山西省呂梁市興縣友蘭中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)巻數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)2023～2024學(xué)年高一5月質(zhì)量檢測(cè)卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色，墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)第六章～第八章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B. C.2 D.8【答案】B【解析】【分析】由已知條件可得，再使用模長(zhǎng)的性質(zhì)和定義即可.【詳解】由已知有，故.故選：B.2.已知向量，滿(mǎn)足，且，則（）A.11 B.7 C.6 D.5【答案】A【解析】【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】因?yàn)椋蔬x：A.3.若異面直線m，n分別在平面，內(nèi)，且，則直線l（）A.與直線m，n都相交 B.可能與m，n都平行C.與m，n中的一條相交，另一條平行 D.至少與m，n中的一條相交【答案】D【解析】【分析】由線面位置關(guān)系推理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，則l與m平行或相交，l與n平行或相交，又m，n為異面直線，所以l不能與m，n同時(shí)平行，即l與m，n可能都相交，也可能與其中一條相交，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．4.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，利用三角恒等變換可得，進(jìn)而可得，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，所以，所以，因?yàn)?，，所以，，則，所以為直角三角形，但為直角三角形時(shí)不一定是，所以“”是“為直角三角形”的充分不必要條件．故選：A．5.已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】利用立體幾何公理、定理結(jié)合反例證明即可.【詳解】對(duì)于A，若，，，當(dāng)m，n都平行于，的交線時(shí)，滿(mǎn)足條件，此時(shí)，相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則m，n可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，則，故C正確；對(duì)于D，若，，，則m，n可能平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.如圖，在正三棱錐中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知這是一個(gè)正四面體，即各面都是等邊三角形，通過(guò)平移，就可作出異面直線所成的角，再進(jìn)行解三角形計(jì)算,就可得到結(jié)果.【詳解】取線段的中點(diǎn)G，連接由點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，可得，所以為直線與所成角或其補(bǔ)角．不妨設(shè)，由等邊三角形可得，，所以，在中，由余弦定理得，所以．在中，由余弦定理得，即直線PD與CE所成角的余弦值為．故選：C．7.為了測(cè)量、兩島嶼之間的距離，一艘測(cè)量船在處觀測(cè)，、分別在處的北偏西、北偏東方向．再往正東方向行駛48海里至處，觀測(cè)在處的正北方向，在處的北偏西方向，則、兩島嶼之間的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出圖形，由題意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由為等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得結(jié)果.詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：由題意知，，，所以，在中，由正弦定理得：解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理得：，解得，所以、兩島嶼之間的距離為海里．故選：D．8.在直四棱柱中，四邊形ABCD是矩形，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將平面沿翻折，使其與平面共面，結(jié)合牛吃草理論以及解三角形知識(shí)即可列式求解.【詳解】如圖，顯然當(dāng)F是G在底面ABCD的射影時(shí)，才可能最?。畬⑵矫嫜胤?，使其與平面共面，如圖所示，由于，則，則，得，同理，而，顯然當(dāng)E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線且時(shí)，取得最小值，此時(shí)．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.復(fù)數(shù)是方程的解D.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為【答案】AB【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則和模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)，得到共軛復(fù)數(shù)，即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出方程的解，即可判斷C；利用判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，又，則，所以，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故B正確；對(duì)于C：方程，即，解得或，所以復(fù)數(shù)不是方程的解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，所以的最大值為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是等邊三角形，，，點(diǎn)D是棱PB的中點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.點(diǎn)D到平面ABC的距離為 D.球O的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，證明，即可用勾股定理求解；對(duì)于B選項(xiàng)，證明線面垂直即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為E，證明，求出長(zhǎng)度即可；對(duì)于D選項(xiàng)，結(jié)合正弦定理，求外接圓半徑r，外接球半徑R與r構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求出外接球的半徑，從而得表面積.【詳解】如圖，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)D是棱PB的中點(diǎn)，所以，又，，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，又，，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為E，又，，所以，又，，，所以，所以點(diǎn)D到平面ABC的距離為DE，又，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)球O的半徑為R，的外接圓的半徑為r，所以，解得，所以，所以球O的表面積，故D正確,故選：ABD．11.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段PB，PC上的動(dòng)點(diǎn)，且，（，），點(diǎn)O，G分別為線段BC，MN的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）AB.的最小值為C.若，則的最小值為D.