小學(xué)奧數(shù)工程問(wèn)題

工程問(wèn)題

講解一：例：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問(wèn)兩人合作幾天可以完成？

法一：一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量,

我們用的時(shí)間單位是“天”，1天就是一個(gè)單位，

所需時(shí)間=工作量+工作效率

=6]天）?

兩人合作需要6天.這是工程問(wèn)題中最根本的問(wèn)題。

法二：為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），把工作量多設(shè)份額.此題，10與15的最小公倍數(shù)是

30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是

304-[3+2）=6（天）

數(shù)計(jì)算，就方便些.

10天與15天，體現(xiàn)了甲、乙兩人工作效率之間比例關(guān)系.之：2=3

法三：1015：2.或者說(shuō)“工作量

固定，工作效率與時(shí)間成反比例".甲、乙工作效率的比是15：10=3:2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，

從比例角度考慮問(wèn)題，也

3

10X-=6（天）

需時(shí)間是

因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體I"的做法，而偏重于“整

數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)"，也許會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.

一、兩個(gè)人的問(wèn)題：標(biāo)題上說(shuō)的“兩個(gè)人"，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.

例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.

乙需要做幾天可以完成全部工作？

答：乙需要做4天可完成全部工作.

解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下

工作所需時(shí)間是（18-2X3）+3=4（天）.

解三：甲與乙的工作效率之比是6：9=2：3.

甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=41天）.

例2?件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了G天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完

成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？

解：共做了6天后，原來(lái)，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，牛做0天，乙做40=（24+16）天這說(shuō)明原

是乙的工作效率的—=-

來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替.因此甲的工作效率243

2

30+30X-=50（天）.

如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是3

2

50+[=75（天）

如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是

答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.

例3某T程先由甲獨(dú)做6R天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成：如果由甲、乙兩人合作,需福天完成.

現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？

解：先比照方下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙

工作效率是乙的工作效率的蕓=（倍）.

要多做48-28=20（天），由此得出甲的1532

4

21X-=28（天），

甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21〔天），相當(dāng)于乙要做3

因此，乙還要做28+28:56（天）.

答：乙還需要做56天.

例4一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天,

乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問(wèn)開始到完工共月了多少天時(shí)間？

1-1…13

—X2+—X2=—.

解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量103016

嗚+加=1（天），

（1-

余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是

2+8+1=11]天）.

答：從開始到完工共用了11天.

解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天

之后，還需兩隊(duì)合作（30-3X8-IX2）4-[3+1）=1（天）.

解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天后，還余下（甲隊(duì)）10-8=2（天）工作量.

相當(dāng)于乙隊(duì)要做2X3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)〕6-2=4（天）工作量.4=3+1,其中3

天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天.

例5一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了

3天，乙隊(duì)休息了假設(shè)干天.從開始到完成共用了16天.問(wèn)乙隊(duì)休息了多少天？

；11

解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是16義（而+而

由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是331

乙隊(duì)休息期間未做的工作量是32060-

-=5-（天）

乙隊(duì)休息的天數(shù)是60302

答：乙隊(duì)休息了5天半.

解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊(duì)休息期間未做的工作量是

（3+2）X16-60=20]份）.

因此乙休息天數(shù)是（20-3X3）4-2=5.5（天）.

解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)亍乙隊(duì)休息4.5天.

如果甲隊(duì)16天都不休息、，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5

1天）.

例6有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要8

天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？

解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.

設(shè)乙的工作量為60份（15與2。的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.

8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4X8）份.由張、李合作需要

(60-4X8)4-(4+3)=4(天).8+4=12］天).

2+3+2,

甲、乙、丙三人合作每天完成364560180

611

-

減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成1804590

甲獨(dú)做需要1+占=90（天）

答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.

例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、

丙合作每天完成3份.請(qǐng)?jiān)囈辉?，?jì)算是否會(huì)方便些？

例10一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了假設(shè)干天，然

后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終

于做完了這件工作.問(wèn)總共用了多少天？

解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3X2=6（天）.

說(shuō)明甲做了2天，乙做了2X3=3（天），丙做2X6=12（天），三人一共做了2+6+12=20（天）.

