莆田三中2024-2025學(xué)年下學(xué)期期中（解析版）

莆田三中2024-2025學(xué)年下學(xué)期期中高一數(shù)學(xué)一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，然后由復(fù)數(shù)的幾何意義和共軛復(fù)數(shù)概念可得.【詳解】由得，所以，對應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限.故選：A2．在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，由平面向量的加法法則求解即可；【詳解】，故選：D.3．若直線a不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（

）．A．內(nèi)的所有直線與a是異面直線 B．內(nèi)不存在與a平行的直線C．內(nèi)存在唯一一條直線與a平行 D．內(nèi)的所有直線與a都相交【答案】B【分析】根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，A選項(xiàng)，內(nèi)過點(diǎn)的直線與共面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，內(nèi)，不過點(diǎn)的直線與異面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

BC，若存在，則由于，所以，這與已知矛盾，所以B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B4．已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的母線長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】D【分析】設(shè)母線長為，根據(jù)題意得到，即可求解．【詳解】設(shè)母線長為，由題意，可得，解得，即圓錐的母線長為．故選：D.5．如圖，在△ABC中，P是線段BN上的一點(diǎn)，若則實(shí)數(shù)m等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得，然后利用三點(diǎn)共線的推論即可得出答案.【詳解】，，因?yàn)镻、B、N三點(diǎn)共線，所以，故選：D.6．如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，則下列說法正確的有（

）個(gè)①，，，四點(diǎn)共面；②與異面；③與的交點(diǎn)可能在直線上，也可能不在直線上；④與的交點(diǎn)一定在直線上．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用平面幾何的性質(zhì)及平行公理可得，且四邊形EFGH是梯形，結(jié)合公理可得答案.【詳解】依題意，可得，，故，所以，，，四點(diǎn)共面；所以①正確，②錯(cuò)誤；因?yàn)椋运倪呅蜤FGH是梯形；EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn).又AC是這兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上.所以④正確，③錯(cuò)誤；故選：C.7．氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子，內(nèi)部木架結(jié)構(gòu)，外部毛氈圍攏，建造和搬遷都很方便，適合牧業(yè)和游牧生活．如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體，下半部分圓柱的高為2.5米；上半部分圓錐的母線長為米，軸截面（過圓錐軸的截面）是面積為平方米的等腰鈍角三角形，則建造該氈帳（不含底面）需要毛氈（

）平方米．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征求出圓錐的高和底面半徑，由此求出上半部分圓錐和下半部分圓柱的側(cè)面積，進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，如圖所示為該組合體上半部分為圓錐，由于其母線長為米，軸截面是面積為平方米的等腰鈍角三角形，設(shè)其高為，底面半徑為，則有，解可得，則上半部分圓錐的側(cè)面積下半部分圓柱的側(cè)面積則該組合體的表面積(不含底面).故選：A8．在中，角的對邊分別為的面積為，且滿足條件，為邊上一點(diǎn)，，則的邊長為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理及三角形面積公式求出，再利用直角三角形邊角關(guān)系及差角的正弦、正弦定理求解.【詳解】在中，由及余弦定理、面積公式得：，則，而，故，在中，，則，，在中，，由正弦定理得.故選：D二、多選題9．已知復(fù)數(shù)滿足，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．B．的虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)D．復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根【答案】AC【分析】先由求出復(fù)數(shù)，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】解：由，得，所以，所以A正確，復(fù)數(shù)的虛部為1，所以B錯(cuò)誤，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以C正確，因?yàn)?，所以?fù)數(shù)不是方程的一個(gè)根，所以D錯(cuò)誤，故選：AC10．下列說法正確的是（

）A．若向量，則 B．若向量，則在上的投影向量為C．在中，是的充要條件D．在△ABC中，若，，，則△ABC有兩解【答案】BCD【分析】用坐標(biāo)表示出向量，用模長公式求出模長即可判斷A選項(xiàng)；用向量坐標(biāo)求向量的數(shù)量積判斷B選項(xiàng)；由向量的投影向量的公式判斷C選項(xiàng)；由坐標(biāo)求出模長和向量的數(shù)量積，求出向量的夾角判斷D選項(xiàng).【詳解】由題，所以，故A錯(cuò)；，所以在上的投影向量為：，故B正確；對于C中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，則，所以C正確；對于D：若，，，由正弦定理得，，，故即可能是銳角也可能是鈍角，故△ABC有兩解，D正確.故選：BCD.11．如圖，圓臺(tái)，在軸截面中，，H，F(xiàn)為圓上定點(diǎn)，且，M為AD中點(diǎn)，C，H，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面．則（

