湖北省部分高中2024-2025學年高一下學期4月期中聯考數學試題（解析版）

2025年湖北省部分高中春季高一年級期中聯考數學本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列命題中正確的是（）A.若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B.模相等的兩個平行向量是相等向量C.零向量沒有方向D.若，是兩個平行向量，則，也是共線向量【答案】D【解析】【分析】由相等向量、零向量及共線向量的概念逐個判斷即可.【詳解】對于AB，兩個向量大小相等，方向相同即為相等向量，故AB錯誤；對于C，零向量的方向是任意，故C錯，對于D，平行向量又稱共線向量，正確，故選：D2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式和三角函數的商數關系求解.【詳解】解：因為，所以，.故選：D3.若，是平面內一組不共線的向量，則下列各組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】D【解析】【分析】分別驗證四個選項中的兩向量是否共線即可選出正確答案.【詳解】因為，是平面內一組不共線的向量，設，無解，，能作為平面內所有向量的一組基底，所以A選項錯誤；設，則，無解，不平行，能作為平面內所有向量的一組基底，所以B選項錯誤；設，則，無解，能作為平面內所有向量的一組基底，所以C選項錯誤；，，不能作為平面內所有向量的一組基底，D選項正確；故選：D.4.將函數的圖象縱坐標不變，橫坐標縮小為原來倍，然后再向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由誘導公式及兩角差的正弦公式得出，再根據三角函數的平移伸縮變換得出，由關于軸對稱，即可求解.【詳解】，將圖象縱坐標不變，橫坐標縮小為原來倍，然后再向左平移個單位長度后，得，又因為的圖象關于軸對稱，所以，所以，當時，，故選：B，5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知及同角三角函數的平方關系得出，，再根據兩角和的余弦公式求解即可．【詳解】因為，所以，所以，，所以，故選：C．6.已知函數（，）的圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦型函數圖象的周期性和特殊點值分別求出參數即可.【詳解】由圖象可知，函數的最小正周期滿足，即，所以，且，故解得.又由圖象可知，時，，即，則，即，又因為，所以.所以.故選：B.7.在中，角所對的邊分別為，，，已知，，，若滿足題意的三角形有兩個，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意有，利用正弦定理有，即可求解.【詳解】由正弦定理有，又，所以，故選：B.8.聲音是由物體振動產生的聲波.我們聽到的每個音都是由純音合成的，純音的數學模型是函數.音有四要素：音調、響度、音長和音色，它們都與函數中的參數有關，比如：響度與振幅有關，振幅越大響度越大，振幅越小響度越??；音調與頻率有關，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利.像我們平時聽到樂音不只是一個音在響，而是許多音的結合，稱為復合音.我們聽到的聲音函數是.結合上述材料及所學知識，你認為下列說法中錯誤的是（）A.是函數（）的對稱中心B.函數在區(qū)間上單調遞增，滿足題意的的值組成集合，則C.若某聲音甲對應函數近似為，則聲音甲的響度一定比純音響度小D.若某聲音乙對應函數近似為，則聲音乙一定比純音更低沉【答案】C【解析】【分析】對于A：根據正弦函數的對稱中心判斷；對于B：觀察函數單調性判斷；對于C：確定函數周期來判斷；對于D：確定函數頻率來判斷.【詳解】對于A：由正弦函數的對稱中心可得是函數（）的對稱中心，故A正確；對于B：由正弦函數的單調性可得當時為遞增函數；當時為增函數；當時為增函數；當為增函數，由復合函數的單調性可得原函數在區(qū)間上單調遞增，所以當時，，故B正確；對于C：，即的振幅比的振幅大，又響度與振幅有關，振幅越大響度越大，振幅越小響度越小，所以聲音甲的響度一定比純音響度大，故C錯誤；對于D：因為，所以的一個周期為，假設存在一個為的一個周期，則，即，所以，因為，，所以不符合題意，所以的最小正周期為，頻率為，的頻率為，，所以聲音乙一定比純音更低沉，故D正確.故選：C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若向量，，則（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】利用向量的數量積、模長公式、夾角的坐標運算以及投影向量的定義，逐項計算判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，所以，故B錯誤；對于C，設與的夾角為，則，因為，所以，故C正確；對于D，在方向上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.若向量，滿足，則與夾角為鈍角B.，是平面內一組不共線的向量，如果，，，則，，三點共線C.在任意銳角中，恒成立D.點是函數圖象的一個對稱中心【答案】BC【解析】【分析】由共線反向可判斷A，由向量共線可判斷B，由兩角和的正切公式可判斷C，由二倍角公式及輔助角公式化簡可判斷D.【詳解】對于A，當，共線反向時，夾角為，此時滿足，故A錯誤，對于B：，又有公共點，所以，，三點共線，B正確，對于C：在任意銳角中，由，得：，化簡可得：，C正確，對于D，，顯然對稱中心的縱坐標為，D錯誤，故選：BC11.如圖，已知，，，，其內有一點，滿足，過點的直線分別交，于點，.設，（，），則下列說法正確的是（）A. B.