù)加法原理，我們可以從4點(diǎn)開始，向右向上逐步求

出到達(dá)各點(diǎn)的走法數(shù).如圖所示，使用標(biāo)號(hào)方法得到從4到8共有10種

不同的走法.

計(jì)數(shù)方法與技巧（標(biāo)數(shù)法例題2）

［分析］因?yàn)椴辉?的右F方，由標(biāo)號(hào)法?！钢瑥?到外的最短路徑上，到達(dá)

任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之

和.有積水的街道不可能有路線經(jīng)過，可以認(rèn)為積水點(diǎn)的走法數(shù)是0.接

下來，可以從左上角開始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點(diǎn)的

走法數(shù).如右上圖，從4到萬的最短路線有22條.

如圖，從?樓到二樓有12梯，小明?步只能上1梯或2梯，間小明從1樓上到2樓有多少

種走法？

一只蜜蜂從A處動(dòng)身，同到家里B處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆

行，共有多少種回家的方法？

解答：蜜蜂“每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的峰房而不準(zhǔn)逆行”這意味著它只能從

小號(hào)碼的蜂房爬進(jìn)相鄰的大號(hào)碼的蜂房。明確了行走路徑的方向，就可運(yùn)用標(biāo)數(shù)法進(jìn)行計(jì)算。

如圖所示，小蜜蜂從A動(dòng)身到B處共有89種不同的回家方法。

例1.按圖中笳頭所指的方向行走，從A到I共有多少條不同的路途？

解答:

第1步:在起點(diǎn)A處標(biāo)1。再視察點(diǎn)B,要想到達(dá)點(diǎn)B,只有一個(gè)入口A,所以在B點(diǎn)也

標(biāo)io

第2步:再視察點(diǎn)C,要想到達(dá)點(diǎn)C,它有兩個(gè)入口A和B,所以在點(diǎn)C處標(biāo)1+1=2。

同理重復(fù)點(diǎn)F,點(diǎn)D,點(diǎn)E,點(diǎn)G,點(diǎn)H,點(diǎn)I

還是從例題開始吧:

一個(gè)打醬油的

人從門」家（A

地）到醬油店

（B地）要走最

短路線（不然

醬汕會(huì)壞掉），

那么一共有多

少種走法呢？

分析：既然要走最短路途，自然是不能回頭走,所以從A地到B地的過程中只能向右或向

下走.

我們首先來確認(rèn)一件事，加下圖

1p

QB

從A地到P點(diǎn)有m種走法,到Q點(diǎn)有n種走法,那么從A地至ljB地有多少種走法呢

就是用加法原理,一夫有m+n種走法.

這個(gè)問題明白了之后,我們就可以來解決這道例題了：

首先由于只能向右或向下走，那么最上面行和最左邊列的每個(gè)點(diǎn)都只能有種走

法，（因?yàn)椴恍幸宰呋仡^路）.

我們就在這些交點(diǎn)的旁邊標(biāo)記上一個(gè)數(shù)字，代表走到這個(gè)位置有多少種方法.

A111

1

1

1

1

術(shù)后我們?cè)傺a(bǔ)全剩下的格.

弓法就是每個(gè)格的數(shù)都等于它上面和左邊的兩個(gè)數(shù)的和?

A______11.1

1______

34

1______、

310

1______

41020

1---------B

51535

那么從A地走到B地就有35種走法.

做法跟之前相似，首先先確定最上一行和最左一列每一個(gè)點(diǎn)都只有一種走法可以走到.

1111111

然后我們依然按照每個(gè)交點(diǎn)標(biāo)的數(shù)等于他上面和左邊體數(shù)的和的原則來標(biāo)數(shù).有水的地方都標(biāo)做0(0為無法走?

并不只有這種間多少種走法的題可以用到標(biāo)數(shù)法，還有很多問題可以使用這種思想來解決.

有一個(gè)5位數(shù),每個(gè)數(shù)字都是1,2,3,4,5中的一個(gè),并且用臨兩位數(shù)之差是1.那么這樣的5

位數(shù)究竟有多少個(gè)呢（數(shù)字可以重復(fù)）

這是一道數(shù)論的題目，但是我們也可以運(yùn)用標(biāo)數(shù)法來解答，并且特別直觀.

A

第一位...................

第：位.????

第三位...................

第四位...................

......................................................

12345

B

我們可以這樣理解這一道題，從A地到B地途中需要經(jīng)過5個(gè)站，每個(gè)站有5個(gè)門分別1,2,3,4,5號(hào).

在前一站過了門之后下一站必須去旁邊的一個(gè)門，間有多少種走法.

那么我們來試下進(jìn)行標(biāo)數(shù).

