2024-2025學年浙江省四校高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省四校2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由復數(shù)z滿足，可得，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應點位于第一象限.故選：A.2.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)已知條件有：，又，所以，在上的投影向量為.故選：C.3.在中，下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，因為，所以，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.4.設，，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，若，則，即，解得或，所以由推不出，故充分性不成立；由可以推出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.定義在上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以是偶函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，而在上單調(diào)遞增，則，，則，

.故選：B.6.設O是坐標原點，單位圓O上一點A，射線OA繞著O點逆時針旋轉后得到OP，P為與單位圓的交點，P的坐標為，則A的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示：設則點又所以.故選：A.7.如圖，在中，已知，，，，分別是，邊上的點，且，，且，若線段，的中點分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，，則，分別是邊的點，線段的中點分別為，∴，，∴，∴兩邊平方得：，∵，∴，又∵，∴當時，最小值為，即的最小值為.故選：B.8.銳角中，角A、B、C的對邊分別為、、，滿足，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由利用正弦定理可得，即可得，又，可得；又，所以；因此，即，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，由二次函數(shù)性質可得，若存在最大值，則，解得．故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.已知，為復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則或D.若，則【答案】AC【解析】對于選項A，若，則和互為共軛復數(shù)，所以，故選項A正確；對于選項B，取，此時，，滿足，但，故選項B錯誤；對于選項C，若，則，所以或，可得或，故選項C正確；對于選項D，取，，可得，故選項D錯誤.故選：AC.10.通過等式（，）我們可以得到很多函數(shù)模型，例如將a視為自變量x，b視為常數(shù)，那么c就是a（即x）的函數(shù)，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數(shù)．事實上，由這個等式還可以得到更多的函數(shù)模型．若令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x（，），則b為x的函數(shù)，記為，下列關于函數(shù)的敘述中正確的有（）A.B.，C.若，且m，n均不等于1，，則D.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)m的值為0【答案】ACD【解析】由題意知，則，對于A，，A正確；對于B，，，不妨取，則，B錯誤；對于C，，且m，n均不等于1，由得，即，結合可知，則，故，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D，當時，，則由恒成立，得恒成立，即恒成立，令，則，設，由于在上單調(diào)遞減，故，則，故；當時，，結合題意可知得恒成立，即恒成立，此時令，同理可得，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，則，故，綜合上述可知m的值為0，D正確.故選：ACD.11.“圓冪定理”是平面幾何中關于圓一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點是圓內(nèi)的定點，且，弦，均過點，則下列說法正確的是（）A.為定值B.當時，為定值C.當時，面積的最大值為D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】如圖，過作直徑，依題意，為定值，A正確；若，則，則，又，則，同理可得，故，B正確；如圖，當時，若為等邊三角形，則，下面說明此等邊三角形存在的情況：取中點，連接，則在中，，則，又在中，，則，所以存在滿足題意的點，C錯誤；若為中點，連接，則，由題意，則，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，共15分.12.已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則取值范圍是______.【答案】【解析】由可知，復數(shù)對應的點在以點為圓心，半徑為的圓上，而可理解為圓上的點到點的距離，作直線,交圓于點，如圖所示.顯然,當點與點重合時，，當點與點重合時，.即的取值范圍是.13.為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.【答案】【解析】設塔的高，在中，，同理可得，，在中，，則，，即，解得.所以塔的高度為米.14.設與圖象的相鄰3個公共點自左向右依次為A，B，C，若，則m的值為_____.【答案】【解析】作出函數(shù)的大致圖象，如圖，令，，解得，則函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個公共點，，，且，則點，關于直線對稱，且，所以，所以點的橫坐標為，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，.（1）若，求；（2）設，若，求，的夾角.解：（1）因為，，所以，，又因為，所以.（2）因為，且，所以，所以，，所以，，所以，即，即，所以，，所以，所以，的夾角.16.已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，.（1）求角B的大??；（2）若的角平分線與邊相交于點，，，求的周長.解：（1）的面積為，則，即，又，即，所以，則，，.（2）因為的角平分線與邊相交于點，所以，即，所以，所以，又由余弦定理，即，所以，解得或（舍去），所以.17.已知銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1），且，，，，，，由正弦定理可得，，，，．（2）由（1）知，，則，為銳角三角形，，則，，．．，，，，，的取值范圍為，則，所以的范圍為.18.已知函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.（1）求的值；（2）設.若函數(shù)和在上有相同的最大值，求的取值范圍.解：（1），由，則函數(shù)關于點中心對稱，所以，即，解得，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，，即，所以當時，.（2）由（1），當時，，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為2，而函數(shù)與存在相同的最大值，故當時，在上取得最大值2，可得，，當時，得，則，解得，當時，得，則，解得，當時，，此時，當時，，此時，綜上所述，的取值范圍為.19.定義在上的函數(shù)，如果對任意的，都有成立，則稱為階伸縮函數(shù).（）若函數(shù)為二階伸縮函數(shù)，且當時，，求的值.（）若三階伸縮函數(shù)，且當時，，求證：函數(shù)在上無零點.（）若函數(shù)為階伸縮函數(shù)，且當時，的取值范圍是，求在上的取值范圍.解：（1）由題設，當x∈（1，2]時，，∴．