廣東省衡水大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析）

2024—2025學(xué)年度高一年級4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】由向量的線性運(yùn)算可得．故選：B．2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.相等的線段在直觀圖中仍然相等B.相等的角在直觀圖中不一定相等C.平行的線段在直觀圖中仍然平行D.互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的作圖規(guī)則結(jié)合反例，判斷各選項(xiàng).【詳解】如圖：四邊形為正方形，由斜二測畫法可得其直觀圖如下：對于A，因?yàn)?，而，故相等的線段在直觀圖中仍然相等這種說法錯誤，A錯誤；對于B，因?yàn)?，而故相等的角在直觀圖中不一定相等這種說法正確，B正確；對于C，由斜二測畫法性質(zhì)可得平行的線段在直觀圖中仍然平行，C正確；對于D，因?yàn)?，而不垂直，所以互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直這種說法正確，D正確.故選：A.3.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】由題意可得，所以，解得.故選：B．4.已知是平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，設(shè)甲：；乙：四邊形為平行四邊形，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】一方面，時，可能四點(diǎn)共線，此時不構(gòu)成四邊形，故充分性不成立；另一方面，四邊形為平行四邊形時，則，故，故必要性成立．所以甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要條件但不是充分條件.故選：B.5.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的概念求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，，故，所以，解得，故.故選：A．6.如圖，伊麗莎白圈是小動物戴在頸子上防止他們自己抓撓傷口和患處或咬傷他人的一種保護(hù)器具，其形狀可看作上下均無底蓋的圓臺形物體.某個伊麗莎白圈的上底面直徑為4分米，下底面直徑為2分米，母線長為3分米，若要在伊麗莎白圈與寵物接觸的一面進(jìn)行涂層，每平方分米需要消耗5克涂層材料，不考慮伊麗莎白圈的厚度與連接處，則制作該伊麗莎白圈需要消耗涂層材料（）A.克 B.克 C.克 D.克【答案】A【解析】【分析】求出圓臺的側(cè)面積，計算得解.【詳解】將伊麗莎白圈看作上下均無底蓋的圓臺，則制作該伊麗莎白圈需要涂層的面積等價于圓臺的側(cè)面積，圓臺的側(cè)面積，因?yàn)槊科椒椒置仔枰?克涂層材料，所以制作該伊麗莎白圈需要消耗涂層材料克．故選：A．7.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，邊上的高為1，，則的周長為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，由余弦定理得，結(jié)合平方關(guān)系可得，進(jìn)而求得，得解.【詳解】由邊上的高為1知，故，由正弦定理得，，所以．由余弦定理可得，因?yàn)?，解得，故，解得，故的周長為．故選：D．8.記直角三角形內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由余弦定理結(jié)合不等式可得為銳角，根據(jù)為直角三角形，分或?yàn)橹苯怯懻摚Y(jié)合勾股定理求出，得解.【詳解】由余弦定理得，又，故，，即為銳角，故或，得或，解得或，由正弦定理可得或.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列關(guān)于幾何體的描述錯誤的有（）A.有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.有兩個面平行，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺C.長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義和幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的兩個扣在一起的斜棱柱組成的多面體就不是棱柱，所以A錯誤；對于B中，有兩個面平行，其他各個面都是梯形的多面體，只有各個梯形的腰延長交于一點(diǎn)時，該多面體才是棱臺，所以B錯誤；對于C中，長方體是四棱柱，但直四棱柱不一定是長方體，所以C錯誤；對于D中，根據(jù)正棱錐的定義，可得正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，所以D正確.故選：ABC.10.已知非零復(fù)數(shù)，，其中為純虛數(shù)，則（）A.若，則為純虛數(shù)B.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則C.若，且為純虛數(shù)，則D.若，則虛部為0【答案】BD【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)等的概念逐項(xiàng)求解求解判斷.【詳解】對于A，設(shè)，，，即，并不能證明，故A錯誤；對于B，由與互為共軛復(fù)數(shù)，可得，因?yàn)闉榉橇銖?fù)數(shù)，所以解得，所以，故B正確；對于C，由得，，又因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得，，故C錯誤；對于D，，即，故D正確.故選：BD．11.在中，，，，則下列說法正確的是（）A. B.C.的面積為 D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)三角形的重心為，從而可求出，再根據(jù)，可得，即可判斷AB；設(shè)的中點(diǎn)為，再根據(jù)即可判斷C；設(shè)的中點(diǎn)為，有，進(jìn)而可判斷D.【詳解】設(shè)三角形的重心為，則，由，所以，，又，即，可得，則，故A正確；因?yàn)?，故B錯誤；設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)槭侨切蔚闹匦?，故，故C正確；設(shè)的中點(diǎn)為，有，而，故，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，滿足，則______．【答案】82【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】由題意可得，且，解得．