2025屆河北省張家口市高三下學期高考模擬（一）數(shù)學試題解析版

高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省張家口市2025屆高三下學期高考模擬（一）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得，所以.故選：C2.數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和4【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2按照從小到大的順序排列為：2，2，3，4，5，8，所以中位數(shù)為；平均數(shù)為.故選：D.3.若復數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得，所以.故選：C4.從集合中隨機取出4個不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，則第二個數(shù)是7的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】任取4個不同的數(shù)，且從大到小排列可得所有的情況有種，第2個數(shù)為7的情況有，故概率為，故選：D5.設為鈍角，若直線與曲線只有一個公共點，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為鈍角，所以，聯(lián)立，當即時，方程只有一個解，所以直線與曲線只有一個公共點，符合題意；當即時，因為直線與曲線只有一個公共點，所以，因為，所以，解得或，都不符合，舍去，所以，所以曲線，所以曲線是焦點在x軸上的雙曲線，所以，，所以的離心率為.故選：B6.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于，兩點，若的一個方向為，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題，所以直線的方程為，代入得，設，則，所以，所以.故選：C7.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足以下條件：①；②；③.則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】由①可得，由②可得，因此，所以的周期為8，，由于，故選:A8.在平面直角坐標系中，，，，點分別是外心和垂心，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于關(guān)于原點對稱，故在軸上，，則中點為，易知,因此直線的垂直平分線方程為，令，則，故,邊上的高所在的直線方程為，故，故，，故，且，由可得，由于，因此，解得，故，解得，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的零點個數(shù)可以為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】ACD【解析】由題函數(shù)，所以函數(shù)定義域為關(guān)原點對稱于，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當時，函數(shù)，設直線與相切于點，直線與相切于點，對求導得，對求導得，所以由導數(shù)幾何意義有，且，，所以，此時，，此時，綜上，如圖，由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知：當時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且均與該直線相交于公共兩點，此時函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且均與直線相切于一點，此時函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且兩圖象分布在該直線兩側(cè)，無交點，此時函數(shù)無零點；所以，綜上可知，函數(shù)的零點個數(shù)可以為0個或2個或4個.故選：ACD10.已知球O的表面積為，點P，A，B，C均在球面上，且，，，則（）A.球O的半徑為2B.平面截球面所得小圓的面積為C.點到平面的距離為D.球體挖去四面體后余下部分的體積為【答案】AB【解析】由已知條件，且，，所以三棱錐為正三棱錐.點P，A，B，C均在球面上，所以球為正三棱錐的外接球，球心為，設底面三角形的中心為，頂點在底面中的射影為底面正三角形的中心，外接球的球心位于射線上，如圖所示：選項A：設球的半徑為，球的表面積公式為，解得半徑，故選項A正確；選項B：平面是一個等邊三角形，邊長為3.等邊三角形的外接圓半徑為：，這就是平面截球面所得小圓的半徑，此小圓面積為：，故選項B正確；選項C：球心到平面的距離，點到平面的距離為(當球心在線段上時)，或（當球心位于的延長線上時).當球心位于的延長線上時，，于矛盾，舍去.