四川省遂寧市安居區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

安居區(qū)高中2025年上期半期考試高2024級數(shù)學(xué)試題總分：150分時(shí)間：120分鐘一?選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.1.等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.詳解】，故選：B2.若一個(gè)扇形的半徑為4，圓心角為，則這個(gè)扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由扇形面積公式即可求解；【詳解】，故選：C.3.下列函數(shù)中，在既是奇函數(shù)且最小正周期為的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的最小正周期的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期，且為奇函數(shù)，故A正確；對于B，函數(shù)的最小正周期，且為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)的最小正周期，且為偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，函數(shù)的最小正周期，且為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：A.4.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，，解?故選：D5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則邊長b等于（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可得，，所以故選：C6.在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的平行四邊形法則即可得到結(jié)論.【詳解】由平行四邊形法則知：,且M為線段AD的中點(diǎn)，故,所以,故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用角的變換，代入兩角差的正切公式即可求解.【詳解】．故選：B.8.若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡，再利用函數(shù)零點(diǎn)的意義及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而求出，最后利用二倍角的余弦求值.【詳解】函數(shù)，其中，由，得，而，因此，即，則即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用輔助角公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)用零點(diǎn)表示輔助角是求解問題的關(guān)鍵.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合要求的.9.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不共線的向量可以作基底判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)椋怨簿€，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋圆还簿€，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以共線，故C錯誤；對于D，因?yàn)椋圆还簿€，故D正確．故選：BD.10.已知是夾角為的單位向量，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.的夾角為 D.在上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】對A：借助向量模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；對B：借助數(shù)量積公式計(jì)算即可得；對C：借助向量夾角公式計(jì)算即可得；對D：借助投影向量的定義計(jì)算即可得.【詳解】是夾角為的單位向量，，對于，，同理可得，故錯誤；對于，，故正確；對于，因又，，故C正確；對于，所以在上的投影向量為，故正確.故選：．11.如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞增B.C.若先把的圖象左移2個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得函數(shù)的圖象，則在的值域?yàn)镈.若先把圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再左移2個(gè)單位得函數(shù)的圖象，則是偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)“五點(diǎn)法”，結(jié)合圖形求得，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)依次計(jì)算判斷即可.【詳解】A：由圖可知，，得，又，所以.將代入，得，由解得，所以.由，得，即單調(diào)增區(qū)間為，故A正確；B：由選項(xiàng)A可知，，，故B錯誤；C：把的圖象左移2個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得，由，得，所以，所以，故C錯誤；D：把圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再左移2個(gè)單位，得，則，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.12.的值為____.【答案】##【解析】【分析】先運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡，再應(yīng)用兩角差余弦公式計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：##.13.在正方形中，，則正方形邊長為___________.【答案】5【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的定義直接求得.【詳解】在正方形中，.設(shè)，則，解得：.所以正方形的邊長為5.故答案為：5.14.________．【答案】2【解析】【分析】利用余弦二倍角，輔助角公式和誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】.故答案為：2四?解答題：本題共5小題，15題13分，16-17題每小題15分，18-19題每小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知，，求：（1）；（2）.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式計(jì)算即得；（2）先計(jì)算出的坐標(biāo)，再求其模長即得.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以；【小?詳解】因?yàn)?，，則，于是.16.已知角，且.（1）求sin()的值;（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式分別計(jì)算即可求解.【小問1詳解】由題意知，，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以17.已知向量滿足，且的夾角為，（1）求；（2）當(dāng)向量與垂直時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解；（2）向量與垂直，即，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】由已知得.【小問2詳解】向量與垂直，，，解得.18.已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸的間距為，將函數(shù)的圖象上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將三角函數(shù)式化簡，由圖象的相鄰兩條對稱軸的間距為，求出，再由已知圖像變換得到的解析式，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，解出，通過誘導(dǎo)公式及二倍角公式即可求得的值.【小問1詳解】因?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸的間距為，所以函數(shù)的最小正周期為，即，所以，，又因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，所以令，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【小問2詳解】因?yàn)樗?又因?yàn)椋?，則，所以.19.如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處．（1）已知在時(shí)刻t（單位：min）時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度（其中，，，求函數(shù)解析式及5min時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；（2）當(dāng)點(diǎn)P距離地面及以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中有多少時(shí)間可以看到公園的全貌？【答案】（1），70m（2）0.5min【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函數(shù)解析式，求出；（2）