山西省青桐鳴2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

2027屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考（高一）數(shù)學(xué)（人教版）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級?考場號?座位號?考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由絕對值不等式的求解及交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：D.2.已知向量，，則與（）A.互為相等向量 B.互為相反向量 C.相互垂直 D.均為零向量【答案】B【解析】【分析】由坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，即互為相反向量．故選：B．3.設(shè)外接圓的半徑為，若，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得到，求得，解得，即可得到答案.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，若，由正弦定理，可得，所以，因?yàn)?，可得，所以為直角三角?故選：B.4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知存在正數(shù)，使得平行四邊形滿足，，則平行四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式，先求得，進(jìn)而求得，再根據(jù)面積公式即可求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，則，所以，所以平行四邊形的面積．故選：C．5.已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個復(fù)數(shù)根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代入已知方程中，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列式求解，即可求解.【詳解】將代入方程可得，即，故，解得，故.故選：B6.已知兩個非零向量，的夾角為，非零向量與的夾角為，若，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】如圖，記向量為題設(shè)中的向量，向量為題設(shè)中的向量，利用數(shù)量積的定義和轉(zhuǎn)化法計算可得.【詳解】如圖，記向量為題設(shè)中的向量，向量為題設(shè)中的向量，因?yàn)榕c的夾角為與的夾角可以看作的補(bǔ)角，所以，故可知，又因?yàn)?，所以．故選：D．7.如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為直角梯形，其中，，則四邊形的周長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在直觀圖中，先求出，根據(jù)斜二測畫法還原為原圖，求出，即可求解.【詳解】在直觀圖中，過作，垂足為，則，且四邊形為矩形，由，得將直觀圖還原為原圖，如圖，在四邊形中，，所以，所以四邊形的周長為.故選：C8.已知一種長方體禮物盒的長?寬?高之比為，現(xiàn)有如圖兩種方式包裝該禮物盒，方式①中包裝繩與禮物盒棱的交點(diǎn)均為棱的四等分點(diǎn)，方式②中包裝繩與禮物盒棱的交點(diǎn)均為棱的中點(diǎn).不計打結(jié)處的額外消耗，則使用方式①與使用方式②所需的包裝繩長之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)長方體禮物盒的長?寬?高分別為、、，求出方式①、②中包裝繩長，即可得解.【詳解】不妨設(shè)長方體禮物盒的長?寬?高分別為、、，由于方式①中包裝繩與禮物盒棱交點(diǎn)均為棱的四等分點(diǎn)，所以方式①中包裝繩長為；由于方式②中包裝繩與禮物盒棱的交點(diǎn)均為棱的中點(diǎn)，所以方式②中包裝繩長為，所以使用方式①與使用方式②所需的包裝繩長之比為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中為真命題的有（）A.圓柱的側(cè)面沿一條母線展開，則展開圖是一個矩形B.用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺C.棱柱的側(cè)面都是菱形D.四面體是棱錐【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.【詳解】對于A：圓柱的側(cè)面沿母線展開得到的是一個矩形，故A正確；對于B：用一個平行底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺，故B錯誤；對于C：棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，故C錯誤；對于D：四面體是三棱錐，故D正確.故選：AD10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，即可得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式求出，即可得到，最后根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算判斷即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，即，，，故A正確，B錯誤；又，，故C正確，D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的定義域是B.是奇函數(shù)C.是的一個周期D.是曲線的一個對稱中心【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)的解析式有意義，結(jié)合有定義，求得函數(shù)的定義域，可得判定A錯誤；根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判定方法，可判定B正確；求得，可判定C正確；求得，可判定D正確．【詳解】對于A中，由有定義，可得，又由，可得，即，所以函數(shù)的定義域是，且，所以A錯誤；對于B中，因?yàn)椋裕?，又因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以是奇函數(shù)，所以B正確；對于C中，由，即，所以是的一個周期，所以C正確；對于D中，函數(shù)的定義域關(guān)于點(diǎn)對稱，又由，可得，即，所以曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以D正確．故選：BCD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的實(shí)部是______【答案】1【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再根據(jù)定義可得．【詳解】，實(shí)部為1，故答案為：1.13.函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求得，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，又單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：14.已知的內(nèi)角所對的邊分別是，且，，則______．【答案】##【解析】【分析】先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解.【詳解】依據(jù)正弦定理，由，得，兩邊同乘，得，解得，又因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）研究函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于得到不等式，解得即可；（2）根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，解得即可.【小問1詳解】對于函數(shù)，令，即，解得或，所以的定義域?yàn)?【小問2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問3詳解】因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，不等式等價于，即或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù).（1）若，求復(fù)數(shù)；（2）證明：；（3）設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)的向量分別為，若，求的值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求得，然后根據(jù)求得a，即可得解；（2）結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，求出兩個復(fù)數(shù)的模即可得解；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分別求出，，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，所以；【小?詳解】由知，，又，所以，得證；【小問3詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面上對應(yīng)的向量為，在復(fù)平面上對應(yīng)的向量為，所以，故，又，所以.17.伊麗莎白圈是小動物戴在頸上防止它們抓撓傷口和患處或咬傷他人一種保護(hù)器具，其可看作圓臺的側(cè)面圍成的物體.某個伊麗莎白圈的母線長為3分米，所缺失的上、下底面的半徑分別為2分米、4分米，（結(jié)果均用含的最簡式表示）（1）若要在該伊麗莎白圈與寵物接觸的內(nèi)側(cè)表而全部涂層（不含外側(cè)表面），每平方分米需要消耗5克涂層材料，不考慮伊麗莎白圈的厚度與連接處的誤差，則該伊麗莎白圈需要消耗多少克涂層材料？（2）若將該伊麗莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圓臺，求所形成的圓臺的體積.【答案】（1）克（2）（立方分米）【解析】【分析】（1）求出圓臺的側(cè)面積即可得解；（2）求出圓臺的高，代入圓臺體積公式求解即可.【小問1詳解】由題意得，該伊麗莎白圈需要涂層的面積等價于圓臺的側(cè)面積，則圓臺的側(cè)面積（平方分米），因?yàn)槊科椒椒置仔枰?克涂層材料，所以，即該伊麗莎白圈需要消耗克涂層材料；【小問2詳解】該伊麗莎白圈的高為（分米），則，所以所形成的圓臺的體積為（立方分米）.18.如圖，在正方體中，分別為棱上分別靠近的三等分點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).（1）設(shè)平面平面平面，證明：三點(diǎn)共線；（2）證明：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平面性質(zhì)可得點(diǎn)在平面與平面的交線上，同理可得點(diǎn)、也在平面與平面的交線上，即可得證；（2）通過證明，得到，即可得證.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)在平面與平面的交線上，同理可得點(diǎn)、也在平面與平面的交線上，因?yàn)槠矫媾c平面不重合且不平行，所以平面與平面的交線唯一，所以三點(diǎn)共線；【小問2詳解】因?yàn)椤⒎謩e是棱、上分別靠近、的三等分點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以平面.19.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）若為直角，求