第一位

"位

第_￡彳立?????

第四位...................

第/［位?????

到第一站可以有5種選擇,每種選擇有一種走法,

那么下一站,

走1號(hào)門就只有一種走法（就是第一站走的2號(hào)門），

走2號(hào)門就有2種走法（第一站走1號(hào)或3號(hào)門）

走3號(hào)門也是2種走法（第一站走2號(hào)門或4號(hào)門）

走4號(hào)門2種走法（第一站走3號(hào)門或者5號(hào)門）

走5號(hào)門只有一種走法（第一站走的是4號(hào)門）

我們發(fā)覺在這一站經(jīng)過某個(gè)門有多少種走法,正好等于他左上和右上的兩個(gè)數(shù)字和.于

是我們可以將數(shù)字標(biāo)全.

第?位

第二位

第二位

第四位

第五位

這道題的答案就是42種,

雖然許多同學(xué)會(huì)用枚舉法也能做出42種，但是一旦這道題給的不是5位數(shù),而是7位數(shù),

9位數(shù)的話,枚舉法就顯得無力了.這種時(shí)候標(biāo)數(shù)法是個(gè)不錯(cuò)的選擇.

可以用到標(biāo)數(shù)法的問題有許多，大家駕馭這種方法之后可以解決許多平常看起來很麻煩

的題目。

在口常工作、生活和消遣中，常常會(huì)遇到有關(guān)行程路途的問題.在這一講里，我們主要解決

的問題是如何確定從某處到另一處最短路途的條數(shù)。

例1下圖4—1中的線段表示的是汽車所能經(jīng)過的全部公路，這輛汽車從A走到B

處共有多少條最短路途？

1C1

E2P3

1

3I6

圖4T圖4-2

分析為了敘述便利，我們?cè)诟鹘徊纥c(diǎn)都標(biāo)上字母.如圖4—2.在這里，首先我們應(yīng)當(dāng)明

確從A到B的最短路途究竟有多長(zhǎng)？從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，不論怎樣走，最短也要走長(zhǎng)方形AHB

D的一個(gè)長(zhǎng)與一個(gè)寬，即AD+DB.因此，在水平方向上，全部線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于AD；在豎

直方向上，全部線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于DB.這樣我們走的這條路途才是最短路途.為J'保證這

一點(diǎn)，我們就不應(yīng)當(dāng)走“回頭路”，即在水平方向上不能向左走，在豎直方向上不能向上走.

因此只能向右和向下走。

有些同學(xué)很快找出了從A到B的全部最短路途，即：

CfDfGfBA_*CfFfGfB

A-C-F-—BA-E-1-G-B

通過驗(yàn)證，我們確信這六條路途都是從A到B的最短路途.假如依據(jù)上述方法找，它的

缺點(diǎn)是不能保證找出全部的最短路途，即不能保證“不漏”.當(dāng)然假如圖形更困難些，做到

“不重”也是很困難的V

現(xiàn)在視察這種題是否有規(guī)律可循。

1.看C點(diǎn)：由A、FtlF和由D都可以到達(dá)C,而由F-*C是由下向上走，rflD-C是由右

向左走，這兩條路途不管以后怎樣走都不行能是最短路途.因此，從A到C只有一條路途。

同樣道理：從A到D、從A到E、從A到H也都只有一條路途。

我們把數(shù)字“1”分別標(biāo)在C、1）、E、H這四個(gè)點(diǎn)上，如圖4—2。

2.看F點(diǎn)：從上向下走是C-F,從左向右走是E-F,那么從A點(diǎn)動(dòng)身到F,可以是A

fC-F,也可以是A-E-F,共有兩種走法.我們?cè)趫D4―2中的F點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“2".2=1+1.

第一個(gè)“1”是從A-C的一種走法；其次個(gè)“1”是從A-E的一種走法。

3.看G點(diǎn)：從上向下走是D-G,從左向右走是F-G,那么從A-G

可以這樣走：AfC—D—G,:二:?FfG,共有三種走法.

我們?cè)贕點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“3”.3—2+1,“2”是從A-F的兩種走法，“1”是從A-D的一

種走法。

4.看I點(diǎn)：從上向下走是F-I,從左向右走是H-*I,那么從動(dòng)身點(diǎn)

AfC

AfI可以這樣走：FfI,AfEfHfI,共有三種走法,

AC

在I點(diǎn)標(biāo)上“3”.3=2+1.“2”是從AfF的兩種走法;在“是從A-4I的一種走法。

5.看B點(diǎn)：從上向下走是G-B,從左向右走是I-B,那么從動(dòng)身點(diǎn)A-B可以這樣走:

A-*C-*DA-E