答：完成這項(xiàng)工作用了20天.

此題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便.12,18,24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為

72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.總共用了

例11一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、

乙兩人合作1天.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？

解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2（倍），甲、乙合

作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

1326/工、

13+~^~+虧=26（天）.

他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要33

答：甲獨(dú)做需要26天.

事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3：2：1,就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.

三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為日再做13天來(lái)完成.（OK）

例12某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問(wèn)甲組2人和乙組1人合作多

少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？

觸一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1.

—.3=—

甲組每人每天能完成824

乙組每人每天能完成亍丁-28

甲組2人和乙組7人每天能完成24283

答：合作3天能完成這項(xiàng)工作.

解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.

現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問(wèn)合作幾天完成？

小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出

答數(shù).

例13制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙

車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個(gè).

問(wèn)丙車間制作了多少個(gè)零件？

艇一：仍設(shè)總丁作量為1.

111

――——.

甲每天比乙多完成101530

401

2400^-—=16200（個(gè)）

因此這批零件的總數(shù)是930

740

16200X——X—=4200（個(gè)）

丙車間制作的零件數(shù)目是1209

答：丙車間制作了4200個(gè)零件.

解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成

5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8X2:161份），丙完成30-16=141份），

就知乙、丙工作效率之比是16：14=8：7.甲、乙工作效率之比是3：2=12：8.綜合一起，甲、乙、

丙三人工作效率之比是

12：8：7.

當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是

24004-(12-8)X7=4200］個(gè)).(差倍)

例14搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B,

甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉(cāng)

庫(kù)貨物同時(shí)搬完.問(wèn)丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？

解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2,所需時(shí)間是

答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí).

解此題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間.此題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)

全部工作量為6().甲每小時(shí)搬運(yùn)6,乙每小時(shí)搬運(yùn)5,丙每小時(shí)搬運(yùn)4.

三人共同搬完，需要60X2+(6+5+4)=8(小時(shí)).

甲需丙幫助搬運(yùn)(60-6X8)4-4=3(小時(shí)).

乙需丙幫助搬運(yùn)(60-5X8)+4=5(小時(shí)).

三、水管問(wèn)題

例15甲、乙兩管同時(shí)翻開，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先翻開甲管，10分鐘后翻開乙管，經(jīng)過(guò)3

分鐘就注滿了水池.甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？

(1=上

甲每分鐘注入水量是315

112

..-...=--

乙每分鐘注入水量是91545'

0.6-d-箱=27（立方米）

因此水池容積是

答：水池容積是27立方米.

例16有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在

打開其中若干根水管，經(jīng)過(guò)預(yù)定時(shí)間的工再把打開的水管增加1倍，就能

3按預(yù)定時(shí)間注滿

水池，如果開始時(shí)就翻開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池.問(wèn)開始時(shí)翻開了幾根

水管？

答：開始時(shí)翻開6根水管.

例17蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時(shí)，單開丙管

需要5小時(shí).要排光一池水，單開乙管需要

4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí)現(xiàn)在池內(nèi)有!池水如果按甲、乙、丙、丁、甲

乙、……的順序輪流翻開1小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開始溢出水池？

我們注意到，每次四個(gè)水管輪流打開后，水池中的水不能超過(guò)池的芻

3,否那么開甲管的過(guò)程

?21.72

因?yàn)椋èD_-）丁—=4_9

中水池里的水就會(huì)溢出.36607

2

所以甲、乙、丙、丁這樣循環(huán)4次后，水池中的水還不到?循環(huán)效

3（此處取5因?yàn)楣嗟谋扰诺?/p>

量大）

以后（2（）小時(shí)），池中的水已有

此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬3（）尺才能到達(dá)井口，

每小時(shí)它總是爬3尺，乂滑卜2尺.問(wèn)這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？

看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3-2=11尺），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口.

因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí).

例18一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果翻開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果翻開

8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在翻開13個(gè)水龍頭，間要多少時(shí)間才能把水放空？

解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4X60=240（立

方米）.

時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是2404-（5X150-8X90）=8（立方米），

8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8X8X90,

其中90分鐘內(nèi)流入水量是4X90,因此原來(lái)水池中存有水8X8X90-4X90=5400（立方米）.