當球心在線段上時，，符合題意，所以點到平面的距離為，故選項C錯誤；選項D：四面體的體積為：，其中底面積為等邊三角形的面積：，高為點到平面的距離，因此：，球體挖去四面體后余下部分的體積為：，但根據(jù)選項D的描述，余下部分的體積為，因此選項D錯誤.故選：AB.11.如圖，在平面直角坐標系中，曲線為伯努利雙紐線，其中，為焦點，點為上任意一點，且滿足，曲線的方程為.則下列說法正確的有（）A.曲線為中心對稱圖形和軸對稱圖形B.若直線與曲線恰有3個交點，則C.曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)D.當參數(shù)變化時，曲線上的最高點均在曲線上【答案】ACD【解析】對于A，因為，關(guān)于原點對稱，設動點，由題可得的軌跡方程，把關(guān)于原點對稱的點代入軌跡方程，把關(guān)于y軸對稱的點代入軌跡方程，原方程不變，A選項正確；對于B，由題意得直線與曲線一定有公共點，聯(lián)立方程組，得到，若直線與曲線有3個交點，則方程除外無解，而，，則即可，解得，故B錯誤；因為，故，又，所以，即，故；在中，令，可得，解得或，所以，所以曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)，C選項正確；在中，令時，可得，化簡得，解得，所以，當參數(shù)變化時，曲線上的最高點均在曲線上，故D項正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足，且，則__________.【答案】【解析】由題得，當時，符合題意，所以，故答案為：.13.已知函數(shù)，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】，由于，故，當且僅當時等號成立，又，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ虼?，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ捎?，故等號取不到，故答案為?4.我國歷史文化悠久，中國象棋就是國人喜聞樂見的一種娛樂方式.不同棋子行的規(guī)則各不相同：馬走日字象走田，車走直路炮翻山，即“馬”只能由“日”字格子的頂點沿“日”字的斜線走到相對的另一個頂點，，…，，如圖1.請據(jù)此完成填空：如圖2，假設一匹馬從給定的初始位置出發(fā)，且規(guī)定其只能向“右前方走”，則其運動到點所需的步數(shù)為__________；該馬運動到點所有可能落點（包括點）的個數(shù)為__________.【答案】①.5②.10【解析】以“馬”的初始位置為原點，棋盤的橫豎兩邊為軸建立坐標系，以題意可得：“馬”每次只能按向量或行走，設落點為（），按上述兩個向量前進的此時分別為，則所以，即第一空：由于，所以，第二空：由于所以又為3的倍數(shù)，且只能往右前方前進，所以當時，此時對應的點有，,當時，此時對應的點有，當時，此時對應的點有，當時，此時對應的點有綜上可得，共有10種情況，故答案為：5，10四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，已知三棱錐中，，，平面平面ABC，，，.（1）求點到平面的距離；（2）若為AC的中點，求PQ與平面所成角的正弦值.解：（1）過作，平面平面ABC，平面平面，平面，平面，因為，，，所以，在直角三角形中，，所以，所以點到平面的距離為；（2）因為，過作的平行線為軸，以為軸建立直角坐標系，在中，，，，所以，在直角三角形中，因為，，，所以，所以，則，設平面的法向量為，則，取，所以，設PQ與平面所成角為，所以.16.已知，.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，使，求的取值范圍.解：（1）時，，所以，所以切線斜率，所以曲線在處的切線方程為即.（2）因為，使得即，所以，令，則，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）若，求；（2）當BC邊上中線最小時，求的面積.解：（1）因為，所以，故，又，即，所以由正弦定理，若，則，則，所以；（2）由（1）得，取中點，則為BC邊上的中線，則又由余弦定理得，故，即，當且僅當時等號成立，所以，即，當且僅當時等號成立，所以BC邊上的中線最小值為，此時.18.已知，分別為橢圓（）的左，右焦點，為短軸的一個端點，是直角三角形.（1）求橢圓的離心率；（2）若直線恰好與橢圓相切，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，設直線不過點且與交于兩點，，若，求的最大值.解：（1）設短軸的端點為，左右焦點為，由于是直角三角形，所以，結(jié)合，解得，故，（2）由可得橢圓方程為，與直線聯(lián)立可得，由于直線恰好與橢圓相切，故，解得，所以橢圓方程為（3）由于在橢圓上，設,由可得，當直線斜率存在時，設直線方程為，代入橢圓方程中，消去可得，則，由可得即，化簡得，由于不在直線上，所以，故，，故直線的方程為，故過定點，當直線的斜率不存在時，可得，代入可得，結(jié)合可得或（舍去），此時直線也經(jīng)過，綜上可得直線恒經(jīng)過.