2025年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-幾何最值問題（新）

專題---幾何最值問題(1)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；(2)兩點(diǎn)之間線段最短；(3)連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；(4)定圓中的所有弦中，直徑最長；(5)利用“將軍飲馬”求最值，其實(shí)質(zhì)是通過軸對稱的性質(zhì)把所求的含動點(diǎn)的線段轉(zhuǎn)化到一條直線上．你能說出幾種求最值的方法？它們的依據(jù)是什么？例1如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,E為BC上一點(diǎn),則OE的最小值為

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類型一垂線段最短

通常為一條線段的最值問題,即動點(diǎn)的軌跡為直線,利用垂線段最短的性質(zhì)得到結(jié)果.類型一垂線段最短針對訓(xùn)練1.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,點(diǎn)D在BC上,且滿足以AC為對角線的四邊形ADCE為平行四邊形,則DE的最小值為 (

)A.4 B.5 C.6 D.82.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為()A.B.C.D.DA類型一垂線段最短針對訓(xùn)練3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是 (

)A.3.2 B.2 C.1.2 D.1AB2CD4.（中考題變式）CB類型二乾坤大挪移[答案]

B【配練】如圖Z2-2,邊長為4的等邊三角形ABC中,點(diǎn)E是對稱軸AD上的一個動點(diǎn),連接EC,將線段EC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC,連接DF,則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,DF的最小值是

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圖Z2-2[答案]

1■題型精練1.如圖Z2-3,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,點(diǎn)D在BC上,且滿足以AC為對角線的四邊形ADCE為平行四邊形,則DE的最小值為(

)A.4 B.5 C.6 D.8圖Z2-3[答案]A圖Z2-4[答案]D圖Z2-5[答案]

B圖Z2-6[答案]

C類型三將軍飲馬型特征：（1）兩個定點(diǎn)一個動點(diǎn)，即“兩定一動”（2）定點(diǎn)在動點(diǎn)軌跡（即對稱軸）的同側(cè)（3）求動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)距離和的最小值（如：PA+PB）P原理：兩點(diǎn)間線段最短2

如圖圖Z2-9B圖Z1-10[答案]B■題型精練圖Z2-11[答案]C2.[2018·合肥六大名校沖刺卷四]如圖Z2-12,等邊三角形ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時,則∠ECF的度數(shù)為(

)A.15° B.22.5° C.30° D.45°圖Z2-12[答案]C圖Z2-17[答案]D類型三將軍飲馬型3.B特征：（1）兩個動點(diǎn)一個定點(diǎn)，即“兩動一定”（2）定點(diǎn)在兩個動點(diǎn)軌跡之間（3）求定點(diǎn)到一個動點(diǎn)距離與兩個動點(diǎn)距離之和的最小值（如：AB+BC）原理：垂線段最短OCAMNB類型三將軍飲馬型針對訓(xùn)練4.DAB2CD4C5.（中考題變式）類型三將軍飲馬型針對訓(xùn)練6.如圖Z2-18,O為矩形ABCD對角線AC,BD的交點(diǎn),AB=9,AD=18,M,N是直線BC上的動點(diǎn),且MN=3,則OM+ON的最小值為

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7.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿足PQ=2，則四邊形APQB周長的最小值為（）A、10B、12C、14D、16B6.如圖圖Z2-18[答案]C類型四一箭穿心型例3如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP的最小值是()A.25B.C.36D.D

通常為一條線段的最值問題,即動點(diǎn)的軌跡為圓或弧,利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果.圖Z2-19C圖Z2-20[答案]A■

題型精練圖Z2-21[答案]B圖Z2-22[答案]B圖Z2-23[答案]D

[解析]如圖,由DB=DF,可知點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心,DB長為半徑的圓上,連接AD,交☉D于F',由勾股定理可得AD=5,所以AF的最小值為AD-DF'=5-3=2.圖Z2-24[答案]B圖Z2-255.如圖Z2-25,在△ABC中,AB=4,∠ACB=90°,則△ACB面積的最大值為 (

)A.2 B.4 C.6 D.8[答案]B圖Z2-266.如圖Z2-26,AB為☉O的一條弦,C是☉O上一動點(diǎn),∠ACB=30°,E,F分別是AC,BC的中點(diǎn),直線EF與☉O交于G,H兩點(diǎn),若☉O的半徑為6,則GE+FH的最大值為 (

)A.6 B.9 C.10 D.12[答案]B圖Z2-277.如圖Z2-27,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上,AE=3,BE=1,點(diǎn)M是DE的中點(diǎn),若點(diǎn)P在正方形ABCD的一邊上,且PM=2.5,則符合條件的點(diǎn)P的個數(shù)是 (

)A.2 B.3 C.4 D.5[答案]D類型四轉(zhuǎn)換型