翻開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8X13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的5400,

需要

54004-（8X13-4）=541分鐘）.答：翻開13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.

水池中的水，有兩局部，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解此題的關(guān)鍵是先求出池中原存有

的水.這在題目中卻是隱含著的.（牛吃草）

例19一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的.翻開A管，8小時(shí)可將滿池水排空,

翻開C管，12小時(shí)可將滿池水排空.如果翻開A,B兩管，4小時(shí)可將水排空.問(wèn)翻開B,C兩管，要幾小

時(shí)才能將滿池水排空？

解：設(shè)滿水池的水量為1.

[+1小時(shí)滲入水量，

A管每小時(shí)排出8

q+4小時(shí)滲入水量.

A管4小時(shí)排出2

因?yàn)锳,B合開時(shí)，4小時(shí)將滿池水排完，所以B管4小時(shí)的推水量為每

小時(shí)排水量為g+4=：C管每小時(shí)排水量是7T+1小時(shí)的滲水量.

2o"

因此，B，C兩管齊開，每小時(shí)排水量"時(shí)的滲水量

11A

1+（~+TT）=4—（小時(shí)）=4小時(shí)48分.

B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時(shí)間是8125

答：B,C兩管齊開要4小時(shí)48分才將滿池水排完.

此題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具休數(shù)量，像工程問(wèn)題不知工作量的具

體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要防止混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水

設(shè)為8與12的最小公倍數(shù)24.

17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓寫過(guò)一本《普遍算術(shù)》一書，書中提出了一個(gè)“牛吃草”問(wèn)題，這是一道

饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長(zhǎng)出的草、

牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.

講解二:

例1、甲、乙一人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘.

甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？

分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但是既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)

系來(lái)解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。

我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還

需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的解法來(lái)解答。

答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。

例2、單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙那么要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才

能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間完成。

問(wèn)：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析與解：乙單獨(dú)做要超過(guò)3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說(shuō)明甲做2天等于乙做

3天，即完成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的2

1+（市+77）=6（天）

乙需要10+5=151天）。甲、乙合作需要1015

例3、放滿一個(gè)水池的水，假設(shè)同時(shí)翻開1,2,3號(hào)閥門，那么20分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開2,3,

4號(hào)閥門，那么21分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻開1,3,4號(hào)閥門，那么28分鐘可以完成；假設(shè)同時(shí)翻

開1,2,4號(hào)閥門，那么30分鐘可以完成。問(wèn)：如果同時(shí)翻開1,2,3,4號(hào)閥門，那么多少分鐘可以

完成？

分析與解：同時(shí)翻開1,2,3號(hào)閥門I分鐘，再同時(shí)翻開2,3,4號(hào)閥門I分鐘，再同時(shí)翻開1,3,4

號(hào)閥門1分鐘，再同時(shí)翻開1，2,4號(hào)閥門1分鐘，這時(shí)，1,2,3,4號(hào)閥門各翻開了3分鐘，放水量

等于一

例4、某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、

四小隊(duì)合干，需15天完成。如果按?一、二、三、四、一、二、三、四、……的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天

地輪流干，那么工程由哪個(gè)隊(duì)最后完成？

分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是

1117

G+3+不）+2=荔，四個(gè)小隊(duì)各干了6天即24天后，還剩下工程量的

o1U1J4o

71

1./X6=3。又因?yàn)橐弧⒍?、三小?duì)合干需8天，即一、二、三小隊(duì)各干

4oO

1天完成工程量的《，所以工程由三小隊(duì)最后完成。

O

例5甲、乙、丙三人做一件工作，原方案按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且

結(jié)束工作的是乙。假設(shè)按乙、丙、甲的順序輪流

去做，則比計(jì)劃多用1天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計(jì)劃多

用?天。己知甲單獨(dú)做完這件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一起做這

3件工作，要用多

少天才能完成？

分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無(wú)論誰(shuí)先誰(shuí)后，完成的總工作量都相同。

所以三種順序前面假設(shè)干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下列圖虛線左邊），相差的就是最后一

輪（見下列圖虛線右邊）。

由最后一輪完成的工作量相同，得到

競(jìng)賽一:

1.甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)司以完成任務(wù).如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成.現(xiàn)在

2

甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2—小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù).問(wèn)

5

乙一共加工零件多少個(gè)？

【分析與解】乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工！--L=-L.