因為，結(jié)合，故為直角三角形斜邊上的高的長，又直線恒經(jīng)過，所以,19.某研究機構(gòu)開發(fā)了一款智能機器人，該機器人通過交替學習不同技能Y，S，W來提升綜合能力.初始時，機器人選擇學習技能Y，且每次學習Y后會等可能地選擇學習S或W；每次學習S后，有0.25的概率繼續(xù)學習Y，0.75的概率學習W；每次學習W后，有0.25的概率繼續(xù)學習Y，0.75的概率學習S.設，，分別表示第n次學習后接著學習技能Y，S，W的概率.（1）若機器人僅進行三次學習，求學習技能Y次數(shù)的分布列及其數(shù)學期望；（2）求及其最大值；（3）已知，，若數(shù)列的前項和為，證明：.解：（1）設三次學習中學習技能Y次數(shù)為,則的取值可以為1，2，第一次學，第二次學,第三次學，則,第一次學，第二次學,第三次學，則,故,第一次學，第二次學,第三次學，則,第一次學，第二次學,第三次學，則,故,故的分布列為：12故（2）已知，設，又，所以因此為等比數(shù)列，且公比為，首項為，故，故，要使得最大，則為偶數(shù)，此時，此時單調(diào)遞減，故當時，取到最大值（3），，當，，，所以由于，所以河北省張家口市2025屆高三下學期高考模擬（一）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得，所以.故選：C2.數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和4【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2按照從小到大的順序排列為：2，2，3，4，5，8，所以中位數(shù)為；平均數(shù)為.故選：D.3.若復數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題得，所以.故選：C4.從集合中隨機取出4個不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，則第二個數(shù)是7的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】任取4個不同的數(shù)，且從大到小排列可得所有的情況有種，第2個數(shù)為7的情況有，故概率為，故選：D5.設為鈍角，若直線與曲線只有一個公共點，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為鈍角，所以，聯(lián)立，當即時，方程只有一個解，所以直線與曲線只有一個公共點，符合題意；當即時，因為直線與曲線只有一個公共點，所以，因為，所以，解得或，都不符合，舍去，所以，所以曲線，所以曲線是焦點在x軸上的雙曲線，所以，，所以的離心率為.故選：B6.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于，兩點，若的一個方向為，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題，所以直線的方程為，代入得，設，則，所以，所以.故選：C7.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足以下條件：①；②；③.則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】由①可得，由②可得，因此，所以的周期為8，，由于，故選:A8.在平面直角坐標系中，，，，點分別是外心和垂心，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于關(guān)于原點對稱，故在軸上，，則中點為，易知,因此直線的垂直平分線方程為，令，則，故,邊上的高所在的直線方程為，故，故，，故，且，由可得，由于，因此，解得，故，解得，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的零點個數(shù)可以為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】ACD【解析】由題函數(shù)，所以函數(shù)定義域為關(guān)原點對稱于，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當時，函數(shù)，設直線與相切于點，直線與相切于點，對求導得，對求導得，所以由導數(shù)幾何意義有，且，，所以，此時，，此時，綜上，如圖，由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知：當時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且均與該直線相交于公共兩點，此時函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且均與直線相切于一點，此時函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱，且兩圖象分布在該直線兩側(cè)，無交點，此時函數(shù)無零點；所以，綜上可知，函數(shù)的零點個數(shù)可以為0個或2個或4個.