2025屆河北省邯鄲市高三第三次調(diào)研監(jiān)測（一模）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省邯鄲市2025屆高三第三次調(diào)研監(jiān)測（一模）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以；由，所以.所以.故選：A2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，則，所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為位于第三象限.故選：C3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2【答案】D【解析】將決賽中12名參賽選手的得分從小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第位數(shù)和第位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：D.4.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線的一個交點為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設，得，則，故拋物線，將代入，得，得，∴∴,所以直線的方程為，即.故選：B.5.在中，，，點在的內(nèi)部，的延長線與交于點，若，則的面積是（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】，因，則，，得.又，則，過A，M做BC垂線，垂足為G，F(xiàn)，則，，又底邊相同，則.故選：C6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖：設.以為基底，則，，，.因為，，所以.由可得，解得或，即或.即“異面直線與所成角的余弦值是”的充要條件是“或”.故“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的充分不必要條件.故選：A7.已知函數(shù)恰有一個極值點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，因為函數(shù)恰有一個極值點，所以有一個實數(shù)根，即有一根，即與一個交點，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當，時都有2-xex與一個交點，有兩根當時，與一個交點，有一根，綜上所述，的取值范圍是故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，設，則，兩式相加得，又，所以，又，所以，當軸時最小，此時，所以，又，則，整理的，又，兩邊除以得，解得，又雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線過點，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，當直線的斜率不存在時，直線方程為，點到直線的距離為1，不符合題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由直線與圓相切得：，解得或，所以直線的方程為：或.故選：AC10.已知函數(shù)對任意的都有，，且當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】對于A，因為，，令，則，所以，令，則，則，令，則，所以，故A錯誤；對于B，令，則，即，所以是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，則，又，所以，所以，故C正確；對于D，令，則，設，則，又當時，，則，所以，則函數(shù)在是增函數(shù)，又由，，則不等式，即為，則，解得或，即不等式的解集是，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱B.若在上恰有三個零點，則的取值范圍是C.當時，在上單調(diào)遞增D.若在上的最小值為，則【答案】ACD【解析】由題意知，對于A，，即的圖象關于直線對稱，A正確；對于B，由，得或，由于在上有2解，即，，結(jié)合在上恰有三個零點，可知需在上只有一解，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故要使在上只有一解，需或，B錯誤；對于C，當時，，令，，，則在上單調(diào)遞減，而圖象對稱軸為，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，令，，，則化為，該函數(shù)圖象對稱軸為，當，即時，；當，即時，；當，即時，，綜合上述在上的最小值為，則，D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.【答案】【解析】由可得，又，為非零向量，且向量，的夾角為，則，即，又，，所以，所以.故答案為：13.設一個三位數(shù)的個位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分數(shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個數(shù)為_______________.【答案】30【解析】當“峰型三位數(shù)”含有數(shù)字0時，0必為個位，再從余下5個數(shù)字中任取兩個，大的數(shù)字為十位，有種方法；當“峰型三位數(shù)”沒有數(shù)字0時，從除0外的5個數(shù)字中任取3個，最大數(shù)字作十位，有種方法，所以“峰型三位數(shù)”的個數(shù)為.故答案為：3014.已知某圓臺的體積為，球剛好和該圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，若該圓臺下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.【答案】【解析】如圖，畫出截面示意圖，設圓臺的上下底面半徑分別為，球的半徑為，圓臺的母線長為，由圓臺的體積公式可得，①由梯形面積可得，解得，又在中，，解得，代入①可得，所以所以球的體積是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求，的通項公式；（2）若，求的值；（3）若，求數(shù)列前項和.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.∵，，，，∴，由得.由①③得，①④代入②得，，解得，故，∴.（2）∵，∴，令，由函數(shù)和在上為增函數(shù)得在上為增函數(shù)，∵，∴（3）由（1）得，，∴.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點，是棱的中點.（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.解：（1）∵四邊形是正方形，，∴.∵是棱的中點，∴.∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）以A為原點建立空間直角坐標系，設，則，，，∴，，設平面的法向量為，則,令，則，故.由題意得，平面的法向量為，∴，解得或（舍），∴，故.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規(guī)則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對3道或4道，則通過初賽，否則進行第二輪答題，第二輪答題數(shù)量為第一輪答錯的題目數(shù)量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學參加了這次詩詞大賽，且甲同學每道題答對的概率均為.假設甲同學回答每道題相互獨立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學答對1道題的概率.（2）記甲同學的答題個數(shù)為，求的最大值.解：（1）①由題意，甲同學第一輪答題后通過初賽的概率為；②甲同學答對1題的情況如下，第一輪答對1題，第二輪答對0題，則概率為；第一輪答對0題，第二輪答對1題，則概率為；所以甲同學答對1道題的概率為；（2）由題意，，且，，，，所以，又，令，則，令，則，當時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在上單調(diào)遞增；又，，則在上，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以，故最大為.18.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.解：（1）當時，，，切線的斜率，，所以切點坐標為，切線方程為，，當時，，當時，，所以直線與軸交點為，與軸交點為，所以切線與坐標軸圍成的三角形的面積為.（2）因為，，，所以，可化為：，即，令，，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，將，轉(zhuǎn)化為，因為為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，即，整理有：，令，，令，即，，當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減，所以，因為恒成立，所以.19.