81224

甲調(diào)出后，剩下工作乙需做（8-2-）X（-+—）=—（小時(shí)），所以乙每小時(shí)加工零件420+但=25個(gè),

582455

22

那么2—小時(shí)加工2—X25=60（個(gè)），因此乙一共加工零件60+420=480（個(gè)）.

55

2.某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成..如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)

在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么還需做多個(gè)天？

【分析與解】由右表知，甲單獨(dú)工作15天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作20

甲乙

天，也就是甲單獨(dú)工作3天相當(dāng)于乙單獨(dú)工作4天.

63天28天可完成

所以，甲單獨(dú)工作63天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作63+3X4=84天，

48天48天可完成

即乙單獨(dú)工作天即可完成這項(xiàng)工程.

84+28=11215天20天相當(dāng)

現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，相當(dāng)于乙單獨(dú)工作42+3X4=56天，即乙方

這項(xiàng)工程.

3.有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)犯修需15天.現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中間

甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完.當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多

少天才完成？

【分析與解】甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為J-+J_+_L=_L,那么它們6天完成的工程量為

1012154

13

-X6=-,而實(shí)際上因?yàn)橹型緢?bào)出甲隊(duì)6天完成了的工程量為1.

42

所以3—1二1是因?yàn)榧钻?duì)的中途撤出造成的，甲隊(duì)需天）才能完成1的工程量，所以甲隊(duì)

2221（）2

在6天內(nèi)撤出了5天.所以，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、因兩隊(duì)又共同合修了5天才完成.

4.一件工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成，甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰好完成一半.現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合

做假設(shè)干天后，由乙隊(duì)單獨(dú)完成，做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等，那么共用了多少天？

【分析與解】甲隊(duì)做6天完成一半，甲隊(duì)做3天乙隊(duì)做2天也完成一半。所以甲隊(duì)做3天相當(dāng)于乙隊(duì)

做2天.

22

即甲的工作效率是乙的一，從而乙單獨(dú)做12X二=8（天）完成.所以兩段所用時(shí)間相等，每段時(shí)間應(yīng)是:

33

2

8+（1+1+不）=3（天），因此共用3X2=6（天）.

5.抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每

天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成?

5

【分析與解】甲、乙、丙合抄一天完成書稿的！，又甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因

8

此甲兩天抄寫書稿的1，即甲每天抄寫書稿的」-；

816

由于丙抄寫5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的1，即丙每天抄寫書稿的」-；于是可知

848

乙每天抄寫書稿的,11_1

81648-24

所以乙一人單獨(dú)抄寫需要1:1-二24天才能完成.

24

6.游泳池有甲、乙、丙三個(gè)注水管.如果單開甲管需要20小時(shí)注滿水池；甲、乙兩管合開需要8小

時(shí)注滿水池；乙、丙兩管合開需要6小時(shí)注滿水池.那么，單開丙管需要多少小時(shí)注滿水池?

113

【分析與解】乙管每小時(shí)注滿水池的--一=一,

82040

丙管每小時(shí)注滿水池的一1一33二——11.

640120

因此，單開丙管需要1+4-=世=103（小時(shí)）.

1201111

7.一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可

以完成.那么甲、丁兩人合作多少大可以完成？

【分析與解】甲、乙，乙、區(qū)，丙、丁合作的工作效率依次是1、.

8612

對(duì)于工作效率有（甲，乙）+（丙，?。┮唬ㄒ遥?（甲，?。?

即_L+_L—_L=_L,所以甲、丁合作的工作效率為

81262424

所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程.

8.一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成.那么

丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天？

【分析與解】方法一：對(duì)于工作效率有：

（甲，乙）+（乙，丙）一（丙，甲）二2乙，即」+1一」-二12為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率

891872

1131

而對(duì)于工作效率有，（乙，丙）一乙二丙，那么丙的工作效盅為一———=一

914448

那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需1+」-=48天.