故選：ACD10.已知球O的表面積為，點P，A，B，C均在球面上，且，，，則（）A.球O的半徑為2B.平面截球面所得小圓的面積為C.點到平面的距離為D.球體挖去四面體后余下部分的體積為【答案】AB【解析】由已知條件，且，，所以三棱錐為正三棱錐.點P，A，B，C均在球面上，所以球為正三棱錐的外接球，球心為，設底面三角形的中心為，頂點在底面中的射影為底面正三角形的中心，外接球的球心位于射線上，如圖所示：選項A：設球的半徑為，球的表面積公式為，解得半徑，故選項A正確；選項B：平面是一個等邊三角形，邊長為3.等邊三角形的外接圓半徑為：，這就是平面截球面所得小圓的半徑，此小圓面積為：，故選項B正確；選項C：球心到平面的距離，點到平面的距離為(當球心在線段上時)，或（當球心位于的延長線上時).當球心位于的延長線上時，，于矛盾，舍去.當球心在線段上時，，符合題意，所以點到平面的距離為，故選項C錯誤；選項D：四面體的體積為：，其中底面積為等邊三角形的面積：，高為點到平面的距離，因此：，球體挖去四面體后余下部分的體積為：，但根據(jù)選項D的描述，余下部分的體積為，因此選項D錯誤.故選：AB.11.如圖，在平面直角坐標系中，曲線為伯努利雙紐線，其中，為焦點，點為上任意一點，且滿足，曲線的方程為.則下列說法正確的有（）A.曲線為中心對稱圖形和軸對稱圖形B.若直線與曲線恰有3個交點，則C.曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)D.當參數(shù)變化時，曲線上的最高點均在曲線上【答案】ACD【解析】對于A，因為，關(guān)于原點對稱，設動點，由題可得的軌跡方程，把關(guān)于原點對稱的點代入軌跡方程，把關(guān)于y軸對稱的點代入軌跡方程，原方程不變，A選項正確；對于B，由題意得直線與曲線一定有公共點，聯(lián)立方程組，得到，若直線與曲線有3個交點，則方程除外無解，而，，則即可，解得，故B錯誤；因為，故，又，所以，即，故；在中，令，可得，解得或，所以，所以曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)，C選項正確；在中，令時，可得，化簡得，解得，所以，當參數(shù)變化時，曲線上的最高點均在曲線上，故D項正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足，且，則__________.【答案】【解析】由題得，當時，符合題意，所以，故答案為：.13.已知函數(shù)，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】，由于，故，當且僅當時等號成立，又，當且僅當?shù)忍柍闪?，因此，當且僅當?shù)忍柍闪?，由于，故等號取不到，故答案為?4.我國歷史文化悠久，中國象棋就是國人喜聞樂見的一種娛樂方式.不同棋子行的規(guī)則各不相同：馬走日字象走田，車走直路炮翻山，即“馬”只能由“日”字格子的頂點沿“日”字的斜線走到相對的另一個頂點，，…，，如圖1.請據(jù)此完成填空：如圖2，假設一匹馬從給定的初始位置出發(fā)，且規(guī)定其只能向“右前方走”，則其運動到點所需的步數(shù)為__________；該馬運動到點所有可能落點（包括點）的個數(shù)為__________.【答案】①.5②.10【解析】以“馬”的初始位置為原點，棋盤的橫豎兩邊為軸建立坐標系，以題意可得：“馬”每次只能按向量或行走，設落點為（），按上述兩個向量前進的此時分別為，則所以，即第一空：由于，所以，第二空：由于所以又為3的倍數(shù)，且只能往右前方前進，所以當時，此時對應的點有，,當時，此時對應的點有，當時，此時對應的點有，當時，此時對應的點有綜上可得，共有10種情況，故答案為：5，10四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，已知三棱錐中，，，平面平面ABC，，，.（1）求點到平面的距離；（2）若為AC的中點，求PQ與平面所成角的正弦值.解：（1）過作，平面平面ABC，平面平面，平面，平面，因為，，，所以，在直角三角形中，，所以，所以點到平面的距離為；（2）因為，過作的平行線為軸，以為軸建立直角坐標系，在中，，，，所以，在直角三角形中，因為，，，所以，所以，則，設平面的法向量為，則，取，所以，設PQ與平面所成角為，所以.16.已知，.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，使，求的取值范圍.解：（1）時，，所以，所以切線斜率，所以曲線在處的切線方程為即.（2）因為，使得即，所以，令，則，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）若，求；（2）當BC邊上中線最小時，求的面積.解：（1）因為，所以，故，又，即，所以由正弦定理，若，則，則，所以；（2）由（1）得，取中點，則為BC邊上的中線，則又由余弦定理得