若，，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，通過(guò)向量的線性運(yùn)算即可驗(yàn)證；對(duì)于B，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將數(shù)量積轉(zhuǎn)換為閉區(qū)間上的二次函數(shù)，進(jìn)而判斷；對(duì)于C，先表示出，進(jìn)一步可表示出，結(jié)合模長(zhǎng)公式即可驗(yàn)算；對(duì)于D，將條件等式轉(zhuǎn)換為，結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，故A正確；對(duì)于B，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA所在的直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），設(shè)，，所以P（x，1），所以，所以的最小值為，此時(shí)，故B正確；因?yàn)?，（，），所以，，所以，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；因，若，，則，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值是，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是先表示出，進(jìn)一步可表示出即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】或【解析】【分析】設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得，解得答案即可.【詳解】設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，可得，解得或，故答案為：或13.如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)M，N分別為棱AB，上的點(diǎn)，且，點(diǎn)P是正方體表面上的一點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件分別在棱取點(diǎn)，證明平面，同理平面，進(jìn)而可得平面平面，從而P點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為，進(jìn)一步即可得解.【詳解】在棱上取一點(diǎn)E，使得，連接，EM，如圖所示，易得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．在棱上取一點(diǎn)F，使得，連接FN，F(xiàn)E，，如圖所示．同理可得平面，又，平面，所以平面平面．所以P點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為3，所以，，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．故答案為：.14.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，點(diǎn)D是邊CA上的一點(diǎn)，，，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】首先由余弦定理有，進(jìn)一步，從而通過(guò)等面積法得，結(jié)合基本不等式的乘“1”法即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，由余弦定理得，又，所以．又，所以，因?yàn)?，所以有，即，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)不同向量，其中．（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且，求與的夾角的余弦值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由題意設(shè)，結(jié)合模長(zhǎng)公式即可列式求解參數(shù)，進(jìn)而得解；（2）對(duì)已知等式兩邊平方并化簡(jiǎn)可得，利用轉(zhuǎn)換法可求的模，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可求得與的數(shù)量積，結(jié)合向量夾角公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且，所以可設(shè)，，所以，解得，所以或．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，解得，又，所以，又，設(shè)與的夾角為，所以，即與的夾角的余弦值為．16.如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.（1）求及AD的長(zhǎng)度；（2）求BC的長(zhǎng)度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用平方關(guān)系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，，所以，，由于，又，∴，∴，則，∴，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，，，且平面平面，點(diǎn)G是棱PA上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．（1）求證：．（2）若，平面PBC與平面GBD的交線為l，求證：平面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）通過(guò)線面垂直的判定定理證明平面，進(jìn)一步結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）通過(guò)線面平行的判定定理證明平面，然后線面平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)一步結(jié)合線面平行的判定定理即可得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．【小?wèn)2詳解】連接AC，記，連接GO，如圖所示．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面．18.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)一步結(jié)合已知即可得解；（2）將三角形的面積表示為，通過(guò)三角形是銳角三角形求出的范圍即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又，所以，所以，即，所以，可得，所以或，又，所以．【小?wèn)2詳解】由正弦定理，可得，所以，所以，又由為銳角三角形，且，則，解得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，即的面積的取值范圍是．19.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D，E分別為棱BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線DF與平面ABF所成角的正弦值；（3）求二面角余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）只需分別證明，，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得解；（2）首先通過(guò)分析可說(shuō)明是直線DF與平面ABF所成角，進(jìn)一步通過(guò)解三角形即可得解；（3）由二面角的定義分析說(shuō)明為二面角F-AD-C的平面角，再通過(guò)解三角形即可得解.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．在矩形中，，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，所以，所以是等邊三角形，又點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】在平面BCE內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作BF的垂線，垂足為H，如圖所示．由（1）知平面，又平面，所以，又