48

1II2121

方法二：2（甲，乙，丙）二（甲+乙）+（乙、丙）+（甲、丙）=一+—+—=一,所以（甲，乙，丙）二一

89187272

2121

4-2=——，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為——.

144144

2111

那么丙單獨(dú)工作的工作效率為一,那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需48天.

144848

9.某工程如果由第1、2、3小隊(duì)合干需要12天才能完成：如果由第1、3、5小隊(duì)合干需要7天才能完

成；如果由第2、4、5小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第I、3、4小隊(duì)合干需要42天才能完成.那

么這5個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程？

【分析與解】由條件可得，

對(duì)于工作效率有：

（1、2、3）+（1、3、5）+2（2、4、5）+（1、3、4）=3（1、2、3、4、5）.

所以5個(gè)小隊(duì)一起合作時(shí)的工作效率為：

i1.1.o1.11.O-1

I—十——十/Xx—十—)-J-----

1278426

所以5個(gè)小隊(duì)合作需要6天完成這項(xiàng)工程.

評(píng)注：這類需綜合和差倍等知識(shí)的問(wèn)題在工程問(wèn)題中還是很常見的.

10.一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水.假設(shè)只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已

滿；假設(shè)只開乙、內(nèi)兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿.又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注

水量的2倍.那么該水箱最多可容納多少噸水？

【分析與解】設(shè)甲管注入18噸水所需的時(shí)間為“1”，而乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2

倍,那么乙管注入18噸的水所需時(shí)間為“0.5”,所以乙管注入27噸水所需的時(shí)間為27:18X65=675.

以下采用兩種方法：

方法一：設(shè)丙在單位時(shí)間內(nèi)注入的水為“1”，那么有：

因此18+“1”=27+“0.75”,那么“0.25”=9噸，所以"1”

=36噸，即丙在單位時(shí)間內(nèi)灌入36噸的水.

所以水箱最多可容納18+36=54噸的水.

3

方法二：也就是說(shuō)甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的一.

4

3

再設(shè)甲單獨(dú)灌水的工作效率為“1”，那么乙單獨(dú)灌水的工作效率為“2”，有1+丙=巳〔2+丙）；所

4

以丙的工作效率為“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌時(shí)，丙也灌了27噸，

那么水箱最多可容納27+27=54噸水.

11.某水池的容積是100立方米，它有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.甲、乙兩管單獨(dú)灌滿水池分別

需要10小時(shí)和15小時(shí).水池中原有一些水，如果甲、乙兩管司時(shí)進(jìn)水而排水管放水，需要6小時(shí)將水

池中的水放完；如果甲管進(jìn)水而排水管放水，需要2小時(shí)將水池中的水放完.問(wèn)水池中原有水多少立方

米？

【分析與解】甲每小時(shí)注水100?10=10（立方米），

20

乙每小時(shí)注水100+15=一（立方米），

3

設(shè)排水管每小時(shí)排水量為“排〃，

那么（"排”一10一型）X3=（“排〃-10）,整理得3“排〃-3X竺二“排”一10,2"排”=40,

33

那么"排”=20.

所以水池中原有水（20一10）X2=20（立方米）.

12.一個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有假設(shè)干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管.當(dāng)翻開4個(gè)進(jìn)水管

時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池：當(dāng)翻開2個(gè)進(jìn)水管時(shí),需要15小時(shí)才能注滿水池.現(xiàn)在需要在2小時(shí)

內(nèi)將水池注滿，那么最少要翻開多少個(gè)進(jìn)水管？

【分析與解】記水池的容積為“1”，設(shè)每個(gè)進(jìn)水管的工作效率為“進(jìn)"，排水管的工作效率為“排〃，

那么有：

4“進(jìn)〃一"排”二L2"進(jìn)"一"排"二-L

515

所以有，2“進(jìn)〃=（,一1"）=2,那么，，進(jìn)"=J_,那么“排”=—.

515151515

題中需同時(shí)翻開x個(gè)進(jìn)水管2小時(shí)才能注滿，有：

x“進(jìn)〃一"排〃即Lx—,二解得x=8.5

215152

所以至少需翻開9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注洪.