）A．該圓臺(tái)高為B．該圓臺(tái)體積為C．一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到M點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路徑為5D．【答案】ACD【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解；對于B：根據(jù)臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解，對于C：由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，結(jié)合圓錐的側(cè)面展開圖分析求解；對于D：做輔助線，分析可知，結(jié)合幾何知識(shí)運(yùn)算求解.【詳解】對于選項(xiàng)A：如圖1，作交于點(diǎn)E，易得，則，所以圓臺(tái)的高為，故A正確；對于選項(xiàng)B：圓臺(tái)的體積為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為4，底面半徑為2，側(cè)面展開圖的圓心角，M為AD的中點(diǎn)，連接CM，如圖2，可得，，，則，此時(shí)到的距離為，故從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為5，C正確；對于選項(xiàng)D：延長CM，BA交K點(diǎn)，連接HK，則F點(diǎn)在HK上，為中點(diǎn)，是與交點(diǎn)，如圖3，過作HK垂線，垂足為N，延長，過K作KQ垂直于，垂足為Q，如圖4，則，與相似，可得，，解得，由垂徑定理知N為FH的中點(diǎn)，則與相似，且都是等腰直角三角形，所以，故D正確；故選：ACD．第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．如圖所示正方形O'A'B'C'的邊長為2cm，它是一個(gè)水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積是．【答案】【分析】根據(jù)原幾何圖形的面積與直觀圖的面積之比可快速的計(jì)算出答案．【詳解】解：由直觀圖可得：原幾何圖形的面積與直觀圖的面積之比為：1又∵正方形O'A'B'C'的邊長為2cm，∴正方形O'A'B'C'的面積為4cm2，原圖形的面積S=cm2，【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的直觀圖，考查直觀圖面積和原圖面積之間關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．13．如圖，已知直角梯形，，，，點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則【答案】【分析】應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律得，即可得.【詳解】由題設(shè)，.故填：14．如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的正三棱錐得到的，它的所有邊長均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregular

solid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設(shè)，則該多面體的體積為，過A、Q、G三點(diǎn)的平面截該多面體所得的截面面積為

【答案】；；【分析】根據(jù)該多面體結(jié)構(gòu)特征即可求出表面積判斷A，利用割補(bǔ)法求體積判斷B，分別求解兩平行平面的距離即可判斷C，利用平面性質(zhì)找到截面圖形，利用正六邊形由六個(gè)正三角形組成求面積判斷D.【詳解】該多面體的體積為原正方體的體積去掉8個(gè)相同的三棱錐的體積，注意到該多面體的原正方體邊長為，所以；根據(jù)平面性質(zhì)知，過A、Q、G三點(diǎn)的平面截得的截面圖形是一個(gè)邊長為1的正六邊形ABGPQE，故截面面積為.四、解答題15．已知向量，.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)，，求向量與的夾角.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解；（2）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可求，進(jìn)而根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）向量，，則，由，可得，即，即，解得或.（2）由，，則，由，可得，解得，所以，，，又，所以.16．如圖，在直三棱柱中，，，M，N，P分別為，AC，BC的中點(diǎn)．(1)判斷直線PM與AA1的位置關(guān)系（直接寫答案，不用證明）(2)求證：平面；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)直線PM與AA1異面；(2)證明見解析(3)【分析】（2）通過構(gòu)造平行四邊形，找到線線平行，利用線面平行的判定定理即可證明；（3）轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)并結(jié)合椎體的體積公式即可證明.【詳解】（2）∵直三棱柱中，為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)椋謩e，的中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，故平面.（3）因?yàn)橹比庵?，則平面平面，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)到底面的距離即為點(diǎn)到底面的距離，又因?yàn)榈酌?，則點(diǎn)到底面的距離即為長，又因?yàn)镹，P分別為AC，BC的中點(diǎn)，且，則.17．設(shè)的三個(gè)內(nèi)角,,所對的邊分別為,,，已知.(1)求角的大?。?2)若銳角外接圓的半徑為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦函數(shù)的差角公式，根據(jù)同角三角函數(shù)的商式，可得答案；（2）由余弦定理建立方程，根據(jù)完全平方公式以及基本不等式，可得答案；（3）由銳角三角形的性質(zhì)，可得角的取值，利用正弦定理，整理三角函數(shù)的解析式，并由三角函數(shù)的恒等式，可得答案.【詳解】（1），，，；（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，解得，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為．18．已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，向量，，且.(1)求角的大?。?2)若的面積為，求的最小值；(3)若，邊上的中線長為，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊可得結(jié)果.（2）利用面積公式可得，根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得結(jié)果.（3）根據(jù)條件可得，等式兩邊同時(shí)平方可求得的值.【詳解】（1）∵，，且，∴，故，∵，∴，故，∵，∴.（2）∵的面積為，∴，即，故.由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)為等邊三角形，符合題意，∴，即的最小值為.（3）

∵為邊上的中線，∴，∴，即，∴，即，解得或（舍），此時(shí)，為等邊三角形，符合題意，∴.19．著名的費(fèi)馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”，費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，則使的點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)．已知分別為三內(nèi)角的對邊，，點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)求角A；(2)若，求的周長；(3)在（2）的條件下，設(shè)，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式即可.（2）設(shè)，由數(shù)量積定義可得，利用三角形面積公式，由得，再結(jié)合余弦定理可求出可得周長.（3）在中，根據(jù)余弦定理列方程組求解可得，然后