∵函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，∴對任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（2）當x∈（3m，3m+1]（m∈N*）時，．由f（x）為三階伸縮函數(shù)，有f（3x）=3f（x），∵x∈（1，3]時，．∴．令，解得x=0或x=3m，它們均不在（3m，3m+1]內(nèi)．∴函數(shù)在（1，+∞）上無零點．（3）由題設，若函數(shù)f（x）為k階伸縮函數(shù)，有f（kx）=kf（x），且當x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1）．∴當x∈（kn，kn+1]時，．∵，所以．∴當x∈（kn，kn+1]時，f（x）∈[0，kn）．當x∈（0，1]時，即0＜x≤1，則?k（k≥2，k∈N*）使，∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．又，∴，即．∵k≥2，∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．浙江省四校2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由復數(shù)z滿足，可得，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應點位于第一象限.故選：A.2.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)已知條件有：，又，所以，在上的投影向量為.故選：C.3.在中，下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，因為，所以，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.4.設，，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，若，則，即，解得或，所以由推不出，故充分性不成立；由可以推出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.定義在上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以是偶函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，而在上單調(diào)遞增，則，，則，

.故選：B.6.設O是坐標原點，單位圓O上一點A，射線OA繞著O點逆時針旋轉后得到OP，P為與單位圓的交點，P的坐標為，則A的坐標為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示：設則點又所以.故選：A.7.如圖，在中，已知，，，，分別是，邊上的點，且，，且，若線段，的中點分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，，則，分別是邊的點，線段的中點分別為，∴，，∴，∴兩邊平方得：，∵，∴，又∵，∴當時，最小值為，即的最小值為.故選：B.8.銳角中，角A、B、C的對邊分別為、、，滿足，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由利用正弦定理可得，即可得，又，可得；又，所以；因此，即，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，由二次函數(shù)性質可得，若存在最大值，則，解得．故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.已知，為復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則或D.若，則【答案】AC【解析】對于選項A，若，則和互為共軛復數(shù)，所以，故選項A正確；對于選項B，取，此時，，滿足，但，故選項B錯誤；對于選項C，若，則，所以或，可得或，故選項C正確；對于選項D，取，，可得，故選項D錯誤.故選：AC.10.通過等式（，）我們可以得到很多函數(shù)模型，例如將a視為自變量x，b視為常數(shù)，那么c就是a（即x）的函數(shù)，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數(shù)．事實上，由這個等式還可以得到更多的函數(shù)模型．若令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x（，），則b為x的函數(shù)，記為，下列關于函數(shù)的敘述中正確的有（）A.B.，C.若，且m，n均不等于1，，則D.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)m的值為0【答案】ACD【解析】由題意知，則，對于A，，A正確；對于B，，，不妨取，則，B錯誤；對于C，，且m，n均不等于1，由得，即，結合可知，則，故，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D，當時，，則由恒成立，得恒成立，即恒成立，令，則，設，由于在上單調(diào)遞減，故，則，故；當時，，結合題意可知得恒成立，即恒成立，此時令，同理可得，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，則，故，綜合上述可知m的值為0，D正確.故選：ACD.11.“圓冪定理”是平面幾何中關于圓一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點是圓內(nèi)的定點，且，弦，均過點，則下列說法正確的是（）A.為定值B.當時，為定值C.當時，面積的最大值為D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】如圖，過作直徑，依題意，為定值，A正確；若，則，則，又，則，同理可得，故，B正確；如圖，當時，若為等邊三角形，則，下面說明此等邊三角形存在的情況：取中點，連接，則在中，，則，又在中，，則，所以存在滿足題意的點，C錯誤；若為中點，連接，則，由題意，則，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，共15分.12.已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則取值范圍是______.【答案】【解析】由可知，復數(shù)對應的點在以點為圓心，半徑為的圓上，而可理解為圓上的點到點的距離，作直線,交圓于點，如圖所示.顯然,當點與點重合時，，當點與點重合時，.即的取值范圍是.13.為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.【答案】【解析】設塔的高，在中，，同理可得，，在中，，則，，即，解得.所以塔的高度為米.14.設與圖象的相鄰3個公共點自左向右依次為A，B，C，若，則m的值為_____.【答案】【解析】作出函數(shù)的大致圖象，如圖，令，，解得，則函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個公共點，，，且，則點，關于直線對稱，且，所以，所以點的橫坐標為，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，.（1）若，求；（2）設，若，求，的夾角.解：（1）因為，，所以，，又因為，所以.（2）因為，且，所以，所以，，所以，，所以，即，即，所以，，所以，所以，的夾角.16.已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，.（1）求角B的大??；（2）若的角平分線與邊相交于點，，，求的周長.解：（1）的面積為，則，即，又，即，所以，則，，.（2）因為的角平分線與邊相交于點，所以，即，所以，所以，又由余弦定理，即，所以，解得或（舍去），所以.17.已知銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1），且，，，，，，由正弦定理可得，，，，．（2）由（1）知，，則，為銳角三角形，，則，，．．，，，，，的取值范圍為，則，所以的范圍為.18.已知函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.（1）求的值；