13.蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管

要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有,池水.如果按

需要5小時(shí).

6

甲、乙、丙、丁的順序循環(huán)開各水管，每次每管開1小時(shí)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后水開始溢出水池？

【分析與解】方法一：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是

1170

全池的,+———二--

34566,

最優(yōu)情況為：在完整周期后的1小時(shí)內(nèi)灌滿一池水.因?yàn)榇藭r(shí)為甲管進(jìn)水時(shí)間，且甲的效率是四條

管子中最大的.

那么在最優(yōu)情況下：完整周期只需注入1—1一池水.

632

所需周期數(shù)為!上^7―0=3—0=42-

2677

17173

那么，至少需要5個(gè)完整周期，而5個(gè)完整周期后，水池內(nèi)有水一+—X5=—+—=，

6606124

311]3

剩下1一巳=—池水未灌滿，而完整周期后1小時(shí)內(nèi)為甲注水時(shí)間，有一+—=巳（小時(shí)）.

44434

33

所以，需5個(gè)完整周期即20小時(shí),再加上巳小時(shí)，即20?小時(shí)后水開始溢出.

44

方法二：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的,一

3

1717

加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：一+—=—.

66060

再過(guò)四個(gè)4小時(shí)，也就是20小時(shí)后，池內(nèi)有水：—+—X4=—,在20小時(shí)后，只需要再灌水

6061）60

451

1一，=—，水就開始溢出.

604

113333

一七-二二（小時(shí)），即再開甲管二小時(shí)，水開始溢出，所以20+二二2（）二（小時(shí)）后，水開始溢出水池.

434444

方法三：甲、乙、丙、丁四個(gè)水管，按順序各開1小時(shí)，共開4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的

3

一個(gè)周期后，池內(nèi)有水：一十—二—，二■有待注入；

6606060

二個(gè)周期后，池內(nèi)有水：口+工二2，迎即3有先待注入；

606060605

2473129

三個(gè)周期后，池內(nèi)有水：,一有待注入；

60606060

3]72211

四個(gè)周期后，池內(nèi)有水：一十—=——，一即一有待注入；

6060606030

五個(gè)周期后，池內(nèi)有水：---F—=—?—即一有待注入.

606060604

1113

而此時(shí)，只需注入一的水即可，小于甲管1小時(shí)注入的水量，所以有一+—二一（小時(shí)），即再開

4434

333

甲管一小時(shí)，水開始溢出，所以20+—=20—（小時(shí)）后，水開始溢出水池.

444

評(píng)注：這道題中要求的是第一次溢出，因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)不是均勻增加或減少，而是有時(shí)增加有時(shí)

又減少，所以不能簡(jiǎn)單的運(yùn)用周期性來(lái)求解，這樣往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解答，至于為什么？我們給出一個(gè)

簡(jiǎn)單的問(wèn)題，大家在解完這道題就會(huì)知曉.

有一口井，深20米，井底有一只蝸牛，蝸牛白天爬6米，晚上掉4米，問(wèn)蝸牛爬出井需多少時(shí)間？

14.一個(gè)水池，地下水從四壁滲入，每小時(shí)滲入該水池的水是固定的.當(dāng)這個(gè)水池水滿時(shí)，翻開A管，8

小時(shí)可將水池排空；翻開B管，10小時(shí)可將水池排空；翻開C管，12小時(shí)可將水池排空.如果翻開A,

B兩管，4小時(shí)可將水池排空，那么翻開B,C兩管，將水池排空需要多少時(shí)間？

【分析與解】設(shè)這個(gè)水池的容量是“1”

A管每小時(shí)排水晶是：,+每小時(shí)滲入水量；

8

B管每小時(shí)排水量是：—+每小時(shí)滲入水量:

10

C管每小時(shí)排水量是：—+每小時(shí)滲入水量:

12

A、B兩管每小時(shí)排水量是：L+每小時(shí)滲入水量.

4

因?yàn)?+每小時(shí)滲入水量+J-+每小時(shí)滲入水量=！_+每小時(shí)滲入水量，因此，每小時(shí)滲入水量是：—

81044

r1.1._