故答案為：82.13.已知復(fù)數(shù)，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】由題意可得，故．故答案為：.14.已知正六棱柱的各個頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，一個能放進(jìn)該正六棱柱內(nèi)部的最大的球的半徑為．若，則當(dāng)最小時，該正六棱柱的體積為______．【答案】36【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出正六棱柱底面正六邊形的邊心距，并設(shè)正六棱柱的高為，可得取中較小的，按，，結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)分類討論求出最小時的，再利用柱體體積公式計算得解.【詳解】設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn)，則點(diǎn)與任意一條邊均構(gòu)成等邊三角形，因此點(diǎn)到各邊的距離均為等邊三角形的高，為．不妨設(shè)該正六棱柱的高為，那么有且，取兩者之中的較小者．易得該正六棱柱的外接球半徑為．當(dāng)時，，．當(dāng)，，，所以時，取得最小值．又因?yàn)橐粋€等邊三角形的面積為，所以正六邊形底面的面積為，則該正六棱柱的體積為．故答案為：36．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.（1）已知，且，求；（2）已知是關(guān)于的方程的一個根，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）;（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）把代入，利用復(fù)數(shù)除法化簡，可得，所以.（2）由于是方程的一個根，所以把代入方程，整體成復(fù)數(shù)的一般形式，根據(jù)復(fù)數(shù)等于0，實(shí)部虛部都為0，可得，即可解得.試題解析：（1）由，得，所以.（2）由于是方程一根，則即：，所以，，解得，.【點(diǎn)睛】對于復(fù)數(shù)方程根的問題，已知一復(fù)數(shù)根時，一般把復(fù)數(shù)代入方程，整體成復(fù)數(shù)的一般形式，根據(jù)復(fù)數(shù)等于0，實(shí)部虛部都為0，可得兩個等式，可解參數(shù)．對于解復(fù)數(shù)根問題，我們可以設(shè)復(fù)數(shù)根，代入方程后，同上解法．當(dāng)然對一元二次形式方程復(fù)數(shù)根問題，我們也常用韋達(dá)定理．16.已知向量，，．（1）互為______；（直接填寫所有符合題意的序號）①相等向量；②相反向量；③共線向量；④平行向量．（2）證明（1）中你所選擇的結(jié)論；（3）判斷能否作為表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底向量，并說明理由．【答案】（1）③④（2）證明見解析（3）可以，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相等向量，相反向量，平行向量，共線向量的概念判斷；（2）由共線向量定理求解判斷；（3）根據(jù)基底的定義，即驗(yàn)證存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得成立，即可.【小問1詳解】③④.【小問2詳解】共線向量即平行向量.要證明互為共線向量，只需證明存在一個實(shí)數(shù)，使得．對于，，有，所以存在實(shí)數(shù)使得，即互為共線向量.【小問3詳解】能．不共線的兩個向量可以作為表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底向量，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，展開得，可得方程組，解得，故當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，因此向量不共線，可以作為表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底向量.17.如圖所示，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的三等分點(diǎn)（，），設(shè)，.（1）用，表示，；（2）如果且，求的余弦值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形利用向量線性運(yùn)算即可得到答案；（2）首先計算，，再利用向量夾角計算公式即可.【小問1詳解】，；【小問2詳解】，，.18.已知海面上兩點(diǎn)處置有距離為海里的兩個燈塔，游船在點(diǎn)時，與兩點(diǎn)處燈塔的距離均為2海里.游船航行一段距離后，從兩燈塔間穿過并抵達(dá)點(diǎn)，此時在點(diǎn)處燈塔測得.（1）若兩點(diǎn)的距離為海里，求的長度；（2）求兩點(diǎn)距離的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理可得結(jié)果；（2）當(dāng)時的長度即為兩點(diǎn)距離的最小值，在中，由正弦定理得，其中為定值，又，可得，從而得到.【小問1詳解】由題意知，，故為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，故，又因?yàn)?，且由題意得分布于直線兩側(cè)，所以，有，由余弦定理可得，解得（海里）.【小問2詳解】由題意知點(diǎn)始終位于以為起點(diǎn)的射線上，記該射線為.注意到在（1）的條件下，故此時，即，所以此時的長度即為兩點(diǎn)距離的最小值；由于游船從兩燈塔間穿過，即與存在異于端點(diǎn)的交點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn).由正弦定理得，在中，，其中為定值，故增大時，減小，又因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以，故（海里?19.已知為方程的一個解，設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，為第一象限內(nèi)一點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求值；（3）中，為延長線上的一點(diǎn)，記，，所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，，且，求的值．【答案】（1）0（2）（3）．【解析】【分析】（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何