對于給定的橢圓，與之對應的另一個橢圓（，且），則稱與互為共軛橢圓.已知橢圓與橢圓互為共軛橢圓，是橢圓的右頂點.（1）求橢圓的標準方程.（2）設直線與橢圓交于，兩點，且直線與直線的斜率之積為.①證明：且直線過定點.②試問在軸上是否存在異于點的點，使得直線，的斜率之積也為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意可設的共軛橢圓方程為，即（，且），由于是該橢圓的右頂點，即得，橢圓的標準方程；（2）①證明：聯(lián)立和，可得，需滿足，即，即；設，則，則，由題意得直線與直線的斜率之積為，即，即，即，即得，解得（舍）或，則直線為直線，過定點；②假設在軸上存在異于點的點，使得直線，的斜率之積也為定值，設，由①知，，，則，要使得為定值，需，解得（舍）或，即時，為定值，即在軸上存在異于點的點，使得直線，的斜率之積也為定值.河北省邯鄲市2025屆高三第三次調(diào)研監(jiān)測（一模）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以；由，所以.所以.故選：A2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，則，所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為位于第三象限.故選：C3.某校舉辦校園歌手大賽，決賽中12名參賽選手的得分（滿分：10分）分別為9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2【答案】D【解析】將決賽中12名參賽選手的得分從小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第位數(shù)和第位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：D.4.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線的一個交點為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設，得，則，故拋物線，將代入，得，得，∴∴,所以直線的方程為，即.故選：B.5.在中，，，點在的內(nèi)部，的延長線與交于點，若，則的面積是（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】，因，則，，得.又，則，過A，M做BC垂線，垂足為G，F(xiàn)，則，，又底邊相同，則.故選：C6.在正三棱柱中，，則“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖：設.以為基底，則，，，.因為，，所以.由可得，解得或，即或.即“異面直線與所成角的余弦值是”的充要條件是“或”.故“”是“異面直線與所成角的余弦值是”的充分不必要條件.故選：A7.已知函數(shù)恰有一個極值點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，因為函數(shù)恰有一個極值點，所以有一個實數(shù)根，即有一根，即與一個交點，令，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，解得：，令，函數(shù)單調(diào)遞減，解得：，則，有一根，即，當，時都有2-xex與一個交點，有兩根當時，與一個交點，有一根，綜上所述，的取值范圍是故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，設，則，兩式相加得，又，所以，又，所以，當軸時最小，此時，所以，又，則，整理的，又，兩邊除以得，解得，又雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線過點，且直線與圓相切，則直線的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，當直線的斜率不存在時，直線方程為，點到直線的距離為1，不符合題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由直線與圓相切得：，解得或，所以直線的方程為：或.故選：AC10.已知函數(shù)對任意的都有，，且當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】對于A，因為，，令，則，所以，令，則，則，令，則，所以，故A錯誤；對于B，令，則，即，所以是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，則，又，所以，所以，故C正確；對于D，令，則，設，則，又當時，，則，所以，則函數(shù)在是增函數(shù)，又由，，則不等式，即為，則，解得或，即不等式的解集是，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱B.若在上恰有三個零點，則的取值范圍是C.當時，在上單調(diào)遞增D.若在上的最小值為，則【答案】ACD【解析】由題意知，對于A，，即的圖象關于直線對稱，A正確；對于B，由，得或，由于在上有2解，即，，結(jié)合在上恰有三個零點，可知需在上只有一解，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故要使在上只有一解，需或，B錯誤；對于C，當時，，令，，，則在上單調(diào)遞減，而圖象對稱軸為，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，令，，，則化為，該函數(shù)圖象對稱軸為，當，即時，；當，即時，；當，即時，，綜合上述在上的最小值為，則，D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，滿足，且向量，的夾角為，則向量，的夾角為_______________.【答案】【解析】由可得，又，為非零向量，且向量，的夾角為，則，即，又，，所以，所以.故答案為：13.設一個三位數(shù)的個位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分數(shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個數(shù)為_______________.【答案】30【解析】當“峰型三位數(shù)”含有數(shù)字0時，0必為個位，再從余下5個數(shù)字中任取兩個，大的數(shù)字為十位，有種方法；當“峰型三位數(shù)”沒有數(shù)字0時，從除0外的5個數(shù)字中任取3個，最大數(shù)字作十位，有種方法，所以“峰型三位數(shù)”的個數(shù)為.故答案為：3014.已知某圓臺的體積為，球剛好和該圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，若該圓臺下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的4倍，則球的體積是______________.【答案】【解析】如圖，畫出截面示意圖，設圓臺的上下底面半徑分別為，球的半徑為，圓臺的母線長為，由圓臺的體積公式可得，①由梯形面積可得，解得，又在中，，解得，代入①可得，所以所以球的體積是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求，的通項公式；（2）若，求的值；（3）若，求數(shù)列前項和.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.∵，，，，∴，由得.由①③得，①④代入②得，，解得，故，∴.（2）∵，∴，令，由函數(shù)和在上為增函數(shù)得在上為增函數(shù)，∵，∴（3）由（1）得，，∴.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，平面，，是棱上的一點，是棱的中點.（1）證明：.（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.解：（1）∵四邊形是正方形，，∴.∵是棱的中點，∴.∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）以A為原點建立空間直角坐標系，設，則，，，∴，，設平面的法向量為，則,令，則，故.由題意得，平面的法向量為，∴，解得或（舍），∴，故.17.某班舉辦詩詞大賽，比賽規(guī)則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對3道或4道，則通過初賽，否則進行第二輪答題，第二輪答題數(shù)量為第一輪答錯的題目數(shù)量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學參加了這次詩詞大賽，且甲同學每道題答對的概率均為.假設甲同學回答每道題相互獨立，兩輪答題互不影響.（1）已知.①求甲同學第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學答對1道題的概率.（2）記甲同學的答題個數(shù)為，求的最大值.解：（1）①由題