點為的重心C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A由得，對于B取的中點為，，利用重心的性質即可判斷，對于C由，利用三點共線即可判斷，對于D設中點為，計算，利用重心的性質得.【詳解】對于A：由有，故A錯誤；對于B：取的中點為，由又，所以點共線，且為三等分點，即為的重心，故B正確；對于C：由，又三點共線，即，故C正確；對于D：設中點為，則有，又，即，所以，在中有，又為重心，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.當時，不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦線解不等式得解.【詳解】如圖所示，正弦線大于等于的角的終邊在圖中的陰影部分區(qū)域，所以不等式的解集為.故答案為【點睛】本題主要考查正弦線，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知向量，，，若，，則_____．【答案】【解析】【分析】根據平面向量線性運算，向量共線及向量垂直的坐標公式列出方程組即可求解．【詳解】由題可得，，，因為，，所以①，②，①②得，故答案為：．14.如圖，半徑為2的圓上的點到直線的最小距離恰好也是2，是圓的任意一直徑，是上動點，則的最小值為_____.【答案】12【解析】【分析】由題意可推得，根據已知條件得出，，即可得出答案.詳解】由已知可得，，所以由已知可知，，，所以，.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.用“五點法”作函數（，，）在某一個周期的圖象時，列表并填入了部分數據，見下表：020（1）根據上表數據，直接寫出函數的解析式，并求出函數的單調遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1），（）.（2）.【解析】【分析】（1）根據表格數據可求解析式，整體代入可得減區(qū)間；（2）分離參數求解最值可得答案或者利用數形結合法可得答案.【小問1詳解】由題意知，，令，解得，，即的單調遞減區(qū)間為（）.【小問2詳解】解法一：在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，所以.由于，則，所以.即恒成立，所以，所以的取值范圍為.解法二：在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，所以,通過題干五點法作圖以及函數以為周期，作部分簡圖如下：由圖可知：，即的取值范圍為.16.已知向量，滿足.（1）求與的夾角；（2）若，求實數的值；（3）求與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）由數量積的運算律結合向量夾角的公式計算可得；（2）由向量垂直數量積為零計算可得；（3）先由數量積運算律和模長的計算求出兩向量的模長，再代入夾角公式計算可得.【小問1詳解】記，所成角為，有，則，即，又.所以，又，因為，所以.因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，展開得，又由，，得【小問3詳解】因為，∴因為，所以可得.所以與的夾角的余弦值為.17.在中，角，，所對的邊分別為，，，．（1）求角；（2）若，，求的周長．【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）根據誘導公式及兩角和與差的正弦公式即可求解；（2）根據平面向量數量積的定義求得，再根據余弦定理得出，即可求解周長．【小問1詳解】由，得，所以又，所以，所以，因為，所以．【小問2詳解】因為，所以，則，又，余弦定理，所以，可得，即，所以，即的周長為20．18.摩天輪是一種大型轉輪狀的機械游樂設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上旋轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖該摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，開啟時按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周需要.（1）以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于的函數解析式；（2）若游客甲在點進入座艙時，游客乙此時恰好在處（軸與圓的交點），（i）在運行一周的過程中，運行兩人首次距離地面的高度相等，求時間；（ii）當座艙距離地面的高度不低于時，能鳥瞰全城壯觀景色，因此這段時間被稱為“震撼時刻”，求游客甲在開始運行一周的過程中，甲處于“震撼時刻”的時間段.【答案】（1）（2）（i）；（ii）第六分鐘到第十二分鐘為“震撼時刻”【解析】【分析】（1）設，，，根據最大值、最小值求，根據周期求，根據初始位置求即可；（2）（i）同（1）求出乙的座艙高度與時間函數為，令即可解方程；（ii）結合余弦函數圖象解不等式即可.【小問1詳解】設，，由題意可知，，，則，，又易知，所以，得，又當時，，則，因，則，所以，化簡得.【小問2詳解】（i）設乙的座艙高度與時間函數為，同（1）可求得，因為甲乙離地面高度相等，即，可得：，即，可解得，即，故時，有最小值，即當時，甲乙首次高度相等.（ii）由題意易知，所謂“震撼時刻”，即要求，化簡得，因，則，故，則，故第六分鐘到第十二分鐘為“震撼時刻”.19.在非鈍角中，角，，所對的邊分別為，，.（1）證明：；（2）若，.（Ⅰ）求的取值范圍.（Ⅱ）當取得最小值時，（），若在內有且只有一個零點，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】【分析】（1）根據三角恒等變換的化簡計算即可證明；（2）（I）根據正弦定理，由（1），利用三角恒等變換的化簡計算可得，結合即可求解；（II）易知，則，作出圖形，得函數的零點依次為，，，……，分別代入建